（人教A版）选择性必修一高二数学上册期末复习 专题强化训练02 空间向量在点线面距离、存在性问题的应用（含答案）

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1.点P到直线 l 的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2)
2.点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为eq \f(|\(AP,\s\up6(→))·n|,|n|)．
【题型归纳】
题型一：点到直线距离的向量求法
1．在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．6
2．直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为( )
A．B．C．D．
题型二：异面直线的向量求法
3．在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
4．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在长方体中，，，，则异面直线与之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
题型三：点到平面距离的向量求法
5．如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点.
(1)求到平面的距离；
(2)点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的正弦值.
6．如图，在四面体中，平面，，，点在线段上．
(1)当是线段中点时，求到平面的距离；
(2)若二面角的余弦值为，求的值．
题型四：平行平面距离的向量求法
7．如图，已知正方体的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC，的中点．
(1)求证：平面平面EFG；
(2)求平面与平面EFG间的距离．
8．如图所示的多面体是底面为ABCD的长方体被平面所截而得的，其中，，，.
（1）求点C到平面的距离；
（2）设过点平行于平面的平面为，求平面与平面之间的距离.
题型五：空间向量的存在性问题
9．如图，四边形是菱形，，平面平面，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)在棱上是否存在点使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，求的值，若不存在，说明理由．
10．如图1，在△MBC中，BM⊥BC，A，D分别为边MB，MC的中点，且BC＝AM＝2，将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使PA⊥AB，如图2，连结PB，PC．
(1)若E为PC的中点，求异面直线DE与PB所成的角大小；
(2)线段PC上一动点G满足，判断是否存在，使得二面角G－AD－P的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【专题突破】
一、单选题
11．在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．2C．D．
13．将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
14．若异面直线，的方向向量分别是，，则异面直线与的夹角的余弦值等于（ ）
A．B．C．D．
15．已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，平面，线段的中点分别为，，若异面直线与所成角的余弦值为，则（ ）
A．1B．C．2D．3
16．已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
17．给出以下命题，其中正确的是（ ）
A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行
B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则
C．平面､的法向量分别为，，则
D．已知直线过点，且方向向量为 ，则点到的距离为
18．如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，点为棱上一点，满足，下列结论错误的是（ ）
A．平面平面；
B．点到直线的距离；
C．若二面角的平面角的余弦值为，则；
D．点A到平面的距离为．
二、多选题
19．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．顶点到平面的最大距离为B．存在点，使得平面
C．的最小值D．当为中点时，为钝角
20．如图，在正三棱柱中，AB＝1，AA1＝2，D，E分别是的中点，则（ ）
A．B．BE∥平面
C．与CD所成角的余弦值为D．与平面所成角的余弦值为
21．在棱长为1的正方体中，点，分别是上底面和侧面的中心，则（ ）
A．
B．
C．点到平面的距离为
D．直线与平面所成的角为60°
22．如图，正方形和矩形所在平面所成的角为60°，且，为的中点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．直线与所成角的余弦值是
C．直线与平面所成角的正弦值是
D．点到平面的距离是
23．如图，和所在平面垂直，且，，则（ ）
A．直线与直线所成角的大小为
B．直线与直线所成角的余弦值为
C．直线与平面所成角的大小为
D．直线与平面所成角的大小为
24．在长方体中，，，动点在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）
A．当为中点时，为锐角
B．存在点，使得平面
C．的最小值
D．顶点到平面的最大距离为
三、填空题
25．在空间直角坐标系O-xyz中，向量分别为异面直线方向向量，则异面直线所成角的余弦值为___________.
26．如图，在棱长为1的正方体中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面的距离为______．
27．如图，四边形是等腰梯形，，是线段的中点，沿着将折起，使得点与点重合．若二面角为120°，则点到直线的距离是______．
28．如图，多面体是由长方体一分为二得到的，，，，点D是中点，则异面直线与的距离是______．
29．如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点Р到直线的距离的最小值为_______.
四、解答题(共0分)
30．如图，三棱柱中，所有棱长都为2，且，平面平面，点P，Q分别在上，且．
(1)求证：平面；
(2)当点P是边的中点时，求点到直线的距离．
31．如图，在直三棱柱中，，∠ABC=90°，D是BC的中点.
