河北省衡水市2026届高三第二次调研考试数学试题（解析版）月考

这是一份河北省衡水市2026届高三第二次调研考试数学试题（解析版）月考，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知集合M=x∈Z-20且a≠1）的定义域为-∞，0∪0，+∞，
因为fx是奇函数，则f-x=-fx，即a2a-x-1+a=-a2ax-1+a，
得a2⋅ax1-ax+a2ax-1+2a=0，即a21-axax-1+2a=0，
故-a2+2a=0，解得a=2或a=0（舍去），
故fx=42x-1+2，故f1=421-1+2=6，
故选：C.
7．已知α为锐角，且sin2α-π4=-19，则sinα+π8=（ ）
A．23B．13C．-13D．-23
【答案】A
【解析】令β=α+π8，则α=β-π8，则2α-π4=2β-π8-π4=2β-π2，
故sin2α-π4=sin2β-π2=-cs2β=2sin2β-1=-19，得sin2β=49，
因为α为锐角，则β=α+π8∈π8,5π8，则sinα+π8=sinβ=23.
故选：A
8．已知x, y∈R, x+22x-1=1, 4y+lg2y=0，则12x+y=（ ）
A．12B．1C．32D．2
【答案】A
【解析】由x+22x-1=1可得：22x=2-2x，
又由4y+lg2y=0可得：lg24y=2-4y。
而函数y=2x与y=lg2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y=x对称，
下面作出函数y=2x，y=lg2x，y=2-x，y=x的图象：
由图可得：方程2x=2-x的根为xA，即xA为如图交点A的横坐标，
方程lg2x=2-x的根为xB，即xB为如图交点B的横坐标，
由图可知交点C的横坐标为1，根据对称性可得：xA+xB=2，
根据同构方程思想可得：满足22x=2-2x和lg24y=2-4y的根必有：2x+4y=2，
所以12x+y=12，
故选：A.
二、多选题
9．在边长为3的等边三角形ABC中，CD→=2DB→,BE→=2EA→，则下列结论正确的是（ ）
A．AD→=13AB→+23AC→B．AD→⋅CE→=-72
C．DE→=3D．DE→⋅CE→=DE→2
【答案】BCD
【解析】对于A：AD→=AB→+BD→=AB→+13BC→=AB→+13AC→-AB→=13AC→+23AB→，A错误；
对于B：CE→=AE→-AC→=13AB→-AC→，
所以AD→·CE→=13AC→+23AB→·13AB→-AC→=19AC→·AB→-13AC→2+29AB→2-23AB→·AC→
=29AB→2-13AC→2-59AC→·AB→=29×9-13×9-59×3×3×12=-72，B正确；
对于C：因为DE→=AE→-AD→=13AB→-13AC→+23AB→=-13AB→-13AC→，
所以DE→2=19AB→2+29AB→·AC→+19AC→2=19×9+29×3×3×12+19×9=3，
所以DE→=3，C正确；
对于D：DE→·CE→=-13AB→-13AC→·13AB→-AC→=-19AB→2+13AB→·AC→-19AB→·AC→+13AC→2=-19AB→2+29AB→·AC→+13AC→2=-19×9+29×3×3×12+13×9=3，D正确.
故选：BCD.
10．已知函数fx=x2-x-lnx，则下列结论正确的是（ ）
A．函数fx有三个单调区间
B．函数fx有最小值
C．函数fx在a, +∞上单调的充要条件是a≥1
D．函数fx有两个零点
【答案】BC
【解析】已知函数fx=x2-x-lnx，则x>0，
求导得：f'x=2x-1-1x=2x2-x-1x=2x+1x-1x.
令f'x=0，解得x=-12或x=1，因为x>0，故x=1，
当00，fx单调递增.
所以函数fx有两个单调区间，选项A错误；
由上可知，fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
所以fx在x=1处取得最小值，f1=12-1-0=0，故B正确；
因为fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
若函数fx在a,+∞上单调，则a≥1，满足充分性，
若a≥1，则函数fx在a,+∞上单调，满足必要性，
故函数fx在a,+∞上单调的充要条件是a≥1，选项C正确；
因为fx在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，f1=0为最小值，
所以fx只有一个零点，故D错误.
故选：BC.
11．已知函数fx=singx+csgx，则下列结论正确的是（ ）
A．若gx=sinx，则函数fx的图象关于x=π2对称
B．若gx=sinx，则函数fx在0, π2上单调递增
C．若gx=sinx或gx=csx，则2π为函数fx的一个周期
D．若gx=csx，则函数fx的最大值为2
【答案】ACD
【解析】对于A：当gx=sinx，则fx=sinsinx+cssinx.
fπ2+h=sinsinπ2+h+cssinπ2+h=sincsh+cscsh，
fπ2-h=sinsinπ2-h+cssinπ2-h=sincsh+cscsh，
因此，fπ2+h=fπ2-h，图象关于x=π2对称，故A 正确.
