2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第04讲解三角形(专项训练)(原卷版+解析版)

这是一份2026年高考数学一轮复习讲练测(通用版)第04讲解三角形(专项训练)(原卷版+解析版)，共70页。试卷主要包含了在中，，，则，在中，，则，设的内角的对边分别为，如图，在四边形中 ，等内容，欢迎下载使用。
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 正弦定理解三角形
题型02 余弦定理解三角形
题型03 多边形解三角形（含一个确定三角形）
题型04 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
题型05 解三角形的实际应用
题型06 边角互化
题型07 三角函数与解三角形的综合应用
题型08 最值问题（基本不等式法）
题型09 最值问题（三角函数法）
题型10 切弦互化求最值问题
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练

01 正弦定理解三角形
1．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ．
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则 .
3．在中，内角A，B，C的对边分别为，，则 .
4．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
02 余弦定理解三角形
5．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不确定
7．设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）．
A．1B．C．2D．
8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 .
9．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形
03 多边形解三角形（含一个确定三角形)
10．如图，在四边形中 ，．，， 则 ．
11．已知如图，在平面四边形ABCD中，，，，则平面四边形ABCD的面积为 ．

12．如图，在平面四边形ABCD中，,,,.
(1)求；
(2)若，求BC.
13．（ 2025·河北·一模）如图，在平面四边形中，为线段的中点，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
14．如图，在平面四边形中，.

(1)求；
(2)若的面积为，求.
04 多边形解三角形（不含一个确定三角形)
15．如图，在圆的内接四边形中，，的面积为，的面积为，则四边形的周长为 ．
16．在平面四边形中，，.
(1)求长度；
(2)求.
17．如图，四边形中，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
18．已知四边形中，，则四边形的面积为 .
19．如图，已知在平面四边形中，．
(1)设，若，求；
(2)若平分，求的长．
05 解三角形的实际应用
20．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：）
A．30米B．35米C．45米D．70米
21．三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A．B．C．D．
22．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
23．为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？
24．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
(1)若米，求角的余弦值；
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
06 边角互化
25．在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
26．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．B．C．D．
27．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .
28．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
29．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
07 三角函数与解三角形的综合应用
30．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值.
31．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积．
32．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积.
33．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)在中，角的对边分别为，若.
①求的值；
②求.
34．已知向量，，函数．
(1)求函数在上的最值，并求此时的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数的图象．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，求的面积．
08 最值问题（基本不等式法）
35．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
36．中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是 .
37．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
38．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
(1)求角A和边a；
(2)若点是边上的中点，求的最大值．
39．记的内角所对的边分别为，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求边上的中线长度的最小值.
09 最值问题（三角函数法）
40．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（ ）．
A．B．3C．D．
41．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
42．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若点M在线段上，，，求的最小值．
43．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)求的最小值．
44．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的值；
(2)若b=2，求面积的取值范围.
45．在△中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若△为锐角三角形，记其面积为，求的取值范围．
10 切弦互化求最值问题
46．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为 .
47．记锐角内角，，的对边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
48．已知分别为的内角的对边，且．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值．

1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A．B．C．D．
2．（ 2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ）
A．B．C．D．
3．（多选）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（ ）
A．B．面积的最大值为
C．当时，D．d的取值范围是
4．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
5．如图，已知某三角形场地是直角三角形，且，，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .
6．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
7．（ 2025·广东惠州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④
(1)问满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由；
(2)求.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
4．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
6．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
第04讲 解三角形
目录
TOC \ "1-2" \h \u \l "_Tc17943" 01 常考题型过关练
题型01 正弦定理解三角形
题型02 余弦定理解三角形
题型03 多边形解三角形（含一个确定三角形）
题型04 多边形解三角形（不含一个确定三角形）
题型05 解三角形的实际应用
题型06 边角互化
题型07 三角函数与解三角形的综合应用
题型08 最值问题（基本不等式法）
题型09 最值问题（三角函数法）
题型10 切弦互化求最值问题
\l "_Tc20184" 02 核心突破提升练
\l "_Tc5699" 03 真题溯源通关练