(1)求点到面的距离；
(2)试问线段上是否存在点E，使AE与所成角的大小为？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
32．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，点M和点N分别为PA和PC的中点．
(1)证明：直线DM∥平面PBC；
(2)求直线BM和平面BDN所成角的余弦值；
(3)求二面角M-BD-N的正弦值；
(4)求点P到平面DBN的距离；
(5)设点N在平面BDM内的射影为点H，求线段HA的长．
33．如图，在四棱锥中，为边的中点，异面直线与所成的角为.
(1)在直线上找一点，使得直线平面，并求的值；
(2)若直线到平面的距离为，求平面与平面夹角的正弦值.
34．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC=60°，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB，E､F分别是棱AB､PD的中点.
(1)证明：平面PEC；
(2)若点P到平面AFC的距离为，求平面PAB与平面AFC所成的锐角的余弦值.
35．在矩形ABCD中，，点E是线段AD的中点，将△ABE沿BE折起到△PBE位置（如图），点F是线段CP的中点．
(1)求证：DF∥平面PBE：
(2)若二面角的大小为，求点A到平面PCD的距离．
36．如图，已知三棱锥，平面，，，，.、分别为、的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
37．已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知．
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离；
(3)求二面角余弦值的大小．
38．如图：在直角三角形中，已知，，，为的中点，为的中点，的延长线交于，将沿折起，二面角的大小记为．
(1)求证：平面平面；
(2)当时，求点到平面的距离．
39．如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.
(1)求证：；
(2)若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.
40．如图，四边形是梯形，，，，点是平面外一点，，直线与平面所成角的大小为45°，且平面平面.
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离；
(3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
按照空间中点到直线的距离公式直接求解.
【详解】
由题意，，，的方向向量，，则点到直线的距离为.
故选：C.
2．C
【解析】
【分析】
利用向量投影和勾股定理即可计算.
【详解】
∵，
∴
又，
∴在方向上的投影，
∴P到l距离.
故选：C.
3．D
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求解直线与的公垂线的方向向量，利用异面直线距离的向量公式，即得解
【详解】
如图所示，以为原点，所在直线为轴如图建立空间直角坐标系
则
设直线与的公垂线的方向向量为
则
不妨令
又
则异面直线与之间的距离
故选：D
4．D
【解析】
以D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和的公垂线的方向向量，求出，再由可求出.
【详解】
如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
则，，
设和的公垂线的方向向量，
则，即，令，则，
，
.
故选：D.
【点睛】
本题考查异面直线距离的求解，解题的关键是建立空间直角坐标系，利用向量的方法求解.
5．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）取线段的中点，连接、，证明出平面，，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离；
（2）设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求得的值，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得结果.
(1)
解：取线段的中点，连接、，
因为为等边三角形，为的中点，所以，，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
在底面中，因为，则，即，
因为为的中点，则，所以，四边形为平行四边形，
，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
(2)
解：设，其中，
，
平面的一个法向量为，
由题意可得，
整理可得，因为，解得，
所以，，
设平面的法向量为，则，
取，则，
所以，，则，
因此二面角的正弦值为.
6．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得到平面的距离；
（2）设点，其中，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.
(1)
解：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为为的中点，则、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
(2)
解：设点，其中，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，易知平面的一个法向量为，
由已知可得，解得，
此时点为的中点，故.
7．(1)证明见详解；
(2)﹒
【解析】
【分析】
(1)要证面面平行，转化为证明两组线面平行，连接AC，证明EF∥AC∥，可证∥平面，同理可证EG∥平面；
(2)由(1)知两平面平行，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，两平面间的距离为在法向量上的投影﹒
(1)
∵E是AB中点，F是BC中点，
∴连接AC得，EF∥AC，
∵是平行四边形，
∴，
又平面平面，
∥平面，
同理，连接可得，可得EG∥平面，
与平面EFG，
∴平面∥平面EFG﹒
(2)
如图：
以D为原点，DA、DC、分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz﹒
则
∴，
设平面的法向量为，
则，取，
则平面与平面EFG间的距离为﹒
8．（1）； （2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，设，根据为平行四边形，得到，求得，得到，求得平面的法向量为，又由，结合距离公式，即可求解；
（2）由（1）知平面的一个法向量为，又由，求得点到平面的距离，进而求得平面与平面之间的距离.
【详解】
（1）由题意，以为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，
设，因为为平行四边形，可得，
即，所以，即，
则，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
又由，
所以点到平面的距离为.
