2024-2025学年上海市嘉定区七年级（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年上海市嘉定区七年级（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，简答题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列不等式中属于一元一次不等式的是
A．B．C．D．
2．下列说法中，正确的是
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交
3．如果一个三角形的两边长分别为和，那么这个三角形第三边的长可能是
A．B．C．D．
4．如果△是等腰三角形，，那么的度数不可能是
A．B．C．D．
5．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点．只要量出的长度．就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
二、填空题（本大题共15题，每题2分，满分30分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
6．“与8的和大于3”用适当的不等式可以表示为 ．
7．如果，那么 ．（填“”或“”或“”或“”
8．不等式的最大整数解是 ．
9．如图，直线、相交于点，平分，．如果，那么 ．
10．光从空气斜射入水中时会发生折射现象，在空气中平行的光线，因同种介质折射率相同，在水中仍保持平行．如图，如果，，那么 ．
11．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 ．
12．在△中，如果，，那么△是 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”
13．如图，把图中、、按由小到大的顺序排列为 ．
14．如图，在中，平分交于点，，交于点，，则的长是 ．
15．如图，在△中，是边上的中线，作，交的延长线于点．已知，，那么 ．
16．如果不等式组的整数解有四个，那么的取值范围是 ．
17．如图，在一个房间内，一把长1.5米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为，此时梯子与地面夹角为，那么、两点间的距离是 米．
18．如图，已知直线，且相邻两条平行直线间的距离均为．正方形的四个顶点分别位于直线、、、上，如果，那么 ．
19．如图，点是△各边垂直平分线的交点，连接、．如果，那么 ．
20．如图，长方形纸片，点为边上的动点．点关于直线的对称点为，连接、．将长方形纸片沿对角线折叠，点折叠后的落点恰好位于△的边上．如果，那么 ．
三、简答题（本大题共3题，满分22分）
21．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．
22．如图，、两镇位于国道的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题：
（1）公平选址：确定加油站位置，使得加油站到、两镇的距离相等；
（2）路径优化：从镇前往镇，需途径加油站加油．确定加油站位置，使得总路程最短；
请分别作出上述两种情况下的加油站、的位置．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明）
23．
【任务】如果，那么平面镜与的夹角的度数是多少？请把以下求解过程补充完整．
解：如图，过点、分别作、的垂线，交点为，
入射角等于反射角，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
四、解答题（本大题共3题，满分33分）
24．如图，△和△是等边三角形，连接、交于点，、交于点．点为线段上一点，且．求证：
（1）△△；
（2）△是等边三角形．
25．母亲节前夕，某店主从厂家购进、两种礼盒，已知、两种礼盒的单价比为，单价和为210元．
（1）求、两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进种礼盒最多36个，种礼盒数量的2倍不超过种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由．
26．小海在解答练习册第4题后进行了拓展探究：
如图1，在△中，的平分线交边于点，，垂足为．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合、的度数可求出的度数，从而确定、与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组、的度数后，验证了这一猜想．
（1）请补全下表：
（2）如图2，若，，那么 （用含、的代数式表示），并加以证明；
（3）在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点，连接．如图3，如果，请直接写出 ．
参考答案
一、选择题（共5题，每题3分，满分15分）
1．下列不等式中属于一元一次不等式的是
A．B．C．D．
解：中的次数是2，则不符合题意，
符合一元一次不等式的定义，则符合题意，
中含有2个未知数，则不符合题意，
中的次数为2，则不符合题意，
故选：．
2．下列说法中，正确的是
A．两直线平行，同旁内角相等
B．相等的角是对顶角
C．在同一平面上，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
D．在同一平面上，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线一定相交
解：两直线平行，同旁内角互补，故说法不正确，不符合题意；
对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故说法不正确，不符合题意；
同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故说法正确，符合题意；
在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行，故说法不正确，不符合题意．
故选：．
3．如果一个三角形的两边长分别为和，那么这个三角形第三边的长可能是
A．B．C．D．
解：、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，不能组成三角形，故不符合题意；
、，能组成三角形，故符合题意．
故选：．
4．如果△是等腰三角形，，那么的度数不可能是
A．B．C．D．
解：、，，可以构成等腰三角形，故的度数可能是，不符合题意；
、，，则，可以构成等腰三角形，故的度数可能是，不符合题意；
、，，则，不能构成等腰三角形，故的度数不可能是，符合题意；
、，，则，可以构成等腰三角形，故的度数可能是，不符合题意；．
故选：．
5．如图，工人师傅设计了一种测零件内径的卡钳，卡钳交叉点为、的中点．只要量出的长度．就可以知道该零件内径的长度．依据的数学基本事实是
A．两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
B．两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
C．三边分别相等的两个三角形全等
D．两点之间线段最短
解：点为、的中点，
，，
由对顶角相等得，
在和△中，
，
△，
，
即只要量出的长度，就可以知道该零件内径的长度，
故选：．
二、填空题（本大题共15题，每题2分，满分30分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置】