01 正弦定理解三角形
1．在△中，已知，，当有两解时，的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由正弦定理可知，，即，
若有两解，则，且，所以，
所以.
故答案为：
2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则 .
【答案】2
【详解】在△ABC中，由正弦定理，得，即，
解得，又，则，所以，
所以.
故答案为：2.
3．在中，内角A，B，C的对边分别为，，则 .
【答案】
【详解】在中，由，得，又，
则由正弦定理，可得，又，
所以，所以为锐角，所以.
故答案为：
4．在中，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】在中，由正弦定理可得，
，
因为，所以，，
所以．
故选：C．
02 余弦定理解三角形
5．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由题意得，
又，所以.
故选：A
6．已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不确定
【答案】C
【详解】设三角形为，且，
由三角形的几何性质，可得，
由三角形是锐角三角形，，所以只需要为锐角，
则，即，解得
；，即，解得，
综上可得，，即的取值范围为.
故选：C.
7．设的内角的对边分别为．，，则的最大值为（ ）．
A．1B．C．2D．
【答案】D
【详解】由余弦定理，代入，
得
根据完全平方公式，则，将其代入上式可得：
因为基本不等式（当且仅当时取等号），所以
代入
设，则
即，两边同时乘以3得到
因为，所以
即
所以的最大值为
故选：D
8．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知，，的角平分线交边于点D，且，则 .
【答案】/
【详解】法1：如图，由角平分线性质定理得，即，设，则，
由图可知，所以，即，
解得：，所以，故.
解法2：如图，由角平分线性质定理，，即，设，则，
由Stewart公式，，解得：，所以，
故.
故答案为：.
9．某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，，，则此人（ ）
A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形
C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形
【答案】D
【详解】设三条高的长度分别为，，所对的的三边分别为，
由三角形的面积公式，可得，
不妨设，其中，则的最大角为角，
由余弦定理，可得，
又因为，
所以能构成三角形，
因为为三角形的内角，所以，所以为钝角三角形.
故选：D.
03 多边形解三角形（含一个确定三角形)
10．如图，在四边形中 ，．，， 则 ．
【答案】3
【详解】在中，，，，，
，
由正弦定理得，得到，所以.
故答案为：
11．已知如图，在平面四边形ABCD中，，，，则平面四边形ABCD的面积为 ．

【答案】
【详解】如图所示，连接，
在中，因为且，
由余弦定理可得，所以，
所以，
在中，因为且，可得，
又因为，所以，所以，
所以四边形的面积为.
故答案为：.

12．如图，在平面四边形ABCD中，,,,.
(1)求；
(2)若，求BC.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以是锐角，则，.
在中，由余弦定理得，.
又由正弦定理，可得，即，
因为，所以，则，故.
（2）在中，由余弦定理得，
则，.
在中，由余弦定理得
，解得.
13．（ 2025·河北·一模）如图，在平面四边形中，为线段的中点，.
(1)若，求的面积；
(2)若，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）过点作，垂足为.
由，得，
在四边形中，由，得，
所以四边形是平行四边形，
∴，，
所以的面积为.
（2）连接.
在中，因为，
所以,
在中，由,得.
所以为等边三角形，
在中，由余弦定理知
14．如图，在平面四边形中，.

