中考数学第二轮专项复习专题07 二次函数中特殊四边形存在性 (五大题型)90题专练专项练习含答案

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通用的解题思路：
题型一：平行四边形的存在性
解题策略：
1.直接计算法根据平行四边形对边平行且相等，按这条线段为边或为对角线两大类，分别计算
（适用于：已知两点的连线就在坐标轴上或平行于坐标轴）
2.构造全等法过顶点作坐标轴的垂线，利用对边所在的两个三角形全等，把平行且相等的对边转化为水平或者垂直方向的两条对应边相等
（适用于：已知两点的连线，不与坐标轴平行，容易画出草图）
3.平移坐标法
利用平移的意义，根据已知两点间横、纵坐标的距离关系，得待定两点也有同样的数量关系。
（适用于：直接写出答案的题）
题型二：菱形存在性
由于菱形是一组邻边相等的平行四边形，因此解决菱形存在性问题需要综合运用平行四边形和等腰三角形存在性问题的方法。
题型三：矩形存在性
由于矩形是含90度角的平行四边形，因此解决矩形存在性问题需要综合运用平行四边形和直角三角形存在性问题的方法。
题型四：正方形存在性
由于正方形即是矩形又是菱形，因此解决正方形存在性问题需要灵活选用所有存在性问题的方法。
题型五：梯形存在性
解梯形的存在性问题一般分三步：
第一步分类，第二步画图，第三步计算．
一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形．过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻的梯形的顶点．
因为梯形有一组对边平行，因此根据同位角或内错角，一定可以构造一组相等的角，然后根据相似比列方程，可以使得解题简便．
题型一：平行四边形的存在性
1．（2024·甘肃武威·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，与轴交于点，且．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)已知抛物线的对称轴上存在一点，使得的周长最小，请求出点的坐标；
(3)连接，点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标．
2．（2024·江苏宿迁·一模）材料一；《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到 一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索题 发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在数学学习和研究中，我们经常会用到类比、转化、从特殊到一般等思想方法，请利用上述有关思想，解答下列问题．
材料二：分类讨论是一种重要的数学思想，也是一种解题策略，在数学中的应用相当多，它能使许多看似非常复杂的问题简单化．因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重复、不遗漏，每次分类必须保持在同一标准．
请阅读上述材料，完成题目：
如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为，交直线于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；
(3)点是抛物线对称轴与轴的交点，点是轴上一动点，点在运动过程中，若以为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点的坐标．
3．（2024·广东珠海·一模）已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点C
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图1，点是线段上的一个动点（不与点，重合），过点作轴的垂线交抛物线于点，连接，当四边形恰好是平行四边形时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，是的中点，过点的直线与抛物线交于点，且，在直线上是否存在点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2024·贵州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与二次函数的图象交于点．
(1)求一次函数与二次函数的表达式；
(2)设是直线上一点，过点作轴，交二次函数的图象于点，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标．
5．（2024·陕西渭南·二模）如图，已知抛物线交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若直线与抛物线的对称轴交于点，点是抛物线上的动点，点是直线上的动点，是否存在以为顶点的四边形是以为边的平行四边形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2024·甘肃武威·一模）如图．抛物线交轴于点和点，交轴于点，点在第二象限的抛物线上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当点的坐标为时，求的面积；
(3)过点作轴，交直线于点，是否存在点，使得四边形是平行四边形？如果存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2024·陕西宝鸡·二模）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)将抛物线沿轴的正方向平移个单位长度得到新抛物线，是新抛物线与轴的交点靠近轴，是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点，使得以为边，且以、、、为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点的坐标．
8．（2024·四川南充·模拟预测）如图1，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，是否存在以A，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
(3)如图2，若点D是第四象限抛物线上的一个动点，直线与直线交于点E，连接，设的面积为，的面积为，求的最大值及此时点D的坐标．
9．（2024·山西大同·二模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点．作直线，是抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式．
