2023-2024学年上海市嘉定区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市嘉定区七年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列说法正确的是( )
A. 2的平方根是4B. 0的任何次方根都是0
C. −3没有五次方根D. 1的立方根是±1
2.如图，下列说法中错误的是( )
A. ∠GBD和∠HCE是同位角
B. ∠ABD和∠ACH是同位角
C. ∠FBC和∠ACE是内错角
D. ∠GBC和∠BCE是同旁内角
3.下列说法中，正确的是( )
A. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
B. 联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短
C. 经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D. 在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条
4.已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的一条腰长是( )
A. 2B. 2或10C. 4D. 2或4
5.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边AC上，如果AD=BD=BC，那么∠A的大小是…( )
A. 42∘
B. 40∘
C. 36∘
D. 30∘
6.如图，△AOB≌△ADC，点B和点C是对应顶点，∠O=∠D=90∘，记∠OAD=α，∠ABO=β，当BC//OA时，α与β之间的数量关系为( )
A. α=βB. α=2βC. α+β=90∘D. α+2β=180∘
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7. 36−5的平方根是______.
8.计算：( 15−32 15)÷ 15=______.
9.用科学记数法表示，并保留三个有效数字：−0.0002024≈______.
10.点A和点B是数轴上的两点，点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，那么A、B两点间的距离为______.
11.如果点P(x−4,y+1)在第一象限，那么点Q(3−x,y+2)在第______象限.
12.在△ABC中，如果∠B=30∘，∠C=55∘，那么按角分类，△ABC是______三角形.
13.已知：如图，a//b，三角尺的直角顶点在直线b上，∠1=49∘，∠2的度数为______.
14.已知：如图，∠ACB=∠DBC，如果要说明△AOB≌△DOC，那么还需要添加一个条件，这个条件可以是______.
15.我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角.如图：一辆车在一段绕山公路行驶(沿箭头方向)时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB//DE，则α、β和θ之间的数量关系是______.
16.如图是由6个边长相等的正方形组合的图形，则∠1+∠2+∠3=______.
17.等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分别为15cm和18cm两部分，这个等腰三角形底边的长为______.
18.如图，在△ABC中，AB=AC，E是BC边上一点，将△ABE沿AE翻折，点B落到点D的位置，AD边与BC边交于点F，如果AE=AF=DE，那么∠BAC=______度．
三、解答题：本题共8小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
计算：(3−2 3)÷ 3−( 2−1)0.
20.(本小题8分)
利用分数指数幂的运算性质进行计算： 8×316÷632.
21.(本小题5分)
如图，已知在△ABC中，AB=AC，点D、E在边BC上，且AD=AE.
试说明BE=CD的理由.
解：因为AC=AB(已知)，
所以∠B=∠C(______)，
同理：______=______，
在△ABE与△ACD中，
∠B=∠C∠AED=∠ADE( )=( )，
所以△ABE≌△ACD(______)，
所以BE=CD(______).
22.(本小题6分)
如图，在△ABE中，∠EAC=∠B，点C在BE上，AD平分∠BAC，交BC于点D，点F是线段AD的中点，联结EF，∠AEF与∠DEF相等吗？请说明理由.
解：结论：______.
理由：
因为AD平分∠BAC(已知)，所以______(角的平分线的意义).
因为∠B=∠EAC，(已知)，
所以∠EAD=∠2+∠EAC.(等式性质)
而∠EDA=______+______.(三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
所以∠EDA=∠EAD(等量代换).
请完成以下说理过程：
23.(本小题5分)
如图，已知在三角形ABC中，AC=AB，过点C作AB的平行线DE，证明：BC平分∠ACE.
24.(本小题12分)
如图，已知△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，以CD为边向形外作等边三角形CDE，联结AD、BE.
(1)试说明AD=BE的理由；
(2)如果∠CBE=30∘，试说明BD=CD的理由．
25.(本小题6分)
如图，在直角坐标平面内，已知点A的坐标(−3,0).