6．“与8的和大于3”用适当的不等式可以表示为 ．
解：由题知，
“与8的和大于3”可表示为：．
故答案为：．
7．如果，那么 ．（填“”或“”或“”或“”
解：如果，
两边同时乘以得，
两边同时加上1得，
故答案为：．
8．不等式的最大整数解是 2 ．
解：解不等式得，
，
所以不等式的最大整数解是2．
故答案为：2．
9．如图，直线、相交于点，平分，．如果，那么 121 ．
解：，
，
，
，
平分，
，
，
，
故答案为：121．
10．光从空气斜射入水中时会发生折射现象，在空气中平行的光线，因同种介质折射率相同，在水中仍保持平行．如图，如果，，那么 103 ．
解：，，
，
，
，
，
．
故答案为：103．
11．某小区车库门口需要用到曲臂直杆道闸，模型如图所示．如果，，，那么 127 ．
解：如图，过点作，
，
，
，，
，
，
又，
，
，
故答案为：127．
12．在△中，如果，，那么△是 钝角 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”
解：在△中，，，
，
，
△是钝角三角形．
故答案为：钝角．
13．如图，把图中、、按由小到大的顺序排列为 ．
解：在△中，，
在△中，，
，
所以、、按由小到大的顺序排列为：．
故答案为：．
14．如图，在中，平分交于点，，交于点，，则的长是 2 ．
解：平分，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：2．
15．如图，在△中，是边上的中线，作，交的延长线于点．已知，，那么 6 ．
解：作于点，如图所示，
是边上的中线，
，
，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，，
点为的中点，
，
，
，
，
故答案为：6．
16．如果不等式组的整数解有四个，那么的取值范围是 ．
解：由题知，
因为不等式组的整数解有四个，
则这四个整数解为，，0，1，
所以．
故答案为：．
17．如图，在一个房间内，一把长1.5米的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面夹角为，如果保持梯子底端位置不变，将梯子顶端靠在对面墙上（即变为，此时梯子与地面夹角为，那么、两点间的距离是 1.5 米．
解：连接，
，，
，
米，
△的等边三角形，
米，
故答案为：1.5．
18．如图，已知直线，且相邻两条平行直线间的距离均为．正方形的四个顶点分别位于直线、、、上，如果，那么 2 ．
解：作于点，于点，则，
直线，且相邻两条平行直线间的距离均为，
，，
四边形是正方形，且，
，，，
，
在△和△中，
，
△△，
，
，
，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：2．
19．如图，点是△各边垂直平分线的交点，连接、．如果，那么 36 ．
解：连接并延长到点，
点是△各边垂直平分线的交点，
，
，，
，，
，
，
，
．
故答案为：36．
20．如图，长方形纸片，点为边上的动点．点关于直线的对称点为，连接、．将长方形纸片沿对角线折叠，点折叠后的落点恰好位于△的边上．如果，那么 20或37.5 ．
解：由长方形的性质可得，
将长方形纸片沿对角线折叠，点折叠后的落点恰好位于△的边上．如图1，当点在上时，
此时，；
由轴对称的性质可得，
、、三点共线，
；
将长方形纸片沿对角线折叠，点折叠后的落点恰好位于△的边上．如图2，当点在上时，
此时；
，
由轴对称的性质可得，
；
综上所述，的度数为或；
故答案为：20或37.5．
三、简答题（本大题共3题，满分22分）
21．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．
解：由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
在数轴上表示：
．
22．如图，、两镇位于国道的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题：
（1）公平选址：确定加油站位置，使得加油站到、两镇的距离相等；
（2）路径优化：从镇前往镇，需途径加油站加油．确定加油站位置，使得总路程最短；
请分别作出上述两种情况下的加油站、的位置．
（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明）
解：如图，作线段的垂直平分线，交直线于点，
则点即为所求．
作点关于直线的对称点，连接交直线于点，
则点即为所求．
23．
【任务】如果，那么平面镜与的夹角的度数是多少？请把以下求解过程补充完整．
解：如图，过点、分别作、的垂线，交点为，
入射角等于反射角，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
解：如图，过点、分别作、的垂线，交点为，
入射角等于反射角，
，，
，
（两直线平行，同旁内角互补），
，
（三角形内角和定理），
，
，，
，
，
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：；两直线平行，同旁内角互补；；；三角形内角和定理；90；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
四、解答题（本大题共3题，满分33分）
24．如图，△和△是等边三角形，连接、交于点，、交于点．点为线段上一点，且．求证：
（1）△△；
（2）△是等边三角形．
【解答】证明：（1）△和△都是等边三角形，
，，，
，
在△和△中，
，
△△．
（2）由（1）得△△，
，
，
，
△是等边三角形．
25．母亲节前夕，某店主从厂家购进、两种礼盒，已知、两种礼盒的单价比为，单价和为210元．
（1）求、两种礼盒的单价分别是多少元？
（2）该店主购进这两种礼盒恰好用去4800元，且购进种礼盒最多36个，种礼盒数量的2倍不超过种礼盒的数量，共有几种进货方案？请说明理由．
解：（1）设种礼盒的单价是元，种礼盒的单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：种礼盒的单价是120元，种礼盒的单价是90元；
（2）共有2种进货方案，理由如下：
设购进种礼盒个，则购进种礼盒个，
根据题意得：，
解得：，
又，均为正整数，
可以为32，36，
共有2种进货方案，
方案1：购进16个种礼盒，32个种礼盒；
方案2：购进13个种礼盒，36个种礼盒．
26．小海在解答练习册第4题后进行了拓展探究：
如图1，在△中，的平分线交边于点，，垂足为．
小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合、的度数可求出的度数，从而确定、与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组、的度数后，验证了这一猜想．
（1）请补全下表：
（2）如图2，若，，那么 （用含、的代数式表示），并加以证明；
（3）在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点，连接．如图3，如果，请直接写出 ．
解：（1），
，
，
，的平分线交边于点，
，
，
当，时，；
当，时，；
故答案为：，；
（2）由（1）可得，
，，
，
故答案为：；
（3）由（1）可得，
，
，
；
由线段垂直平分线的性质可得，
，
，的平分线交边于点，
，
故答案为：．
探究：为什么自行车尾灯没有电也会“亮”？
【素材1】如图1，光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．

