浙江省Z20名校联盟2026届高三上学期第一次联考数学试题（Word版附解析）

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命题：富阳中学 陈晖、何其多
磨题：嘉善高级中学 黄振华 宁海中学 赖庆龙 嵊州中学 求莲萍
校稿：李慧华、吕金晶
考生须知：
1．本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．
2．答题前务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题
纸规定的地方．
3．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范答题，在本试卷
纸上答题一律无效．
4．考试结束后，只需上交答题卷．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知复数 满足 ，则 的虚部为（ ）
A. B. 1 C. 2 D.
2. 已知椭圆 的一个焦点为 ，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 已知平面向量 ，若 ，则 （ ）
A. B. C. 3 D.
4. 已知集合 ，则满足条件的集合 的个数为（ ）
A. 3 B. 5 C. 6 D. 8
5. 已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则 的取值范围是（ ）
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A B. C. D.
6. 晋祠圣母殿是现存宋代建筑艺术的杰出代表，图 1 是该建筑的剖面画图.圣母殿以其独特的木构技术、历
史价值与艺术成就闻名，被誉为研究中国宋代建筑的“活标本”．现使用图 2 简单模拟圣母殿的屋顶结构，
其中 为矩形， ， 为四段全等的圆弧，其对应的圆半径为 5m，圆心角
为 ．已知区域 和 是被瓦片覆盖的区域，则该模型中瓦片覆盖区域的总面积为（ ）
A. m2 B. m2 C. m2 D. m2
7. 已知随机变量 ，随机变量 ，正实数 满足 ，则
的最小值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 已知函数 的定义域为 ， ，且
，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知正方体 的棱长为 1， 是线段 的中点，则（ ）
A. 平面 B. 与 所成夹角为
C. 平面 平面 D. 三棱锥 的体积为
10. 已知 的三个内角分别为 ， ， ， 在线段 上，且满足
平分 ．则（ ）
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A. B. C. D.
11. 现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为 队，丙、丁为 队．已知甲、乙传给队友的概率为
，丙、丁传给队友的概率为 ，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球
次数为 （ 且 ），则（ ）
A. 传球 次后，球在甲手中 概率和球在乙手中的概率始终相等
B. 时，球在乙手中的概率为
C. 传球 次后，球在 队成员手中的概率恒为一个常数
D. 设球在乙手中的概率为 ，则
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知实数 满足 ，则 ______．
13. 用 1，2，3， 四个数组成一个五位数（每个数仅用到 1 次），则能组成___________个不同的五位数．
14. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 作直线交双曲线 的右半支于 两点，满足
，且 面积是 面积的两倍，则双曲线 的离心率为___________．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某学校开展了数学竞赛考试，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，将样本的成绩（满分 100 分，成
绩均为不低于 40 分的整数）分成六组： ， ，…， ，得到如图所示的频率分布直
方图，
（1）求图中 的值和样本成绩的中位数；
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（2）已知学校用分层抽样的方法，从 ， 两组内抽取了 7 份试卷作为优秀试卷，并从对应
的学生中随机选取 3 人进行采访，设接受采访的学生中成绩在 内的有 人，求 的分布列和数学
期望．
16. 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
，且四棱锥 的体积为 ．
（1）证明： ；
（2）求平面 与平面 所成角的正弦值．
17. 已知 是数列 的前 项和，且满足 ．
（1）求数列 通项公式；
（2）在平面直角坐标系 中，已知点 ，定义点 （其中 ），记
．
（i）求 值；
（ii）证明： ．
18. 已知抛物线 ，过点 的直线 交 于 两点， 为坐标原点．当 与 轴
垂直时， ．
（1）求抛物线 的解析式；
（2）若 ，过 轴上一点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，且
满足 三点共线．
（i）求直线 方程；
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（ii）求 点的坐标．
19. 已知函数 ．
（1）若 ，求 在 处的切线 的方程；
（2）判断 是否是函数 的极值点，并说明理由；
（3）若不等式 对任意的 ， 恒成立，求正整数 的最大值．
（参考数据： ）．