(1)图中B点的坐标是______；
(2)点B关于原点对称的点C的坐标是______；点 B关于y轴对称的点D的坐标是______；
(3)△ABC的面积是______；
(4)在x轴上找一点F，使S△ADF=S△ABC，那么点F的所有可能位置是______.(用坐标表示)
26.(本小题11分)
阅读理解概念：如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90∘，那么我们称这样的三角形为“奇妙互余三角形”.
完成以下问题：
(1)填空：
①若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90∘，∠A=60∘，则∠B=______；
②若△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90∘，∠A=40∘，则∠C=______；
(2)如图，在△ABC中，∠C=90∘，BD是△ABC的角平分线，请说明△ABD是“奇妙互余三角形”的理由.
(3)在△ABC中，∠C=90∘，∠ABC=42∘，点P是射线CB上的一点，且△ABP是“奇妙互余三角形”，请直接写出∠APC的度数.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：2的平方根是± 2，故A不符合题意；
0的任何次方根是0，故B符合题意；
−3有五次方根，故C不符合题意；
1的立方根是1，故D符合题意；
故选：B.
分别根据平方根、立方根和n次方根的定义进行判断即可．
本题考查平方根、立方根和n次方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】A
【解析】解：A、∠GBD和∠HCE不符合同位角的定义，故说法错误，符合题意；
B、∠ABD和∠ACH是同位角，故说法正确，不符合题意；
C、∠FBC和∠ACE是内错角，故说法正确，不符合题意；
D、∠GBC和∠BCE是同旁内角，故说法正确，不符合题意；
故选：A.
根据同位角、同旁内角、内错角的定义结合图形判断．
本题考查了同位角、同旁内角、内错角的定义，属于基础题，正确且熟练掌握同位角、同旁内角、内错角的定义和形状，是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，
故A错误，不符合题意；
联结直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短，
故B错误，不符合题意；
经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，
故C错误，不符合题意；
在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条，
故D正确，符合题意；
故选：D.
根据平行线的性质、平行公理及推论、垂线的性质判断即可．
此题考查了平行线的性质、平行公理及推论，熟记平行线的性质、平行公理及推论是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：分两种情况：
当等腰三角形的底边长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴它的一条腰长=10−22=4，
∵2+4=6>4，
∴能组成三角形；
当等腰三角形的一腰长为2时，
∵等腰三角形的周长为10，
∴它的底边长=10−2−2=6，
∵2+2=4<6，
∴不能组成三角形；
综上所述：它的一条腰长是4，
故选：C.
分两种情况：当等腰三角形的底边长为2时；当等腰三角形的一腰长为2时；然后分别进行计算即可解答．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AD=BD=BC，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠CDB=∠CBD=2x，
又∵AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180∘，
即x+2x+2x=180∘，
解得x=36∘，
故选：C.
由AD=BD，BC=DC可知，△ABD，△BCD为等腰三角形，设∠A=∠ABD=x，则∠CDB=∠CBD=2x，又由AB=AC可知，△ABC为等腰三角形，则∠ABC=∠C=3x，在△ABC中，用内角和定理列方程求解．
本题考查了等腰三角形的性质．关键是利用等腰三角形的底角相等，外角的性质，内角和定理，列方程求解．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形两底角相等的性质，平行线的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
根据全等三角形对应边相等可得AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAO=∠CAD，然后求出∠BAC=α，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，然后根据两直线平行，同旁内角互补表示出∠OBC，整理即可．
【解答】
解：∵△AOB≌△ADC，
∴AB=AC，∠BAO=∠CAD，
∴∠BAC=∠OAD=α，
在△ABC中，∠ABC=12(180∘−α)，
∵BC//OA，
∴∠OBC=180∘−∠O=180∘−90∘=90∘，
∴β+12(180∘−α)=90∘，
整理得，α=2β.
故选B.