(2)当点P在直线下方时，连接，，．当时，求点P的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·陕西宝鸡·模拟预测）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线与y轴交于点D．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024·上海虹口·二模）新定义：已知抛物线（其中），我们把抛物线称为的“轮换抛物线”．例如：抛物线的“轮换抛物线”为．
已知抛物线：的“轮换抛物线”为，抛物线、与轴分别交于点、，点在点的上方，抛物线的顶点为．
(1)如果点的坐标为，求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线相交于点，如果四边形为平行四边形，求点的坐标；
(3)已知点在抛物线上，点坐标为，当时，求的值．
12．（2023·四川自贡·中考真题）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求抛物线解析式及，两点坐标；
(2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标；
(3)该抛物线对称轴上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
13．（2023·四川巴中·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．

(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
14．（2023·山东枣庄·中考真题）如图，抛物线经过两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与轴交于点D．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求的最小值；
(3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2024·山西晋城·一模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线上方抛物线上一动点．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式．
(2)连接，，求面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·山东聊城·中考真题）如图①，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是x轴上任意一点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；
(3)如图②，当点从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作，交AC于点E，作，垂足为点D．当m为何值时，面积最大，并求出最大值．
17．（2024·山西晋城·一模）综合与探究：如图1，已知抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点，直线与轴相交于点，交线段于点，且.
(1)求，，三点的坐标；
(2)求直线的函数表达式；
(3)如图2，若抛物线的对称轴与直线交于点，试探究，在平面内是否存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形.若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
18．（2024·山西吕梁·一模）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上的一动点．

(1)求抛物线的顶点的坐标和直线的解析式；
(2)如图，连接交于点，若，求此时点的坐标；
(3)如图，直线与抛物线交于，两点，过顶点作轴，交直线于点．若点是抛物线上一动点，试探究在直线上是否存在一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
19．（2024·山东泰安·一模）综合与实践
如图，抛物线与x轴交于，两点，且点在点的左侧，与轴交于点，点是抛物线上的一动点．

(1)求，，三点的坐标；
(2)如图2，当点在第四象限时，连接和，得到，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)点在轴上运动，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请借助图1探究，直接写出点的坐标．
20．（2024·江苏宿迁·模拟预测）若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标；
(3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标．
21．（2024·山东聊城·一模）如图，二次函数的图象与轴交于（为坐标原点）、两点，且二次函数的最小值为，点是其对称轴上一点，点在轴上，．
(1)求二次函数的解析式；
(2)二次函数在第四象限的图象上有一点，连接，，求面积的最大值；
(3)在二次函数图象上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2023·山东·中考真题）如图，直线交轴于点，交轴于点，对称轴为的抛物线经过两点，交轴负半轴于点．为抛物线上一动点，点的横坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，作轴的垂线，垂足为，直线交轴于点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若，当为何值时，四边形是平行四边形？
(3)若，设直线交直线于点，是否存在这样的值，使？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
23．（2024·江苏连云港·一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A，B两点，它的对称轴直线交抛物线于点M，过点M作轴于点C，连接，已知点A的坐标为．
(1)求此抛物线的函数表达式；
(2)动点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为，其中．
①若，请求此时点Q的坐标；
②在线段上是否存在一点D，使得以C，P，D，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出此时m的值；若不存在，说明理由．
24．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积
(3)求的最大值，并求此时点M的坐标；
(4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由.