（2）由（1）知平面的一个法向量为，
又由，可得点到平面的距离为，
因为过点平行于平面的平面为，
所以平面与平面之间的距离等于但到平面的距离，
即平面与平面之间的距离.
9．(1)证明见解析
(2)存在，且
【解析】
【分析】
（1）取线段的中点，连接、，设，证明出四边形为平行四边形，可得出，再证明出平面，可得出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）设，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，结合可求得的值，即可得解.
(1)
证明：连接，因为平面平面，平面平面，
，平面，平面，
平面，，
因为四边形为菱形，则，，平面，
设，取线段的中点，连接、，
因为四边形为菱形，则为的中点，
所以，且，
由已知且，所以，且，
所以，四边形为平行四边形，所以，，则平面，
平面，故平面平面.
(2)
解：因为平面，，
以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
设，其中，
，
，设平面的法向量为，
则，
取，可得，
由已知可得，
整理可得，因为，解得.
因此，在棱上存在点使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，且.
10．(1)；
(2)存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据题设可得两两互相垂直，构建空间直角坐标系求直线DE与PB的方向向量并求其数量积，即可确定异面直线的夹角.
（2）由（1）得，进而求得，再求面、面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知二面角正弦值列方程求参数，即可判断存在性.
(1)
因为，分别为，的中点，则，
因为，则，即．
又，，平面，
所以平面，又，
综上，两两互相垂直．
以为坐标原点，向量为正交基底建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，，
则，，．
所以，故，
所以异面直线与所成的角大小为.
(2)
假设存在使二面角的正弦值为，即二面角的余弦值为
由，．
所以，，．
易知：平面的一个法向量为
设平面的法向量，则，令，则，
综上，有，即，
解得，．又，故．
故存在，使二面角的正弦值为．
11．D
【解析】
【分析】
先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】
解：，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故选：D
12．D
【解析】
【分析】
求出的坐标，利用点到平面距离的向量求法计算作答.
【详解】
依题意，，所以点P到平面的距离为.
故选：D
13．A
【解析】
【分析】
根据空间直角坐标系，根据向量的夹角的余弦值来确定异面直线的夹角.
【详解】
取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，
所以面，面，则.
设正方形的对角线长度为2，
如图所示，建立空间直角坐标系，，
所以，.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选:A
14．B
【解析】
【分析】
异面直线的夹角在中，结合求解即可.
【详解】
由题，，，
则，
故选：B
15．C
【解析】
【分析】
以D为原点，分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系,利用向量法求解.
【详解】
如图示，以D为原点，分别为x、y、z轴正方向联立空间直角坐标系.
不妨设.则，，，，，，.
所以，.
因为异面直线与所成角的余弦值为，所以，解得：t=2.
即2.
故选：C
16．A
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，按照距离的向量求法求解即可.
【详解】
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，
设平面的法向量，则，令，解得，
故点到平面的距离为.
故选：A.
17．D
【解析】
【分析】
对于A，利用两向量的共线定理即可判断；对于B，判断方向向量与法向量是否垂直即可；
对于C，判断两平面的法向量是否垂直即可；对于D，首先写出直线的标准方程，将点到直线的距离转化到两点间的距离进行求解即可.
【详解】
对于A，，
与不平行.
对于B，，
与不平行；
对于C，，
与不垂直；
对于D，直线过点，且方向向量为
直线的标准方程为
过点作与已知直线垂直相交的平面，
且设直线与平面的交点为，则到直线的距离可转化为到的距离；
方向向量为平面的方程为：
即：
设垂足，点在平面上，则
解得：

故选：D.
18．D
【解析】
【分析】
A选项，作出辅助线，证明出AC⊥BC，结合平面可得线线垂直，从而证明线面垂直，最后证明出面面垂直；B选项，求出点P到直线CD的距离即为PC的长度，利用勾股定理求出答案；C选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解；D选项，过点A作AH⊥PC于点H，证明AH的长即为点A到平面的距离，求出AH的长.
