重庆市七校联考2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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一、单选题
1. 有4件不同款式的上衣和8条不同颜色的长裤，若一件上衣与一条长裤配成一套，则不同的配法种数为（ ）
A. 12B. 32C. 44D. 60
【答案】B
【解析】
【分析】利用分步乘法计数原理计算即可求解.
【详解】由分步乘法计数原理可得不同的配法种数为：.
故选：B.
2. 展开后，共有（ ）项.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用分步计数乘法原理计算得解.
【详解】由多项式乘法法则得展开式共有项.
故选：A
3. 计算的值为（ ）
A. 24B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】根据组合数的计算方法求解即可.
详解】.
故选：.
4. 函数的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由导数的几何意义分析可得，和的几何意义，结合图像可得解.
【详解】由函数的图像可知，
当时，单调递增，
，，.
随着的增大，曲线在每个点处的斜率在逐渐减小，即导函数是单调递减的，
.
故选：A.
5. 已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出函数导数，利用导函数在内有零点列式求解.
【详解】由，求导得，而函数在区间上不单调，
则在内有解，即，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：C
6. 甲校3人、乙校2人、丙校1共6人站成一排合影，要求同校人员不相邻，则不同排法共有（ ）
A. 48 种B. 96 种C. 120 种D. 144种
【答案】C
【解析】
【分析】根据甲校3人不相邻分类讨论他们的位置，结合分类加法计数原理和分步计数原理进行求解即可.
【详解】因为甲校3人不相邻排列，所以有以下情形的排列方式：
第一类，甲校3人分别在第一、第三、第五个位置，则有种排法；
第二类，甲校3人分别在第一、第三、第六个位置，则有种排法；
第三类，甲校3人分别在第一、第四、第六个位置，则有种排法；
第四类，甲校3人分别在第二、第四、第六个位置，则有种排法；
因此不同排法共有种，
故选：C
7. 若过点可以作曲线的两条切线，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设切点为，,等价于有两个不同的实数根，求出单调区间和最大值即得解.
【详解】解：设切点为，, 由题得，所以切线的斜率为，
所以切线方程为，
所以，
所以有两个不同的实数根，
设，
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以，
所以.
故选：D
8. 对于连续函数，若，则称为的不动点.下列所给的函数中，没有不动点的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由可得，令，通过导数研究函数单调性，结合零点存在性定理判断各选项有无不动点即可.
【详解】由可得.令.
对于选项A，，则.
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，即有不动点1，故选项A错误；
对于选项B，，
则.
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
又，且当时，，
∴由零点存在性定理可知：存在，使，
即有不动点，故选项B错误；
对于选项C，，则.
令，解得；令，解得或，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
又，且当时，，
∴由零点存在性定理可知：存在，使，
即有不动点，故选项C错误；
对于选项D，，则.
令，解得；令，解得，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴，故函数无不动点，故选项D正确.
故选：D.
本题的解题关键在于将方程是否有解转化为函数的零点个数问题，然后利用导数研究函数单调性，结合零点存在性定理判断各选项有无不动点即可.
二、多选题
9. 下列说法错误的是（ ）
A. 一个函数的极大值一定大于极小值
B. 曲线的切线可能与该曲线有不止一个公共点
C. 函数在某个区间上的最大值，一定在极大值点处取到
D. 若函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足
【答案】ACD
【解析】
【分析】举例判断AB的正确性，对CD根据函数的有关性质可直接判断.
【详解】对A选项：函数的极值是局部性质，极大值与极小值的大小不定，
比如，在处有极大值，在处有极小值，极大值小于极小值，故A错误；
对B选项：函数在处的切线为，与有无数个公共点，故B正确；
对C选项：函数在闭区间上的最大值，有可能在极大值点出取得，也由可能是在区间的端点处取得，故C错误；
对D选项：函数在某个区间上单调递增，则它的导函数在该区间上满足，故D错误.
故选：ACD
10. 某市地铁按照乘客乘坐的站数实施分段优惠政策，不超过9站的地铁票价如下表：现有小明、小华两位乘客同时从首站乘坐同一辆地铁，已知他们乘坐地铁都不超过9站，且他们各自在每个站下地铁的可能性相同，则下列结论正确的是（ ）
A. 若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有9种
B. 若小明、小华两人共花费5元，则小明、小华下地铁的方案共有18种
C. 若小明、小华两人共花费6元，则小明、小华下地铁的方案共有27种
D. 若小明、小华两人共花费6元，则小明比小华先下地铁的方案共有12种（同一地铁站出站不分先后）
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用分类计数原理和分步计数原理可求答案.
【详解】两人共花费5元分为两类：小明花费2元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种，
同理小明花费3元，小华花费2元时，两人下地铁的方案也是种，所以共有18种，A不正确，B正确.
两人共花费6元分为三类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种；
小明花费3元，小华花费3元，此时两人下地铁的方案有种；
小明花费4元，小华花费2元，此时两人下地铁的方案有种，
共有27种，C正确.
小明比小华先下地铁有两类：小明花费2元，小华花费4元，此时两人下地铁的方案有种；
小明和小华均花费3元，小明比小华先下地铁仅有3种方案，所以共有12种方案，D正确.