25．（2024·四川宜宾·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴l对称．点C在抛物线上，点D在对称轴l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标．
26．（2024·甘肃天水·一模）抛物线经过、两点，与轴交于另一点．
(1)求抛物线、直线的函数解析式；
(2)在直线上方抛物线上是否存在一点，使得的面积达到最大，若存在则求这个最大值及点坐标，若不存在则说明理由．
(3)点为抛物线上一动点，点为轴上一动点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标．
27．（2024·山东济南·模拟预测）已知二次函数的图象过原点，顶点坐标为．

(1)求该二次函数的解析式；
(2)如图1，在轴下方作轴的平行线，交二次函数图象于两点，过两点分别作轴的垂线，垂足分别为点、点．当矩形为正方形时，求点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，作直线，动点从点出发沿射线以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点以相同的速度从点出发沿线段匀速运动，到达点时立即原速返回，当动点返回到点时，两点同时停止运动，设运动时间为秒．过点向轴作垂线，交抛物线于点，交直线于点，当以四点为顶点的四边形是平行四边形时，求的值．
28．（2023·广东广州·中考真题）已知点在函数的图象上．
(1)若，求n的值；
(2)抛物线与x轴交于两点M，N（M在N的左边），与y轴交于点G，记抛物线的顶点为E．
①m为何值时，点E到达最高处；
②设的外接圆圆心为C，与y轴的另一个交点为F，当时，是否存在四边形为平行四边形？若存在，求此时顶点E的坐标；若不存在，请说明理由．
29．（2024·山西阳泉·二模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点．过点作直线轴，连接，过点作，交直线于点，作直线．
(1)求抛物线的函数表达式并直接写出直线的函数表达式；
(2)如图，点为抛物线上第二象限内的点，设点的横坐标为，连接与交于点，当点为线段的中点时，求；
(3)若点为轴上一个动点，点为抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
30．（2024·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知，，连接，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
备用图
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)在线段的下方是否存在点P，使得的面积最大？若存在，求点P的坐标及面积最大值．
(3)在对称轴上是否存在点N，使得以点B，C，P，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2024·广东惠州·一模）综合探究：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点在第一象限抛物线上一点，连接、，若，求点的坐标；
(3)若点为抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2024·甘肃陇南·一模）如图，抛物线与x轴交于A，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点．

(1)求该抛物线的解析式；
(2)若D为抛物线的顶点，求的面积；
(3)若P是平面直角坐标系内一点，是否存在以A、B、C、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
33．（2024·山东淄博·一模）已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，若直线下方的抛物线上有一动点，过点作轴平行线交于，过点作的垂线，垂足为，求周长的最大值；
(3)若点在抛物线的对称轴上，点在轴上，是否存在以，，，为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
(4)将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到一个新的抛物线，问在轴正半轴上是否存在一点，使得当经过点的任意一条直线与新抛物线交于，两点时，总有为定值？若存在，求出点坐标及定值，若不存在，请说明理由．
34．（2024·山西朔州·二模）综合与探究
如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于C点．点D与点C关于x轴对称，直线交抛物线于另一点E．
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出直线的函数表达式．
(2)点P是直线下方抛物线上的一点，过点P作直线的垂线，垂足为F．设点P的横坐标为m，试探究当m为何值时，线段最大？请求出的最大值．
(3)在（2）的条件下，当取最大值时，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2024·福建福州·模拟预测）已知抛物线 与x轴交于、B两点，顶点为P，与y轴交于C点，且的面积为6．
(1)求抛物线的对称轴和解析式；
(2)平移这条抛物线，平移后的抛物线交y轴于E，顶点Q在原抛物线上，当四边形是平行四边形时，求平移后抛物线的表达式；
(3)若过定点K的直线交抛物线于M、N两点（N在M点右侧），过N点的直线 与抛物线交于点 G， 求证： 直线必过定点．
36．（2015·山东临沂·一模）如图，抛物线与轴交于点和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线的对称轴交x轴于点E，点F是位于x轴上方对称轴上一点， 轴，与对称轴右侧的抛物线交于点C，且四边形是平行四边形，求点C的坐标；
(3)在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2023·山东淄博·中考真题）如图，一条抛物线经过的三个顶点，其中为坐标原点，点，点在第一象限内，对称轴是直线，且的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)求点的坐标；
(3)设为线段的中点，为直线上的一个动点，连接，，将沿翻折，点的对应点为．问是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
38．（2023·四川南充·中考真题）如图1，抛物线（）与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P在抛物线上，点Q在x轴上，以B，C，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
(3)如图2，抛物线顶点为D，对称轴与x轴交于点E，过点的直线（直线除外）与抛物线交于G，H两点，直线，分别交x轴于点M，N．试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