(1)求；
(2)若的面积为，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
则，解得.
又由题设知，
所以；
（2），
，
由，得，
解得.
由余弦定理得，
又，所以.
04 多边形解三角形（不含一个确定三角形)
15．如图，在圆的内接四边形中，，的面积为，的面积为，则四边形的周长为 ．
【答案】16
【详解】由题意，
在圆的内接四边形中，
，的面积为，的面积为，
由几何知识得，，即,
由正弦定理得，
，
，
解得：，，
由余弦定理得，
，即，
，即，
∵，，
∴，
，
由几何知识得，四边形的四边均为正数，
∴，，
设四边形的周长为，
，
故答案为：16.
16．在平面四边形中，，.
(1)求长度；
(2)求.
【答案】(1)1
(2)
【详解】（1）由，，
所以，又，所以，所以为等边三角形，
所以，即的长度为.
（2）设，
在中，由余弦定理知，，
即，所以，
由，解得或（舍去），
所以，即为等腰直角三角形且，所以，
在中，由余弦定理知，
，所以，
17．如图，四边形中，，，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设，，则，
由余弦定理可得，
所以，解得．
故选：B．
18．已知四边形中，，则四边形的面积为 .
【答案】
【详解】
由可得：，
即，再代入余弦定理可得：
，解得：，
所以，因为是四边形内角，所以，
则由可得：，
所以四边形面积为：，
故答案为：.
19．如图，已知在平面四边形中，．
(1)设，若，求；
(2)若平分，求的长．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：在中，因为，
由余弦定理得，
可得，
在中，因为，可得，
因为，所以．
（2）解：因为平分，可得，
由余弦定理，可得，解得，
所以.
05 解三角形的实际应用
20．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（ ）（参考数据：）
A．30米B．35米C．45米D．70米
【答案】B
【详解】由题意可得在中，，
在中，，则由正弦定理可得，
即，解得千米，故B正确.
故选：B.
21．三角高程测量法是一种常用的测量方法.如图，，，三点在水平地面上的投影，，满足，.到地面的距离为，到地面的距离为，在测得的仰角为，在测得的仰角为，则到地面的距离约为（ ）（参考数据：）

