重庆市七校联盟2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份重庆市七校联盟2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共16页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分．共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
（原创）
1. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【详解】命题“，”的否定为，.
故选:D
（原创）
2. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为，所以，
所以，
故选：B．
（改编）
3. 某汽车制造企业为了解新研发的一款纯电汽车的续航里程（单位：公里）情况，随机抽查得到了5000个样本，根据统计这款新型纯电车的续航里程，若，则该样本中续航里程不小于600公里的纯电汽车大约有（ ）
A. 75辆B. 85辆C. 100辆D. 120辆
【答案】A
【详解】因为，，所以，
故该样本中续航里程不小于600公里的电动摩托车大约有辆；
故选：A
（原创）
4. 小明与小红两人组队同时参加了闯关游戏，两人各自独立闯关互不影响，已知小明能闯关成功的概率为，小红能闯关成功的概率为，则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】由题可知，小明能闯关成功的概率为，
此游戏被闯关成功的概率为，
则在此游戏被闯关成功的条件下，小明能闯关成功的概率为，
故选：B．
（原创）
5. 若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】因为函数在上存在单调递减区间，
所以存在，使成立，即存在，使成立，
令，因为，所以，
所以当，即时，，所以，
故选：B．
（改编）
6. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的中间6位数字1，4，1，5，9，2进行某种排列得到密码．如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个．
A. 180B. 240C. 300D. 360
【答案】C
【详解】先排数字9得出有种，
因为有两个1，所以总数有种.
故选：C
（改编）
7. 已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，，且，都有，则，，的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【详解】∵在R上为偶函数，
∴，∴关于对称.
∵在R上奇函数，∴，
∴关于对称，且，
∵，∴（将上式中的x换成）①，
又∵，∴②，
∴由①②得：③，
∴由③得：④（将③中的x换成），
∴由③④得：，
∴的一个周期为，且，关于对称，
又∵对任意的，且，都有，
∴在上单调递增，
∴在一个周期内的草图为：
∴，
，
∴如图所示：，
即：，
故选：C．
（改编）
8. 设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】由题意，函数的定义域为，
令，则或，
因为在上恒成立，其中，，
当时，则恒成立，即有；
当时，显然不等式恒成立；
当时，则恒成立，即有.
综上，，
又，，则，当且仅当时取等号.
所以的最小值是.
故选：A.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分，若只有3个正确选项，每选对一个得2分．）
（改编）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 的值越大，两个事件的相关性就越大
B. 若甲、乙两组数据的相关系数分别为和0.89，则乙组数据的线性相关性更强
C. 已知，则，
D. 设a，则，“”是“且”的必要不充分条件．
【答案】CD
【详解】对于A，在一个2×2列联表中，由计算得的值，的值越大，两个变量相关的把握越大，故A错误；
对于B，具有线性相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，则越接近于1，x和y之间的线性相关程度越强，则甲组数据的线性相关性更强，B错误；
对于C，因为随机变量，则，方差，故C正确；
对于D：因为当时，满足“”不能得出“且”，
且可以得出，所以“”是“且”的必要不充分条件，D选项正确；
故选：CD
（改编）
10. 设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 是的极大值点
B. 当时，
C. 当时，
D. 若关于x的方程恰有3个不等的实根，则m的范围是
【答案】ABD
【详解】令，解得或，
当时，，则在上单调递减，
当和时，，则在和上单调递增，
对于A，是的极大值点，故A正确；
对于B，当，则，
因为在上单调递增，在上单调递减，，
所以，故B正确；
对于C，当时，且，又在上单调递增，
所以，故C错误；
对于D，由函数单调性得的极小值，极大值，作出函数图象，如图所示，
由图像可知，关于x的方程恰有3个不等的实根，则m的范围是，故D正确；
故选：ABD．
（改编）
11. 空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ ）
A. 若，则为奇函数
B. 若，，则函数的最大值为4
C. 若，则函数的最小值为2
D. 为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为
【答案】AD
【详解】对于A，若，则，，，
为奇函数，故A正确；
对于B，若，，，
当且仅当时等号成立，故B错误；
对于C，若，则，，
当时，，当且仅当，即时等号成立，
所以无最小值，故C错误；
对于D，若为奇函数，则，所以，
若，使得成立，
则，
若，则，
则，即能成立，
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的最小值为，故D正确；
故选：AD．
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
（原创）
12. 已知函数，若，则实数________．
【答案】1
【详解】若，则，无解；
若，则，解得，
故答案为：1．
（原创）
13. 某企业有9台制衣机器，这些机器中有4台是不会出现故障的，且在剩下的5台机器中，有3台机器不会出现故障的概率为，其余2台机器不会出现故障的概率为，则从这9台机器中任抽1台，不会出现故障的概率为________．
【答案】
【详解】设这9台机器中任抽1台，不会出现故障为事件A，
所以.