39．（2024·四川广元·二模）如图，已知直线：交 x轴于点B，交y轴于点C，抛物线的图象过点 B，C，且与x轴交于另一点A（点 A 在点 B 的左侧）．在直线 下方的抛物线上有一点 P，过点 P 作轴，垂足为 F，交 于点M，连接，，，交于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当时，求点 P 的坐标．
(3)连接，，已知点 D 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的面积最大时，在该抛物线上是否存在动点 Q，使得以点 A，M，Q，D为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为交轴于、两点，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知抛物线上点，以点为直角顶点构造，使点在轴上，点在轴上，为的中点，求的最小值；
(3)为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．
题型二：菱形存在性
1．（2024·陕西渭南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（为常数，且）与轴交于点和点，与轴交于点，且．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)连接，点是抛物线的对称轴上的动点，点是平面内的点，是否存在以点为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·江苏徐州·一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，点P在线段上，过点P作轴，交抛物线于点D，交直线于点E．
(1) ， ；
(2)在点P运动过程中，若是直角三角形，求点P的坐标；
(3)在y轴上是否存在点F，使得以点C、D、E、F为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2024·青海西宁·一模）如图，抛物线 与y轴交于点，点B 是抛物线的顶点，直线 是抛物线的对称轴，且与x轴交于点C．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)点D是对称轴左侧抛物线上一点，连接， 求点 D 的坐标．
(3)在(2)的条件下，若点M是x轴上方抛物线对称轴上一点，点 P 在坐标平面内，且以点A，D，M，P为顶点的四边形是以为边的菱形，请求出所有符合条件的点M的坐标
4．（2023·湖南·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，且与直线交于两点（点在点的右侧），点为直线上的一动点，设点的横坐标为．

(1)求抛物线的解析式．
(2)过点作轴的垂线，与拋物线交于点．若，求面积的最大值．
(3)抛物线与轴交于点，点为平面直角坐标系上一点，若以为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点的坐标．
5．（23-24九年级上·广东中山·期中）定义：在平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”．
(1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，中，是矩形ABCD“梦之点”的是______；
(2)如图②，已知点A，B是抛物线上的“梦之点”，点C是抛物线的顶点．连接，判断的形状并说明理由．
(3)在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P、Q，使得以为对角线，以A、B、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
6．（23-24九年级上·重庆南岸·期末）如图，已知抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线与抛物线交于点D，与直线交于点F，交x轴交于点E．当取得最大值时，求m的值和的最大值；
(3)若抛物线的顶点为P，Q是该抛物线对称轴上一点，在平面内确定一点R，使得以点C，R，P，Q为顶点的四边形是菱形，求点R的坐标．
7．（2023·四川广安·一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)P是抛物线上位于直线上方一动点，且在抛物线的对称轴右侧，过点P作y轴的平行线交直线于点E，过点P作x轴的平行线与抛物线的对称轴交于点F，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿x轴向右平移6个单位长度，平移后的抛物线与平移前的抛物线交于点H，M为平移前抛物线对称轴上一点．在平面直角坐标系中确定一点N，使得以点H，P，M，N为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点N的坐标．
8．（2023·山东济宁·二模）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·山东济南·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标；
(3)如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标．
10．（2024·湖南·一模）如图，O为坐标原点，抛物线与x轴交于，顶点为A．
(1)如图1，求直线的函数解析式；
(2)如图1，将直线绕点M顺时针旋转得到直线并交抛物线于点N，若Q为x轴上一点，求的最小值；
(3)如图2，将抛物线平移得到，顶点由A平移到，若点B在直线上，点D和E分别在抛物线和上，那么四边形是否可以为菱形？若可以，求出D点坐标，若不可以，说明理由．
11．（2023·四川德阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交点C，抛物线过A，C两点，与x轴交于另一点B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线上方的抛物线上有一动点E，连接，与直线相交于点F，当时，求E点坐标．
(3)在（2）的条件下，若点E位于对称轴左侧，点M是抛物线对称轴上一点，点N是平面上一点，当以M，N，E，B为顶点的四边形是菱形时，直接写出点M的坐标．
12．（2024·四川泸州·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标；
(3)点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标，请说明理由．
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)无论a取何值，抛物线一定经过两个定点M，N（点M在点N的左侧），点H是线段上一点，连接，当为直角三角形时，求点H的坐标；