A．B．C．D．
【答案】C
【详解】

如图所示，过点作于点，过点作于点，
则，，.
由题易知，，为等腰直角三角形，
所以，即，所以.
在中，，，
所以，
所以由正弦定理得，即，
解得，所以.
在等腰直角中，，
所以.
故选：C.
22．某海域的东西方向上分别有两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速速为海里/小时.
(1)求点到点的距离；
(2)若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.
【答案】(1)
(2)2小时
【详解】（1）由题意知海里，
，
，
在中，由正弦定理得，
，
（海里）.
（2）在中，，
（海里），由余弦定理得
，
（海里），则需要的时间（小时）．
答：救援船到达点需要2小时．
23．为丰富学生课余活动，体育组陈老师和学生们一起做游戏：陈老师站在处，让甲同学站在处北偏东方向，距离处km的处，并让站在处北偏西75°的方向，距离处 2 km的处的乙同学以km/h的速度去追甲同学．此时，甲同学正以10 km/h的速度从处向北偏东30°方向奔跑，问乙同学沿什么方向能最快追上甲同学？
【答案】沿北偏东60°方向能最快追上.
【详解】如图，设乙同学需要用时在处追上甲同学，则，，
在△ABC中，，，，
由余弦定理，得，
，由正弦定理可得，
，则与正北方向成90°角．
在中，,由正弦定理，
得，
,即乙同学沿北偏东60°方向能最快追上甲同学．
24．某公园拟建造一个四边形的露营基地，如图所示．为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形区域中，将三角形区域设立成花卉观赏区，三角形区域设立成烧烤区，边修建观赏步道，边修建隔离防护栏，其中米，米，．
(1)若米，求角的余弦值；
(2)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(3)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)
(2)米
(3)米，米，
【详解】（1）由余弦定理得，．
（2），解得，
又为钝角，所以，
由余弦定理得，
米．
（3），当且仅当时等号成立，
此时，，
设，
在中，由正弦定理得，，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
此时，，
所以应设计米，米，．
06 边角互化
25．在中，内角的对边分别为，已知，且，若，则的面积为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】由及正弦定理，
可得，
因，所以，
又，则有，
若，则有，则，
所以.
选选：B.
26．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由，可得，
所以，
所以，
所以，因为，所以，
所以，所以，所以，
因为，所以，所以，所以.
故选：B.
27．（ 2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知的内角，，的对边分别为，，，，，则 .
【答案】或2
【详解】由余弦定理有，所以，
解得或2.
故答案为：或2.
28．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】的内角，，所对的边分别是，，，已知，
则，整理得．
由余弦定理得，当且仅当时取等号，
所以，又，故，即的取值范围是.
故选：A
29．在中，角，，所对的边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，且，求.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
且，
则，可得，
又因为，则，可得，
且，所以.
（2）因为，，
由正弦定理，可得，，
则，即，
由余弦定理，
即，解得，
所以.
07 三角函数与解三角形的综合应用
30．已知函数，.
(1)求函数的最小正周期与单调增区间；
(2)设中，角，，的对边长分别为，，，若，，的面积为，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意得
，
由正弦函数最小正周期公式得最小正周期；
由，解得，
得函数的增区间为.
（2）由得，，则，
因为，所以，
可得，故，
由三角形面积公式得，解得，记为①式，
由余弦定理得，记为②式，
联立①②解得或，故.
31．已知函数．
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)在中，内角所对的边分别为，且，求外接圆的面积．
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）由题意得，，
∴函数的最小正周期，
由得，
∴的单调递增区间为．
（2）由得，故，
∵，∴，
∴，解得.
设外接圆的半径为，由正弦定理得，故，
所以外接圆的面积为．
32．已知函数.
(1)若，求函数在区间上的最大值和最小值；
(2)若，且在中，角，，所对的边分别为，，，，，，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当时, ,
当时, ,则,
故,
因此
（2）当时, ,
故,即,
由于,故,
所以,即,
由余弦定理可得,解得(负值舍去),
故
33．已知函数.
(1)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(2)在中，角的对边分别为，若.
①求的值；
②求.
【答案】(1)，
(2)①；②2
【详解】（1）.
最小正周期为，
，
，
所求函数的单调递减区间为.
（2）①由（1）知，
又，
又.
，
.
②由（1）得，
.
34．已知向量，，函数．
(1)求函数在上的最值，并求此时的值；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，得到函数的图象．若在中，角，，的对边分别为，，，，，，求的面积．
【答案】(1)最大值为，此时；最小值为，此时；
(2).
【详解】（1）解：因为
，
当时，，
所以当，即时，取最小值，为；
当，即时，取最大值，为；
所以在上的最大值为，此时；最小值为，此时；
（2）解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），
得，
再将的图象向左平移个单位长度并向下平移个单位长度，
得，
所以，
又因为，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，，
由余弦定义可得：
，
所以，
