浙江省绍兴市2024_2025学年高一数学下学期期末考试含解析

这是一份浙江省绍兴市2024_2025学年高一数学下学期期末考试含解析，共18页。
1．请将学校、班级、姓名分别填写在答卷纸相应位置上.本卷答案必须答在答卷相应位置上.
2．全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：因为，集合，
所以，
所以，
故选：D
2. 从这五个字母中随机选择一个，则选中元音字母或的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：从五个字母中随机选择一个，则样本空间，，
记“选中元音字母a或e”，则，，
故，
故选：C
3. 对数与互为相反数，则有（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：因为对数与互为相反数，可得，即，所以.
故选：C.
4. 已知，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
解析：，
，
两式相加得，即，，
，
故选：B．
5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
解析：对于，如图，上底面和下底面平行，，但此时是异面，故A错误；
对于，如图，右侧面为，下底面，，此时与相交，故B错误；
对于，因为，所以，又，，是两条不同的直线，
故，由线面平行的判定定理可得，故C正确；
对于，如图，右侧面为，下底面，，此时与相交，故D错误；
故选：C
6. 函数的图象大致为（）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：的定义域为，
，
为奇函数，关于原点对称，排除C，D；
又，
在上单调递增，
在单调递增，
在单调递增，排除，
故选：A
7. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A=“第一次掷出的点数是偶数”，B=“第二次掷出的点数是奇数”，C=“两次掷出的点数之和是偶数”，则（）
A. A与B互为对立B. A与C相互独立C. 与C互斥D. 与C相互独立
【答案】B
解析：对于A，事件A与事件B可以同时发生，故事件A与事件B不是互斥事件，更不是对立事件，故A错误；
对于B，抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则样本空间，共36种，
其中
，共18种，故，
，共18种，故，
，共9种，故，
因为，故A与C相互独立，故B正确；
对于C，=“第二次掷出的点数是偶数”，故=“两次掷出的点数都是偶数”，
因为C=“两次掷出的点数之和是偶数”，所以，故与C不是互斥事件，故C错误；
对于D，由C可知，故，由B可知，
故，故D错误；
故选：B
8. 在正三棱柱中，D，E，F分别是棱，，上的点，，，若平面DEF将该三棱柱截成体积相等的两部分，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
解析：
连接，，
不妨设正三棱柱上下底面的边长为2，侧棱长为，
则到平面的距离和D到平面的距离相同，都为，
，，则，
设，则，
梯形的面积，，
，
，
平面截正三棱柱所得上半部分体积为
，
又，
平面将该正三棱柱截成体积相等的两部分，
，即，解得，
即，，
故选：A
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，，则（）
A. B. 的共轭复数是
C. 的虚部是3D. 是纯虚数
【答案】ACD
解析：对于A，，，故A正确；
对于B，，故的共轭复数是，故B错误；
对于C，，的虚部是3，故C正确；
对于D，，故是纯虚数，故D正确，
故选：ACD
10. 已知函数的定义域为是奇函数，是偶函数，当时，，则（）
A. 的图象关于直线对称B. 是周期函数
C. 在上单调递减D. 在内有4个零点
【答案】AB
解析：对于A，是偶函数，，关于直线对称，故A正确；
对于B，由A可知关于直线对称，①，
又是奇函数，，即，
关于点对称，②，
由①②可得，即，
，
，
的一个周期为8，故B正确；
对于C，由B知关于点对称，
时，单调递增，
在也单调递增，故C错误；
对于D，定义域为R，关于对称，，
又关于直线对称，，
在内有2个零点，故D错误，
故选：AB.
11. 在四面体中，，二面角的大小为，该四面体的所有顶点都在半径为的球的球面上，半径为的球与该四面体的四个面均相切，则（ ）
A. 当时，B. 存在，使与重合
C. 随的增大而增大D. 对任意的
【答案】BCD
解析：设中点为，过的外心作平面的垂线，交点即为球心，
，
为等边三角形，则，，外接圆半径都是，
又中点为，所以，
又平面，所以平面，
又平面平面，
所以就是二面角的平面角，即，
在四边形中，，
所以是其外接圆直径，即是的外接圆直径，
，
则外接球半径，
，，
四面体的表面积，
四面体的体积，
所以，
对于A，时，，
，故A错误；
对于B，易知当四面体为正四面体是外接球球心与内切球球心重合，故B正确；
对于C，由，
因为在单调递减，且大于0，
所以在单调递增，即随的增大而增大，故C正确；
对于D，
，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某市6月份第三周空气质量指数如下：35，54，58，72，80，85，86，则这组样本数据的第75百分位数是_______．
【答案】85
解析：因为，所以这组样本数据的第75百分位数是85.