(3)在（2）的条件下，点P是线段上一点，则在平面直角坐标系中是否存在一点Q（），使得以为顶点且以为边的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2024·山东枣庄·一模）如图，二次函数的图象交x轴于点A，B，交y轴于点C，点B的坐标为，对称轴是直线，点P是x轴上一动点，轴，交直线于点M，交抛物线于点N．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点P在线段上运动（点P与点A、点O不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
(3)若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M、N、C、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2024·甘肃天水·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标；
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在P、Q两点使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出P、Q两点的坐标，若不存在，请说明理由．
17．（2023·四川广安·中考真题）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点，点的坐标为，对称轴是直线，点是轴上一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．

(1)求这个二次函数的解析式．
(2)若点在线段上运动（点与点、点不重合），求四边形面积的最大值，并求出此时点的坐标．
(3)若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)当点运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点的坐标和四边形的最大面积．
19．（2023·辽宁锦州·中考真题）如图，抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若点在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形的面积为，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，若点是对称轴上一点，点是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是菱形，且，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
20．（2024·山东淄博·一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点．
(1)求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；
(2)如图2，已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接．当时，求点E的坐标；
(3)如图3，在（2）的条件下，将直线与y轴的交点F向下平移个单位长度得到点P．
①连接，求的度数；
②将绕点O逆时针旋转一定的角度得到，直线与x轴交于点M．设点N为平面直角坐标系内的任意一点，问在旋转过程中是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
题型三：矩形存在性
1．（2023·内蒙古·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点分别为和（点在点的左侧），与轴交于点，点是直线上方抛物线上一动点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，过点作轴平行线交于点，过点作轴平行线交轴于点，求的最大值及点的坐标；
(3)如图2，设点为抛物线对称轴上一动点，当点，点运动时，在坐标轴上确定点，使四边形为矩形，求出所有符合条件的点的坐标．
2．（22-23九年级上·重庆开州·期末）如图1，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点P、Q为直线下方抛物线上的两点，点Q的横坐标比点P的横坐标大1，过点P作轴，交于点M，过点Q作轴交于点N，求的最大值及此时点Q的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，且为矩形一边，求出此时所有满足条件的点E的坐标．
3．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长，宽的长方形水池进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池．同时，再建造一个周长为的矩形水池（如图②，以下简称水池．
【建立模型】
如果设水池的边加长长度为，加长后水池1的总面积为，则关于的函数解析式为：；设水池2的边的长为，面积为，则关于的函数解析式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图象如图③．
【问题解决】
（1）求水池2面积的最大值；
（2）当水池1的面积大于水池2的面积时，求的取值范围；
【数学抽象】
（3）在图③的图象中，点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点（点不与顶点重合），点在坐标平面内，当四边形是矩形且，请求出点的横坐标．
4．（23-24九年级下·湖北咸宁·阶段练习）已知：如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，，顶点为．

(1)求此抛物线的解析式：
(2)在直线下方的抛物线上，是否存在一点，使四边形的面积最大？最大面积是多少？
(3)点在轴上的一个动点，点是坐标平面上的一个动点，是否存在这样的点和点，使点构成矩形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
5．（2023·辽宁大连·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点、，其中点的横坐标为，点的横坐标为1，抛物线过点、．过作轴交抛物线另一点为点．以、长为边向上构造矩形．

(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边、分别相交于点、，点、在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
6．（2024·吉林四平·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点（点不与点重合），点的横坐标为，抛物线上点与点之间的部分（包含端点）记为图像．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)当时，图像的最大值与最小值的差为，求出与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)过点作轴于点，点为轴上的一点，纵坐标为，以、为邻边构造矩形，当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