解得，
所以.
08 最值问题（基本不等式法）
35．在中，内角，，所对应的边分别为，，．若且，则的面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】在中，
又∵，∴
故，
∵,∴,
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积的最大值为．
故选：B.
36．中，点在边BC上，，，，则面积的最小值是 .
【答案】
【详解】，，
，
，
，
整理得，
所以，解得，当且仅当时等号成立，
所以 ．
故面积的最小值为，
故答案为：
37．在中，，再从下面两个条件中，选出一个作为已知条件，解答下面的问题．条件①：；条件②：．
(1)若，求的面积；
(2)求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）选条件①：由正弦定理，得．
因为，所以，
所以，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
选条件②：因为，整理得．
由余弦定理，得．
因为，所以．
在中，当时，
由余弦定理，
得，即，所以，
所以．
（2）解法一：由题设及（1）可知．
由余弦定理，得，
化简得．又，
所以，
解得，
当且仅当时等号成立，
由三角形的三边关系可知，
所以，即的取值范围为．
解法二：由题设及（1）可知．
由正弦定理，得，
所以，
得
，
因为，则，
所以，
故，
所以，即的取值范围为．
38．在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，．
(1)求角A和边a；
(2)若点是边上的中点，求的最大值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由和正弦定理可得，，
化简得，
因，则，则，即，
因，故，
又由且，
可得．
（2）因为点是边上的中点，所以，
平方得，
又由余弦定理得，
则，即，当且仅当时等号成立，
所以.
39．记的内角所对的边分别为，若，且.
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长；
(3)求边上的中线长度的最小值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
又由余弦定理，可得，
因为，所以.
（2）解：因为，由正弦定理得，
因为，所以，所以，
又因为，所以，则，
由，可得，所以，
所以的周长为.
（3）解：因为，由余弦定理得，即，
又因为，当且仅当时等号成立，所以，所以，
因为为边上的中线，可得，
所以，
所以，则，
所以边上的中线长度的最小值为.
09 最值问题（三角函数法）
40．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的平分线交边于D，，则的最小值为（ ）．
A．B．3C．D．
【答案】D
【详解】由余弦定理得，则，
由，则，
因为的平分线交边于D，
所以，则，
所以，则，，
所以
，，
则，当且仅当，即时等号成立，
即的最小值为.
故选：D.
41．在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】由题意，，
可得，
由于，
可得，
由题意利用正弦定理可得，
可得，，
可得
，
由于，可得，可得，
可得，
所以的取值范围为．
故答案为：．
42．已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B的大小；
(2)若点M在线段上，，，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
整理得，
而，则，两边平方得，
又，所以，，于是，解得，所以．
（2）由（1）知，由，则，
由，，则，
则，即，
因此，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
43．在中，内角的对边分别为，已知．
(1)证明：．
(2)若，求的值．
(3)求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【详解】（1），，
，
，
整理得．
，，，，
或，
或（舍去）．，得证；
（2），，
又
，
．
又，，
即,
，
，，，，
；
（3），
．
又，，，
，，
当且仅当时，等号成立，解得，满足条件，
故的最小值为．
44．在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知.
(1)求B的值；
(2)若b=2，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，由正弦定理得，
即，由余弦定理得，
因为，所以．
（2）在锐角中，，记的面积为．
由正弦定理得，即．
所以
．
因为在锐角中，，所以，，
解得，则，所以，
所以，所以面积的．
45．在△中，内角的对边分别为，已知．
(1)求；
(2)若△为锐角三角形，记其面积为，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)的取值范围为．
【详解】（1）由已知得，
，
，
，
由正弦定理，得，
由余弦定理，得，
又，．
（2）法一：由（1）及已知，得，，
，
令，则．
△为锐角三角形，，解得，
在上单调递增，，
，，即．
在上单调递减，在上单调递增，
，即，，
的取值范围为．
解法二：由（1）及已知，得，，
，
，
△为锐角三角形，，解得，
，
即，，
，
的取值范围为．
10 切弦互化求最值问题
46．在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则的最大值为 .
【答案】/
【详解】因为，由正弦定理得，
即，
即，
两边同时除以，得，
即，
令，则，
故当时，即当时，取最大值为.
故答案为：.
47．记锐角内角，，的对边分别为，，，且.
(1)证明：；
(2)求的最大值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)1.
【详解】（1）在中，由及正弦定理，得，
则，
而，则，于是，
整理得，因此，
所以.
（2）在锐角中，由（1）知，，则，
而，则
，当且仅当时取等号，
因此，，所以的最大值为1.
48．已知分别为的内角的对边，且．
(1)若，求；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理可得，
即，，
则.
因为，所以.
，
则．
（2）由（1）可知，，即，
由可得
，
即，所以为锐角三角形.
由均值不等式可知，即，
所以，当且仅当时等号成立，
故的最小值为．