7.【答案】±1
【解析】解： 36−5=6−5=1，
∵1的平方根为± 1=±1，
∴ 36−5的平方根为±1，
故答案为：±1.
根据平方根、算术平方根的定义进行解答即可．
本题考查平方根，算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的关键．
8.【答案】−12
【解析】解：( 15−32 15)÷ 15
=−12 15÷ 15
=−12，
故答案为：−12.
先计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
9.【答案】−2.02×10−4
【解析】解：−0.0002024≈−2.02×10−4.
故答案为：−2.02×10−4.
用科学记数法保留有效数字，要在标准形式a×10n中a的部分保留，从左边第一个不为0的数字数起，需要保留几位就数几位，然后根据四舍五入的原理进行取舍．
本题考查科学记数法与有效数字，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
10.【答案】52 3
【解析】解：∵点A表示的数为− 3，点B表示的数为32 3，
∴AB=|− 3−32 3|=|−52 3|=52 3.
故答案为：52 3.
根据数轴上两点间的距离公式AB=|a−b|，代入A点和B点表示的数，求解即可．
此题主要是考查了数轴上两点间的距离，能够熟练运用公式是解答此题的关键．
11.【答案】二
【解析】解：因为点P(x−4,y+1)在第一象限，
所以x−4>0y+1>0，
解得x>4，y>−1，
所以3−x<0，y+2>0，
所以点Q(3−x,y+2)在第二象限．
故答案为：二．
根据第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，可得x、y的取值范围，根据不等式的性质，可得(2−x)，(y+2)的范围，再根据点的横坐标的取值范围、纵坐标的取值范围，可得答案．
本题考查了点的坐标，利用第一象限内的点横坐标大于零、纵坐标大于零，得出x、y的取值范围，再利用不等式的性质得出Q点的横坐标的取值范围，纵坐标的取值范围．
12.【答案】钝角
【解析】解：∵在△ABC中，∠B=30∘，∠C=55∘，
∴∠A=180∘−30∘−55∘=95∘，
则三角形是钝角三角形．
故答案为：钝角．
根据三角形的内角和定理，求出∠A，再判断三角形的形状．
考查了三角形的内角和定理以及钝角三角形的定义，解题的关键是掌握三角形的分类．
13.【答案】41∘
【解析】解：∵a//b，
∴∠3=∠1=49∘，
∴∠2=180∘−90∘−49∘=41∘.
故答案为：41∘.
由a//b，得到∠3=∠1=49∘，由平角定义得到∠2=180∘−90∘−49∘=41∘.
本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到∠3=∠1=49∘.
14.【答案】∠A=∠D
【解析】解：添加∠A=∠D；
∵∠ACB=∠DBC，
∴BO=CO，
在△AOB和△DOC中，
∠A=∠D∠AOB=∠DOCBO=CO，
∴△AOB≌△DOC(AAS)，
故答案为：∠A=∠D.
添加∠A=∠D，根据∠ACB=∠DBC，可得BO=CO，再利用AAS定理证明△AOB≌△DOC.
此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
15.【答案】θ=α+β
【解析】解：如图，
∵AB//DE，
∴∠DFC=α，
∵θ=∠DFC+β，
∴θ=α+β.
故答案为：θ=α+β.
根据题意画出图形，然后根据平行线的性质证得∠DFC=α，再根据三角形外角的性质解答即可．
本题考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质并灵活运用；平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆．
16.【答案】135∘
【解析】解：利用三角形全等可知，
∠1+∠3=90∘，
又因为∠2=45∘，
所以∠1+∠2+∠3=90∘+45∘=135∘.
故答案为：135∘.
利用三角形全等得到∠1+∠3=90∘，再加上∠2=45∘即可．
本题考查的是正方形对角线的问题，解题的关键是找到全等三角形．
17.【答案】13cm或9cm
【解析】解：设等腰三角形的腰长是x cm，底边是ycm.根据题意，得：
x+x2=15 x2+y=18 或x+x2=18 x2+y=15 ，
解得：x=10y=13或x=12 y=9
根据三角形的三边关系，两组值都能组成三角形．
故答案为：13cm或9cm.