7．（2023·辽宁丹东·中考真题）抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点D是抛物线上的一个动点，设点D的横坐标是，过点D作直线轴，垂足为点E，交直线于点F．当D，E，F三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
(3)若点P是抛物线上的一个动点（点P不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为时，请直接写出点P的横坐标．
8．（20-21九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图1，抛物线与x轴交于和两点，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)P是抛物线上位于直线上方的一个动点，过点P作轴交于点D，过点P作于点E，过点E作轴于点F，求出的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线，与原抛物线相交于点M，点N为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使以点A，M，N，H为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2024·山西吕梁·一模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴与轴于点，过点作交轴于点．
(1)求点的坐标；
(2)点为抛物线上第四象限的一个动点，过点作轴于点，当时，求的长；
(3)在（）的条件下，若点是轴上一点，则平面内是否存在一点，使以为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
10．（2024·山西晋城·二模）综合与探究
如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接．
(1)求，，三点的坐标并直接写出直线的函数表达式；
(2)点是第四象限内抛物线上一点，过点作轴，交抛物线于点，当平分时，求点坐标．
(3)若点是抛物线对称轴上的一点，点为平面内一点，当以点，，，为顶点的四边形为矩形时，请直接写出点的坐标．
题型四：正方形存在性
1．（2024·陕西·一模）如图，抛物线的对称轴l与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)求点A、B的坐标；
(2)C为该抛物线上的一个动点，点D为点C关于直线l的对称点（点D在点C的左侧），点M在坐标平面内，请问是否存在这样的点C，使得四边形是正方形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2024·河南洛阳·一模）如图，抛物线过点，点是抛物线上一个动点，过点作矩形，使边在轴上（点在点的左侧），点在抛物线上，设点的横坐标是，当时，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当m为何值时，四边形是正方形？
3．（2024·山西太原·一模）综合与探究
如图1，已知抛物线与轴负半轴交于点，点在轴正半轴上，连接交抛物线于点，点的横坐标为．
(1)求点的坐标，并直接写出线段所在直线的函数表达式；
(2)如图2，过点作轴于点，点为线段上方抛物线上的一个动点，连接交于点，过点作轴于点，交线段于点，设点的横坐标为．
①求线段的长（用含的代数式表示）；
②已知点是轴上一点，是坐标平面内一点，当以点为顶点的四边形是正方形时，直接写出点的坐标．
4．（2024·陕西榆林·二模）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)若点是第二象限抛物线上的动点，轴，交直线于点，点在轴上，点在坐标平面内，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是正方形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
题型五：梯形存在性
1．（2022·上海杨浦·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、、三点，且与轴交于点．
(1)求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴：
(2)分别联结、、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；
(3)设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点、、、为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标．
2．（22-23九年级上·甘肃庆阳·期中）如图，已知抛物线与轴的交点为点、(点在点的右侧)，与轴的交点为点．
(1)直接写出、、三点的坐标；
(2)在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，并求出点的坐标；
(3)设点关于抛物线对称轴的对称点为点，在抛物线上是否存在点，使得以、、、四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2022·上海青浦·一模）在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线，其顶点为．
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点的坐标；
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”．
①试求抛物线的“不动点”的坐标；
②向左或向右平移抛物线，使所得新抛物线的顶点是该抛物线的“不动点”，其对称轴与轴交于点，且四边形是梯形，求新抛物线的表达式．
4．（23-24九年级上·云南昭通·阶段练习）如图，抛物线过点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，交抛物线于点．
(1)求抛物线的表达式及点的坐标；
(2)点是直线上的点，若的面积与的面积相等，求点的坐标；
(3)点在第四象限，且为抛物线上的点，若四边形是梯形，求点的坐标．
5．（2024·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点在轴上），与轴交于点，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若为直线下方抛物线上的一个动点，过点作交于点，交轴于点．
①求线段的最大值；
②是否存在点，使得四边形为等腰梯形？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由．