1．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”．类比“赵爽弦图”，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，．则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】由知，
所以为正三角形，
∵，
设，则
由正弦定理：，即，则
在中，
即，则，即．
故选：A.
2．（ 2025·浙江绍兴·二模）在等腰直角三角形ABC中，．P为其内部一点，满足，，则的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
由已知，设，则，，
，，
在中，由正弦定理得，
在中，由正弦定理得，
又，
所以，
即，
即，
所以.
故选：A.
3．（多选）定义：一个平面封闭区域内任意两点之间的距离的最大值称为该区域的“直径”.在中，，BC边上的高等于，以的各边为直径向外分别作三个半圆，记三个半圆围成的平面区域为W，其“直径”为d，则（ ）
A．B．面积的最大值为
C．当时，D．d的取值范围是
【答案】ABD
【详解】设A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由已知，，得，
又由余弦定理可知，
即，故A正确；
的面积为，
又，即，当且仅当时取等，
故的面积，故B正确；
设边上的中点分别为，在上取一点M，在上取一点，
由两点间线段最短可得，
当且仅当四点共线时取等，所以，
当时，，，得，
故为以B为直角顶点的等腰直角三角形，
∴，故C错误；
由A知，，
则（当且仅当时等号成立），
又因，则，
则，故D正确.
故选：ABD
4．已知锐角的内角的对边分别为，若，则的取值范围为 .
【答案】
【详解】在锐角中，由，有，
法一：有余弦定理知，，所以，
所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
所以的取值范围为.
法二：由正弦定理知，，
又，从而，故，所以的取值范围为.
故答案为：.
5．如图，已知某三角形场地是直角三角形，且，，，现要在此场地中修建一正三角形形状（如图）的人工湖，该正三角形的顶点位于场地的边界线上，则的面积最小值为 .
【答案】/
【详解】设，则，
由正弦定理得，且，
由知：，则，
则的面积最小值为.
故答案为：
6．已知为等腰三角形，点D为腰AC上靠近顶点A的三等分点，BD长为2，则该三角形面积的最大值为 ．
【答案】//
【详解】设，则，
在中利用余弦定理得，，
在中利用余弦定理得，，
因，
则，
则，
因等腰底边上的高为，
则，
故当，即，时，取最大值.
故答案为：
7．（ 2025·广东惠州·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知恰好满足下面四个条件中的三个：①，②，③，④
(1)问满足的是哪三个条件?请列举出来，并说明理由；
(2)求.
【答案】(1)①③④，理由见解析
(2)2
【详解】（1）满足的条件是①③④；
若，，则，
若，，则，
由，所以条件①和②不可能同时满足，
故③和④都满足，由，所以，
所以B为锐角，应有，从而条件②不能满足，
故满足的条件是①③④.
（2）法一：由（1）可得，，，
由余弦定理，
所以，化简得
解得：或（舍去），故.
法二：因为，所以，
又，故.
由正弦定理，得，
因为B为锐角，得：，故.
由勾股定理，得，
因为，故.
8．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若的面积为为BC上一点，AD为的平分线，求AD.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）根据题意，
则由正弦定理得，
即，
即，
化简得，
因为，所以，
∴，由于，
则；
（2）根据题意，的面积为即，
则，
又根据余弦定理，，则，
所以，即，
又由的面积，
所以.
1．（2023·北京·高考真题）在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
2．（2023·全国甲卷·高考真题）在中，，的角平分线交BC于D，则 ．
【答案】
【详解】
如图所示：记，
方法一：由余弦定理可得，，
因为，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案为：．
方法二：由余弦定理可得，，因为，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因为，所以，，
又，所以，即．
故答案为：．
【点睛】本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．
3．（2024·天津·高考真题）在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设，，则根据余弦定理得，
即，解得（负舍）；
则.
（2）法一：因为为三角形内角，所以，
再根据正弦定理得，即，解得，
法二：由余弦定理得，
因为，则
（3）法一：因为，且，所以，
由（2）法一知，
因为，则，所以，
则，
.
法二：，
则，
因为为三角形内角，所以，
所以
4．（2025·北京·高考真题）在中，．
(1)求c的值；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高．
条件①：；条件②：；条件③：的面积为．
【答案】(1)6
(2)答案见解析
【详解】（1）因为，所以，
由正弦定理有，解得；
（2）如图所示，若存在，则设其边上的高为，
若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角，
而这是不可能的，所以此时三角形不存在，故边上的高也不存在；
若选②，，由有，由正弦定理得,所以，
所以由余弦定理得,
此时三角形是存在的，且唯一确定，
所以,即，
所以边上的高；
若选③，的面积是，则，
解得，由余弦定理可得可以唯一确定，
进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定，
这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即.
5．（2024·北京·高考真题）在中，内角的对边分别为，为钝角，，．
(1)求；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)；
(2)选择①无解；选择②和③△ABC面积均为.
【详解】（1）由题意得，因为为钝角，
则，则，则，解得，
因为为钝角，则.
（2）选择①，则，因为，则为锐角，则，
此时，不合题意，舍弃；
选择②，因为为三角形内角，则，
则代入得，解得，
,
则.
选择③，则有，解得，
则由正弦定理得，即，解得，
因为为三角形内角，则，
则
，
则
6．（2023·天津·高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
（2）由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，
所以都为锐角，因此，，
．
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知在中，．
(1)求；
(2)设，求边上的高．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．
(1)若，求；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，

则，解得，
在中，，由余弦定理得，
即，解得，则，
，
所以.
方法2：在中，因为为中点，，，
则，解得，
在中，由余弦定理得，
即，解得，有，则，
，过作于，于是，，
所以.
（2）方法1：在与中，由余弦定理得，
整理得，而，则，
又，解得，而，于是，
所以.
方法2：在中，因为为中点，则，又，
于是，即，解得，
又，解得，而，于是，
所以.