【素材2】在生活中，光的反射现象被广泛地应用．例如自行车尾灯（如图，它不用安装电池，也不用插电源，白天它并不发光，但在夜间或路灯照明不足的路段，尾灯能发挥其独特的作用．当汽车车灯的灯光照射到自行车上时，它能巧妙地将光线“反射”回去，从而提醒汽车司机注意前方的自行车．

【原理】图3是自行车尾部反光镜工作原理的平面示意图，表示射入反光镜的光线，表示经平面镜两次反射后离开反光镜的光线．当光线从某个角度入射时，经过两面镜子反射后，会朝着与入射方向平行但相反的方向返回．这就是所谓的“哪来的就回哪去”效果．



探究：为什么自行车尾灯没有电也会“亮”？
【素材1】如图1，光的反射现象中，把经过入射点并垂直于反射面的直线叫做法线，入射光线与法线的夹角叫做入射角，反射光线与法线的夹角叫做反射角，且，这就是光的反射定律．

【素材2】在生活中，光的反射现象被广泛地应用．例如自行车尾灯（如图，它不用安装电池，也不用插电源，白天它并不发光，但在夜间或路灯照明不足的路段，尾灯能发挥其独特的作用．当汽车车灯的灯光照射到自行车上时，它能巧妙地将光线“反射”回去，从而提醒汽车司机注意前方的自行车．

【原理】图3是自行车尾部反光镜工作原理的平面示意图，表示射入反光镜的光线，表示经平面镜两次反射后离开反光镜的光线．当光线从某个角度入射时，经过两面镜子反射后，会朝着与入射方向平行但相反的方向返回．这就是所谓的“哪来的就回哪去”效果．