故选：BCD
11 已知，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】先构造，再根据求导证明，再放缩即可判断A；先构造，再根据求导证明，由，再放缩即可判断B；取特殊值，得到，代入即可判断C；先根据题意得到，令，从而得到，，再构造，，利用导数判断单调性求函数最小值即可判断D．
【详解】由，得，
又，则，解得，
对于A，构造，则，
所以函数在上单调递增，
所以，即，
所以，即，故A正确；
对于B，构造，则，
所以函数在上单调递增，所以，
又，所以，
所以，即，故B正确；
对于C，当时，，则，
又，则，所以，故C错误；
对于D，由，则，所以，
令，则，，所以，
设，，则，
令，，则，
则函数在上单调递增，则，则，
所以在上单调递增，则，所以，故D正确．
故选：ABD．
【点睛】关键点点睛：比较式子的大小，要善于对已知条件变形，恰当变形可结合，，放缩后判断AB选项，变形，再令，变形，是判断D选项的关键，变形到此处，求导得最小值即可．
三、填空题
12. 已知，则_________.
【答案】
【解析】
【分析】求出函数的导函数，再代入计算得解.
【详解】依题意，，所以.
故答案为：
13. 如图，5块相同的正方体垒放在桌子上，每次“变化”会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全部消失不见．如果某次被“变化”的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，我们称发生了“坍塌”．5次“变化”叫一次“操作”，则所有的“操作”中，发生过坍塌的“操作”次数为______．
【答案】110
【解析】
【分析】根据给定条件，求出5次“变化”不发生“坍塌”的次数，再利用排除法求解.
【详解】依题意，5次“变化”中，垒放在左侧3个、右侧的2个正方体都按由上至下的次序消失，不发生“坍塌”，
因此不发生坍塌的“操作”次数为，
所以所有的“操作”中，发生过坍塌的“操作”次数为.
故答案为：110
14. ，恒成立，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
分析】根据给定条件，取可得或，再变形给定不等式分离参数求出范围.
【详解】由，恒成立，得当时，，
即，整理得或，解得或，
，不等式，
令，求导得，
即函数在上单调递增，而，当时，；当时，，
令函数，求导得，函数在上单调递增，，
当时，，由恒成立，得恒成立，而，则，
当时，，由恒成立，得恒成立，则，，
当时，若，则，，不等式成立，
若，则，，不等式成立，
因此当且仅当或时，不等式对恒成立，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15. （1）求值:
（2）求不等式：的解集．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】（1）；
（2）因为，所以，化简可得，解得，所以不等式解集为．
16. 已知函数在点处的切线与轴平行．
（1）求；
（2）求的单调区间和极值．
【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为，极小值，无极大值
【解析】
【分析】（1）由于函数在点处的切线与轴平行，则求解即可；
（2）利用导数分析函数的单调性求解极值即可.
【小问1详解】
因为，所以，
由于函数在点处的切线与轴平行，
所以，即，所以.
【小问2详解】
由（1）可知，所以，
的定义域为：，
令，解得（舍去）或
若时，，单调递减；
若时，，单调递增.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，有极小值为，无极大值.
17. 已知函数
（1）若函数在处有极值为10，求b的值；
（2）对任意，在区间上单调递增，求b的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)利用已知条件可列出方程组，求出的两组解，再进行检验即可；
(2)将已知条件转化为恒成立问题，进而利用函数的恒成立问题即可求解.
【小问1详解】
，,
又函数在处有极值为10，
，或，
当，时，，
令，则或，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，且，
满足函数在处有极值为10；
当，时，，
则函数无极值点.
的值为.
【小问2详解】
对任意，在区间上单调递增，
在任意，恒成立，
记，
，在上单调递增，
在恒成立，
令，
函数对称轴为，，
，的最小值为.
18. 已知函数．
（1），讨论的单调性；
（2），，若恰有一个零点，求的值．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）写出函数的表达式，对其求导令导数等于0即可讨论出单调性；
（2）对函数求导，再对其求二阶导得到导函数有一个零点，写出单调区间利用函数有唯一零点即可得到结果.
【小问1详解】
px=xalgax,x>0，则，
令得，
当时，
，，单调递增；
，，单调递减；
当时，
，，单调递减；
，，单调递增；
【小问2详解】
，则，
考虑函数，注意到，
则有唯一解，
则，，单调递减；
，，单调递增；
注意到，，注意到alna2a>1alna1a，
且ℎalna2a=alna2−2lnalnaalna=a3lna−2lnalnaalna>0，
则恰有一个零点时，，
即
19. 设．
（1）求证：直线与曲线相切；
（2）设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值；
（3）若正实数a，b满足：对于任意，都有，求的最大值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用导数的几何意义设出切点坐标，根据直线方程求出斜率即可得出切点，便可得出证明；
（2）根据题意可将直线向曲线平移，当平移到相切位置时取最小值，求出切点到直线的距离即可求得结果；
（3）将不等式转化为函数恒成立问题，即可得需满足，即可知，构造函数并利用导数求得函数，即可得的最大值为.
【小问1详解】
设直线与相切于点，
易知，则斜率，解得，即切点为；
此时切线方程为，即，
所以可得直线是曲线在点处的切线方程；
【小问2详解】
根据题意，将直线往靠近曲线的方向平移，
当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近，
设切线方程为，
由（1）可知，当切线斜率为时，切点坐标为，此时切线方程为，
此时，从点向直线作垂线，垂足为，此时取最小值，
即，
所以的最小值为；
【小问3详解】
若对于任意，都有，即可得恒成立，
令，则，
当时，令，解得，
所以当时，，此时在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
所以在处取得最小值，
即满足即可，
即，
由可得，
设，则，
令可得，
即时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，
所以，
即
所以的最大值为.
【点睛】方法点睛：在求解不等式恒成立问题时，往往通过构造函数利用导数求出函数单调性并求得最值，即可实现不等式问题求解.
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