根据等腰三角形的性质和已知条件求出腰长和底边长，然后根据三边关系进行讨论，即可得出结论．
本题考查了等腰三角形的性质；解题中，因为两部分的周长没有明确，所以首先要分两种情况考虑．最后一定要注意检查是否符合三角形的三边关系．分类讨论是解题的关键．
18.【答案】108
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
令∠B=∠C=x，
由折叠的性质可得∠D=∠B=x，
∵AE=ED，
∴∠EAD=∠D=x，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE=90∘−x2，
∵∠AEF+∠AEB=180∘，∠AFE+∠EFD=180∘，
∴∠AEB=∠EFD=90∘+x2，
∵∠AEB=∠AED，
∴∠AED=90∘+x2，
∴∠FED=x，
在△EFD中，∠FED+∠EFD+∠D=180∘，
即x+(90∘+x2)+x=180∘，
解得x=36∘，
∴∠B=36∘，
∴∠BAC=180∘−2∠B=108∘.
故答案为：108.
由等腰三角形的性质可得∠B=∠C，令∠B=∠C=x，根据折叠的性质以及等腰三角形的性质分别用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED，再根据三角形的内角和定理求解即可．
此题主要考查了翻折变换的性质以及等腰三角形的性质，能用含有x的代数式表示出∠D，∠EFD，∠FED是解答本题的关键．
19.【答案】解：(3−2 3)÷ 3−( 2−1)0
=3÷ 3−2 3÷ 3−1
= 3−2−1
= 3−3.
【解析】先计算二次根式的除法，零指数幂，然后再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：原式= 23×324÷625
=232×243÷256
=232+43−56
=22
=4.
【解析】首先把每个式子化成以2为底数的幂的形式，然后利用同底数的幂的乘法、除法法则即可求解．
本题考查了分数指数幂，实数的运算，根据幂的意义转化为同底数的幂的乘法、除法是解题的关键．
21.【答案】等边对等角 ∠ADE∠AEDAAS全等三角形的对应边相等
【解析】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C(等边对等角)，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
在△ABE与△ACD中，
∵∠B=∠C∠AEB=∠ADCAB=AC，
∴△ABE≌△ACD(AAS)，
∴BE=CD，
∴BE−DE=CD−DE，
即BD=CE.
故答案为：等边对等角；AD=AE；∠ADE，∠AED；AB=AC；全等三角形的对应边相等．
有AB=AC，AD=AE，根据等腰三角形的性质得∠B=∠C，∠ADE=∠AED，再根据全等三角形的判定方法易证△ABE≌△ACD，根据全等的性质得BE=CD.
本题考查了全等三角形的判定与性质：有两组角分别相等，且其中一组角所对的边对应相等，那么这两个三角形全等；全等三角形的对应边相等．也考查了等腰三角形的性质．
22.【答案】∠AEF=∠DEF∠1=∠2∠B∠1
【解析】解：结论：∠AEF=∠DEF.
因为AD平分∠BAC(已知)，
所以∠1=∠2(角的平分线的意义).
因为∠B=∠EAC，(已知)，
所以∠1+∠B=∠2+∠EAC.(等式性质)
而∠EDA=∠1+∠B(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和)，
∠EAD=∠2+∠EAC，
所以∠EDA=∠EAD(等量代换).
所以EA=ED(等角对等边).
又因为AF=DF(线段中点的意义)
所以∠AEF=∠DEF(等腰三角形的三线合一).
故答案为：∠AEF=∠DEF，∠1=∠2，∠1+∠B.
直接利用角的平分线的意义，结合三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质分析得出答案．
此题考查了角平分线的定义及等腰三角形的判定与性质以及三角形的外角，正确得出EA=ED是解题关键．
23.【答案】证明：∵AC=AB，
∴∠B=∠ACB，
∵AB//DE，
∴∠B=∠BCE，
∴∠ACB=∠BCE，
∴BC平分∠ACE.