故答案为：.
（改编）
14. 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是________．
【答案】
【详解】构造函数，则；
因为，
所以当时，，即，此时在上单调递增；
当时，，即，此时上单调递减；
又，所以，即；
所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上，
即函数图像关于直线对称，
不等式变形为，即；
可得，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以，解得，
则不等式的解集为，
故答案为：．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
（原创）
15. （1）求的展开式中二项式系数最大的项；
（2）已知．求的值．
【答案】（1）和；（2）
【详解】（1）由二项式系数的性质可知：的展开式中第项的二项式系数和第项的二项式系数最大，
∴的展开式中二项式系数最大的项为，，
∴的展开式中二项式系数最大的项为和.
（2）∵，
∴令得①，
令得②，
①②得，∴③，
①③得.
即的值为.
（改编）
16. 近年来，全国各地出现了多起电信诈骗案件，为了加强全国人民的防诈意识，构建和谐安全的社会环境，某市公安局组织宣传防诈小分队进行防诈法律法规宣传，该宣传小分队记录了10周以来普及的人数，得到下表：
并计算得，，．
（1）从这10周的数据中任选3周的数据，以X表示3周中每周普及宣传人数不少于210的周数，求X的分布列和数学期望；
（2）试用上表数据求出每周普及的人数y关于周数x的线性回归方程，并预测第18周大约能普及多少人？（、精确到0.1）．
附：线性回归方程中，．
【答案】（1）分布列见解析，数学期望为1.2
（2），570人
【小问1详解】
由题可知，每周普及宣传人数不少于210的有4周，可取，
则，，，，
则X的分布列为：
则数学期望为．
【小问2详解】
，，
所以线性回归方程，
当时，，
所以预测第18周大约能普及570人．
（改编）
17. 设函数.
（1）若曲线在点处的切线与x轴平行，求；
（2）若在处取得极大值，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
∵，
∴，∴.
∵曲线在点处的切线与x轴平行，∴，解得.
当时，，∴，
∴的值为.
【小问2详解】
由（1）知.
当时，.令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意；
当时，令，解得；令，解得或，
∴函数上单调递增，在和上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意；
当时，令，解得或.
当，即时，令，解得或；令，解得，
∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意；
当，即时，恒成立，
∴函数在上单调递增，无极大值，不符合题意，舍去；
当，即时，令，解得或；令，解得，
∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极小值，不符合题意，舍去.
综上，，即的取值范围为.
（改编）
18. 某学校举行教师趣味篮球运动会比赛，选手在连续投篮时，规定：第一次投进得1分，若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某教师连续投篮n次，记投中次数为X，总得分为Y，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立．
（1）当时，计算随机变量X的分布列；
（2）①当时，求的概率；
②记的概率为，求的表达式．
【答案】（1）分布列见解析
（2）①；②
【小问1详解】
X的可能取值为：0，1，2，
；；
；
所以，的概率分布列为
【小问2详解】
①；
②投篮次得分为3分，有两种可能的情况：
情形一，恰好两次投进，且两次相邻；
情形二，恰好三次投进，且任意两次都不相邻，
当时，情形二不可能发生，
故，
当时，情形一发生的概率为，
情形二发生是指，将次未投进的投篮排成一列，共有个空位，
选择其中3个空位作为投进的投篮，故概率为
，
所以
，
又当时，也满足，
综上，.
（改编）
19. 已知函数．
（1）若，判断的单调性；
（2）已知有两个零点，，（）
①证明：；
②证明：
【答案】（1）在区间上单调递减，在区间上单调递增；
（2）证明见解析；
【小问1详解】
当时，，得的定义域为，
且，，
时，单调递增，时，单调递减，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
【小问2详解】
①由题设且，则，
当时，，时，，
在上单调递减，在上单调递增，则，
由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点，
所以，即，命题得证；
②证明：由题意，即，
所以，
记，则，
要证，
记，，则，
记，则，
同（1）分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；
下证，由，由于时，显然成立，
故只需考虑时，是否成立，要证，即证，
由在区间上单调递减，即证，
即证，即证，
记，，，
记，，，所以在上单调递减，
又，所以，所以在区间上单调递减，
又，所以，故.时间x/周
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
每周普及的人数y
85
105
130
150
185
195
220
230
320
380
0
1
2
3
0
1
2