故答案：85.
13. 在正方体中，E是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______.
【答案】##0.8
解析：
由正方体的性质可得：平面，平面，
所以平面平面，即直线在平面的射影就是，
所以直线与平面所成角的平面角就是，
设正方体的棱长为，因为E是的中点，所以由勾股定理可得，
由余弦定理可得：，
因为为锐角，所以，
故答案为：.
14. 已知向量满足，，则的最大值为_______．
【答案】##6.5
解析：，
，
当时，的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知，，设函数．
（1）求的值；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）1 （2）
（1）
，则．
（2）
令，
所以的单调递增区间为．
16. 近年来，绍兴市持续推进实施先进制造业强市“4151”计划，出台加快制造业转型行动方案.某企业在政策扶持下改革创新，成效显著.现随机抽取该企业改进生产工艺前、后各100件产品，并测量某项质量指标值（小于95的产品为不合格品，大于或等于105的产品为优等品），得到如下频数分布表：
改进生产工艺前
改进生产工艺后
（1）分别估计该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率；
（2）若改进生产工艺后，每件产品的利润（单位：元）与其质量指标值t的关系为估计该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润.
【答案】（1）
（2）
（1）
设企业在改进生产工艺前的优等品率为，改进生产工艺后的优等品率为，
则，，
故该企业在改进生产工艺前、后的产品的优等品率分别为；
（2）
由题可知，指标值的频率为，的频率为，的频率为，
设该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润为，
则，
所以该企业在改进生产工艺后每件产品的平均利润为.
17. 已知平面四边形的对角线分别为，且．
（1）若，，求的面积；
（2）若，，平分线AE交BD于点E，求AE．
【答案】（1）
（2）
（1）
因，，
所以为钝角，为锐角，则，，
在中，由正弦定理得，，
，
所以．
（2）
因为，，平分，
所以，，
则，
过点作，垂足分别为，如图所示，则，
设，
则，
所以，
在中，．
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，底面，，，，，M，N分别是棱PA，PC上的点（含端点）．
（1）证明：；
（2）若N为棱的中点，且二面角的正切值为，求；
（3）设点Q是边上的点（含端点），求的最小值．
【答案】（1）证明见解析
（2）1 （3）
（1）
连接，
中，由余弦定理得，，
所以，所以，
又因为四边形为平行四边形，所以，即，
因为平面，平面，
所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以．
（2）
在平面中，过点作，垂足为，连接，
由（1）知，平面，平面，
所以，
又平面，
所以，
又平面，平面，平面平面，
所以为二面角的平面角，
因为平面，平面，所以，
则在中，，
因为底面，平面，所以，
在中，，
又N为棱的中点，所以，
所以，则，所以，
在中，，
所以，设，
在中，由余弦定理得，，
所以．
（3）
将在同一平面展开，将沿对称得，点沿对称得，
则，当且仅当在同一直线上时，取得最小值，
所以，
当在同一直线上，且过点时，取得最小值，如图所示，
则，
故的最小值为．
19. 已知一组数据：，，，，的平均数为，标准差为，且满足，．
（1）若，求函数的最小值；
（2）若，求证：；
（3）若，，，的方差为，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
（1）
，
则，
，
故当时有最小值；
（2）
由，
则，
由，则，，则，
即，
则，故，
又，故，故有，
即，即；
（3）
设，，，的平均数为，
，
则，、
要证，只需证，
令，即只需证，
即只需证，即只需证，
由，则，，
不妨设，满足的最大正整数为，
若，
则有，
又，矛盾，故，
则
，
即，即得证.
质量指标值t
频数
9
18
26
32
15
质量指标值t
频数
5
15
20
35
25