对于B：gx=sinx，则 fx=sinsinx+cssinx=2sinsinx+π4，
∃α∈0,π2,sinα=π4，此时fxmax=fα=2，
而fπ2=2sinsinπ2+π4=2sin1+π4BC，由大边对大角得B>A，所以A为锐角，
所以csA=155.
故答案为：155.
14．已知ab>0，满足2a-b+8b-1a=1，则2a-b的取值范围是 .
【答案】-1, 2
【解析】由题意知ab>0，满足2a-b+8b-1a=1，则1-2a-b=8b-1a，
故2a-b-2a-b2=2a-b1-2a-b=2a-b8b-1a=16ab+ba-10，
因为ab>0，故ab>0,ba>0，故16ab+ba≥216ab⋅ba=8，
当且仅当16ab=ba，结合2a-b+8b-1a=1，即a=12,b=2或a=-1,b=-4时等号成立，
故16ab+ba-10≥-2，即2a-b-2a-b2≥-2，解得-1≤2a-b≤2，
当a=12,b=2时，2a-b=-1；当a=-1,b=-4时，2a-b=2，
故2a-b的取值范围是-1, 2，
故答案为：-1, 2.
四、解答题
15．已知向量m=sin2x, sinxcsx, n=csα, sinα, fx=m⋅n.
（1）若α为钝角，且fx的最大值为14，求fx的单调递增区间；
（2）若α为锐角，且x=π3是函数fx的一条对称轴，求函数fx在0, π2上的值域.
解：（1）由题意，已知向量m=sin2x, sinxcsx， n=csα, sinα，
则fx=m⋅n=sin2xcsα+sinxcsxsinα=1-cs2x2csα+12sin2xsinα =12csα-12cs2x+α.
因为-1≤cs2x+α≤1，
所以fx=12csα-12cs2x+α ≤12csα+12=14，
因为fx的最大值为14，所以csα=-12，
又α为钝角，所以α=2π3.
此时fx=-14-12cs2x+2π3，
根据余弦函数单调性，可得2kπ≤2x+2π3≤2kπ+πk∈Z，
解得kπ-π3≤x≤kπ+π6k∈Z，
所以fx的单调递增区间为kπ-π3, kπ+π6k∈Z.
（2）由（1）知fx=12csα-12cs2x+α，
因为x=π3是函数fx的一条对称轴，所以存在k∈Z，使得2⋅π3+α=kπ，
解得α=kπ-2π3 k∈Z，
又α为锐角，所以当k=1时，α=π3，所以csα=12
此时fx=14-12cs2x+π3，
又0≤x≤π2，所以π3≤2x+π3≤4π3，从而-1≤cs2x+π3≤12，
则0≤14-12cs2x+π3≤34，
所以函数fx在0, π2上的值域为0, 34.
16．已知数列an的前n项和为Sn, a3=8, 2Sn=nan+1-1.
（1）证明：an+1n是常数列；
（2）设bn=13Sn-1，求数列bn的前n项和.
（1）证明：已知数列an的前n项和为Sn, a3=8, 2Sn=nan+1-1.
当n=2时，2a1+a2=2×8-1, a1+a2=7.
当n=1时，2a1=a2-1，∴a1=2, a2=5.
当n≥2时，2Sn-1=n-1an-1，
∴2an=2Sn-2Sn-1=nan+1-1-n-1an-1，
即n+1an=nan+1-1, ann=an+1n+1-1n-1n+1，
∴an+1n=an+1+1n+1，
当n=1时也符合上式，∴数列an+1n是常数列.
（2）解：由（1）知an+1n=3，∴an=3n-1，
∴Sn=n3n+12，bn=29n2+3n-2=23n+23n-1=2313n-1-13n+2，
∴b1+b2+⋯+bn=2312-15+15-18+⋯+13n-1-13n+2=2312-13n+2=n3n+2.
17．已知函数fx=ex,gx=ax+1.
（1）讨论函数hx=fx-gx的单调性；
（2）若∀x∈R,a2fx≥gx恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）函数hx=f(x)-g(x)=ex-ax-1，定义域为R，h'x=ex-a，
当a≤0时，h'x>0，函数hx在R上单调递增；
当a>0时，由h'x>0，解得x>lna，函数hx在(lna,+∞)上单调递增；
由h'x0得x>-lna,则mx在(-lna,+∞)上单调递增；
由m'x1时，g'(q) >0, gq单调递增；当0