【详解】
A选项，因为平面，平面，
所以CD，
故∠PBA即为与底面所成的角，，
因为，
所以PA=AB=1，
因为，
取AD中点F，连接CF，则AF=DF=AB=CF=BC，
则四边形ABCF为正方形，∠FCD=∠FCA=45°，
所以AC⊥CD，
又因为，
所以CD⊥平面PAC，
因为CD平面PCD，
所以平面平面PCD，A正确；
由A选项的证明过程可知：CD⊥平面PAC，
因为平面PAC
所以CD⊥PC，
故点P到直线CD的距离即为PC的长度，
其中
由勾股定理得：，B正确；
以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
其中平面ACD的法向量为，设平面ACE的法向量为，
则，令得：，
所以，
设二面角的平面角为，显然，
其中，
解得：或，
因为，所以，C正确；
过点A作AH⊥PC于点H，
由于CD⊥平面APC，平面APC，
所以AH⊥CD，
因为，
所以AH⊥平面PCD，
故AH即为点A到平面PCD的距离，
因为PA⊥AC，
所以，D选项错误
故选：D
19．ABC
【解析】
【分析】
对A，以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断A；
对B，当平面，则，则有，求出，即可判断B；
对C，当时，取得最小值，结合B即可判断C；
对D，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断D.
【详解】
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，
则，
则，故，
则，
，
对于A，，
设平面的法向量，
则有，
可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，
，
当且仅当时，取等号，
所以点到平面的最大距离为，故A正确.
当平面，
因为平面，所以，
则，解得，
故存在点，使得平面，故B正确；
对于C，当时，取得最小值，
由B得，此时，
则，，
所以，
即的最小值为，故C正确；
对于D，当为中点时，
则，，
则，，
所以，
所以为锐角，故D错误；
故选：ABC.
20．BCD
【解析】
【分析】
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，对选项ACD一一判断；对选项B，连接与交于点，连接，易知，则由线面平行的判定定理可知BE∥平面，即可判断B.
【详解】
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，
对于A，，，所以，所以与不垂直，所以A错误；
对于B，连接与交于点，连接，易知，所以面，面，所以BE∥平面，所以B正确；
对于C，，，所以，，所以，与CD所成角的余弦值为，故C正确；
对于D，，设面，，
，令，，所以，
与平面所成角为，，
所以，与平面所成角的余弦值为，故D正确.
故选：BCD.
21．BCD
【解析】
【分析】
建立图所示的直角坐标系,利用向量法逐一求解.
【详解】
解：建立图所示的直角坐标系，
由题意得,
所以,
所以,故A错，
,故B对，
设平面的法向量为，则,即,令，得
，故点到平面的距离，
故C对，
根据正方体的可知，平面,故直线与平面所成的角的正弦值为：
,又，故60°，故D正确.
故选：BCD.
22．BCD
【解析】
【分析】
由条件建立空间直角坐标系，利用向量方法判断的位置关系，利用空间角的向量求法判断B，C，再结合点到平面的距离的向量求法判断D.
【详解】
由已知，，又，平面，
所以平面，以为坐标原点，，为轴正方向建立空间直角坐标系，
又正方形和矩形所在平面所成的角为60°，所以，，
所以，，，，
所以，，
所以，所以不垂直，A错，
，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值是，B对，
设平面的法向量为，，
由已知，所以，取可得，，
即可取法向量为，
直线的方向向量，
所以，
所以线与平面所成角的正弦值是，C对，
因为，平面的法向量为，
设点到平面的距离为，则，D对，
故选：BCD.
23．ABC
【解析】
【分析】
过点在平面内作交于点，过点在平面内作交于点，证明出平面，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断各选项的正误.
【详解】
如下图所示，过点在平面内作交于点，
过点在平面内作交于点，
因为平面平面，平面平面，，平面，
平面，同理可得平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、.
对于A选项，，，则，，
故直线与直线所成角的大小为，A对；
对于B选项，，，
，
所以，直线与直线所成角的余弦值为，B对；
对于C选项，，平面的一个法向量为，
，
所以，直线与平面所成角的大小为，C对；
对于D选项，，平面的一个法向量为，
，
所以，直线直线与平面所成角的大小为，D错.
故选：ABC.
24．ABD
【解析】
【分析】
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则，则有，求出，即可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D.
【详解】
解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
设，
则，
则，故，
则，
，
对于A，当为中点时，
则，，
则，，
所以，
所以为锐角，故A正确；
当平面，
因为平面，所以，
则，解得，
故存在点，使得平面，故B正确；
对于C，当时，取得最小值，
由B得，此时，
则，，
所以，
即的最小值为，故C错误；
对于D，，
设平面的法向量，
则有，
可取，
则点到平面的距离为，
当时，点到平面的距离为0，
当时，
，
当且仅当时，取等号，
所以点到平面的最大距离为，故D正确.
故选：ABD.
25．
【解析】
【分析】
直接利用向量的夹角公式即可求解.
【详解】
因为，所以.
因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线所成角的余弦值为.
故答案为：
26．1
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解.
【详解】
以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量，
则有，令得：，
故，
其中，
则点A到平面的距离为
故答案为：1
27．
【解析】
【分析】
作出二面角的平面角，求出点P到平面的距离，再求出PB长，求边BD上的高即可作答.
【详解】
在等腰梯形中，，是线段的中点，四边形为平行四边形，
则，是菱形，连接AE，则、都是正三角形，
取DE中点O，连接AO，PO，如图，
则有，是二面角的平面角，有，且平面，
又平面，则平面平面，在平面内过P作于H，连BH，
因平面平面，于是得平面，而平面，即有，
，而，则有，，又，，
，中，，由余弦定理得：
，从而得，
所以边BD上的高，
所以点到直线的距离是.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，
两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
28．#
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，直接利用异面直线之间的距离公式求解即可.
【详解】
以为坐标原点，分别以，,为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则,,,,
∴,,
设是，的公垂线方向上的单位向量，
则，即①，
，即②，
易知③，
联立解得，，或，，；
不妨取，
又∵,
则异面直线与的距离，
故答案为：.
29．##
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点Р到直线距离的函数关系，再求其最小值作答.
【详解】
在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
因点P在线段上，则，，
，向量在向量上投影长为，
而，则点Р到直线的距离
，当且仅当时取“=”，
所以点Р到直线的距离的最小值为.
故答案为：
30．(1)详见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）作，根据条件证明四边形为平行四边形，然后得到即可；
（2）取中点，然后证明平面，进而建立空间直角坐标系，利用坐标法即得.
(1)
作，交于点，由，则，
∵，
∴，即，
∴且，连接，
所以四边形为平行四边形，
∴，
∵平面，且平面，
∴平面．
(2)
取中点，连接、，
∵，，，
根据余弦定理得：，
∴，
则，又平面平面，平面平面，
∴平面，
∵是等边三角形，
∴，
如图建立空间直角坐标系，
则，
∴，
∴，
∴点到直线的距离为.
31．(1)
(2)存在，
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，由空间向量求解
（2）设出点坐标，由空间向量列方程求解
(1)
以为原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，设平面的一个法向量为，
故得，又，
故点到面的距离为
(2)
设，则，，
设为异面直线所成的角，
由题意得，
解得（舍去）
故点E存在，
32．(1)证明见解析
(2)
(3)
(4)
(5)
【解析】
【分析】
（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证明与平面的法向量垂直，从而证明直线平面．
（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直线和平面所成角的余弦值．
（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值．
（4）求出的坐标，再求出平面的法向量，利用向量法，求出点到平面的距离；
（5）设点在平面内的射影为点，从而表示出的坐标，求出到平面的距离，列出方程组，求出点坐标，从而求出的长度.
(1)
四棱锥，底面是一个直角梯形，，平面，
所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
所以，，
取，则，
所以，平面，
所以直线平面.
(2)
，，，
设平面的法向量，
则，即，
取，则，
设直线与平面所成的角为，
则，
所以，
所以直线与平面所成角的余弦值为.
(3)
设平面的法向量为，
则，即，
取，得，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，
则，
所以，
所以二面角的正弦值为.
(4)
，平面的法向量，
所以点到平面的距离为
.
(5)
设点在平面的射影为点，
则，
所以点到平面的距离为，
根据，得
解得，，，或者，，（舍）
所以.
33．(1)2
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直充要条件列出等式，解之即可求得的值；
（2）先由直线到平面的距离为求得的长度，再利用平面与平面法向量的夹角公式去求平面与平面夹角的正弦值.
(1)
在四棱锥中，，异面直线与所成的角为.
即,又为两相交直线，则平面
取PD中点F，连接EF，又，则，则平面
又四边形中，，
则，则三直线两两互相垂直
以E为原点，分别以ED、EB、EF所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图：
设，则，， ，，
，，,
设平面PBE的一个法向量为，
则，即，令，则，则
设，则
由直线平面，可得，即
则，解之得，则，又，则
(2)
由直线到平面的距离为，得点C到平面的距离为，
又，为平面PBE的一个法向量
则，即，解之得，
则，，
设平面的一个法向量为，又
则，即，令，则，则
设平面与平面夹角为
则
又，则
34．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取中点，连接，证明四边形为平行四边形，进而证明结论；
（2）由平面平面得平面，再结合几何关系得，进而以为正交基底建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可.
(1)
解：取中点，连接
由分别为中点，得；
在菱形中为中点，得,
所以，所以为平行四边形，故
又平面平面，
所以平面
(2)
解：因为平面平面，平面平面平面，
所以平面，
又菱形中，，
所以
所以，以为正交基底建立空间直角坐标系
则：，
设，则
，
设平面的一个法向量为
可得，取，
又
则点到平面的距离为，解得，.
所以，又平面的一个法向量为，.
设平面与平面所成的锐角为，则，
所以平面与平面所成的锐角余弦值为
35．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判定定理即得；
（2）由题建立空间直角坐标系，利用点到平面的距离的向量求法即得.
(1)
设PB的中点为G点，连接GF和GE，
因为点G、点F分别为PB和PC的中点，
所以且，又且，
所以且，
所以四边形GFDE为平行四边形，
所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，
所以DF∥平面PBE；
(2)
由二面角的大小为可知，平面平面，
取BE得中点O，连接，则，平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，，
所以，
设平面PCD的法向量为，
则，
令则，又，
所以点A到平面PCD的距离为.
36．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）过点在平面内作，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离.
(1)
证明：因为、分别为、的中点，则，
平面，平面，因此，平面.
(2)
解：过点在平面内作，
因为平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
，所以，点到平面的距离为.
37．(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）推导出平面平面，，，由此能证明平面．
（2）以为坐标原点，为轴，为轴，取中点，以为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点到平面的距离．
（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
(1)
证明：在底面上的射影为的中点，即平面，
又平面
平面平面，
且平面平面，平面，
平面，平面，
，
，且，平面
平面．
(2)
如图所示，以为坐标原点，为轴，为轴，取中点，以为轴，建立空间直角坐标系，
平面，平面，，
所以平行四边形是菱形，
是的中点，，，
，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
所以到平面的距离，
(3)
解：平面，平面的法向量，
，
设二面角的平面角为，显然为锐角，
，
二面角的余弦值为．
38．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明出，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立；
（2）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，可得出，利用可求出点的坐标，再利用空间向量法可求得点到平面的距离.
(1)
证明：在直角三角形中，，，则，
因为为的中点，则，
因为，所以，为等边三角形，
因为为的中点，所以，，
翻折后，对应地有，，
，所以，平面，
平面，因此，平面平面.
(2)
解：因为，，所以，二面角的平面角为，
过点在平面内作直线，
因为平面，平面，，
，所以，平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，
则、、、，
，，
因为，则，可得，
因为，则，所以，点，
设平面的法向量为，，，
则，取，可得，
所以，点到平面的距离为.
39．(1)证明过程见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式进行证明即可；
（2）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式进行求解即可.
(1)
因为平面，平面，
所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：
，
，因为，
所以，即，
(2)
设平面的法向量为，
，
所以有，
因为直线与平面所成角为，
所以，
解得，即，因为，
所以点到平面的距离为：
.
【点睛】
40．(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）取的中点，连接，得四边形是矩形，得△是等边三角形，取的中点，连接，，可证平面，得证；
（2）证明平面，就是直线与平面所成的角，从而可得，由余弦定理求得．以为坐标原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，建立空间直角坐标系，由空间向量法计算点面距；
（3）在（2）基础上，由空间向量法求二面角．
(1)
证明：如图，取的中点，连接，
因为，，与平行且相等，是平行四边形，
，所以四边形是矩形，所以.
连接，所以，则△是等边三角形.
取的中点，连接，则.连接，
因为，所以，因为，平面，
所以平面，所以.
(2)
解：因为平面平面，，平面平面，
平面，所以平面.
连接，则就是直线与平面所成的角，
所以，
所以.
在中，，，
所以，
所以.
如图，以为坐标原点，、、分别为轴、轴和轴的正方向，
建立空间直角坐标系，则，，，.
由，可得.
所以.
因为平面的一个法向量为，，
故点到平面的距离；
(3)
设平面的一个法向量为，
由，得.
可取，，则.
因为平面的一个法向量为，所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.