【解析】根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
24.【答案】证明：
(1)∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴BC=AC，CD=EC，∠ACB=∠BCE=60∘，
在△ADC和△BEC中
AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE
∴△ADC≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
(2)由(1)可知△ADC≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE=30∘，
∴∠BAD=∠BAC−∠CAD=60∘−30∘=30∘，
∴∠CAD=∠BAD，即AD平分∠BAC，
∵△ABC为等边三角形，
∴BD=CD.
【解析】(1)利用等边三角形的性质证明△ADC≌△BEC即可；
(2)由(1)的结论，再结合条件可证明AD平分∠BAC，根据等边三角形的性质可证得BD=CD.
本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL.
25.【答案】(−4,5)(4,−5)(4,−5)15(95,0)或(−395,0)
【解析】解：如图，
(1)过点B作x轴的垂线，垂足所对应的数为−4，因此点B的横坐标为−4，
过点B作y轴的垂线，垂足所对应的数为5，因此点B的纵坐标为5，
所以点B(−4,5)；
故答案为：(−4,5)；
(2)由于关于原点对称的两个点坐标纵横坐标均为互为相反数，
所以点B(−4,5)关于原点对称点C(4,−5)，
由于关于y轴对称的两个点，其横坐标互为相反数，其纵坐标不变，
所以点B(−4,5)关于y轴对称点D(4,5)，
故答案为：(4,−5)，(4,5)；
(3)S△ABC=2S△ABO=2×12×3×5=15，
故答案为：15；
(4)因为S△ABC=15，
所以12AF⋅5=12，
∴AF=245，
又∵点F在x轴上，A(−3,0)
∴点F(95,0)或(−395,0)，
故答案为：(95,0)或(−395,0).
(1)根据坐标的意义即可得出点B的坐标；
(2)根据关于原点对称的两个点坐标之间的关系可得出点B关于原点对称的点C的坐标，同理根据关于y轴对称的两个点坐标之间的关系得出点B关于y对称点D的坐标；
(3)三角形ABC的面积等于三角形ABO面积的2倍即可，根据坐标可求出三角形ABC的面积；
(4)三角形ABC的面积等于15，根据面积公式求出AF的长在计算F点坐标即可．
本题考查点的坐标，关于x轴、y轴、原点对称的点坐标的关系，以及利用坐标求相应图形的面积，将坐标转化为线段的长是解决问题的关键．
26.【答案】15∘115∘或130∘
【解析】解：(1)①∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90∘，
∴α，β只能是∠A和∠B，
∵2α+β=90∘，∠A=60∘，
∴2α+60∘=90∘或2×60∘+β=90∘，
解得：α=15∘，β=−30(不合题意舍去)，
∴∠B=15∘，
故答案为：15∘；
②∵△ABC是“奇妙互余三角形”，∠C>90∘，
∴α，β只能是∠A和∠B，
∵2α+β=90∘，∠A=40∘，
∴2α+40∘=90∘或2×40∘+β=90∘，
解得：α=25∘，β=10∘(不合题意舍去)，
∴∠B=25∘或10∘，
∴∠C=180∘−∠A−∠B=115∘或130∘，
故答案为：115∘或130∘；
(2)△ABD是“奇妙互余三角形”的理由如下：
∵在△ABC中，∠C=90∘，
∴∠ABC+∠A=90∘，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABC=2∠ABD，
∴2∠ABD+∠A=90∘，
∴△ABD是“奇妙互余三角形”；
(3)如图，当点P在线段BC上时，此时∠APB>90∘，
∵△ABP是“奇妙互余三角形”，
∴2∠BAP+∠ABP=90∘或∠BAP+2∠ABP=90∘，
即2∠BAP+42∘=90∘或∠BAP+2×42∘=90∘，
解得：∠BAP=24∘或6∘，
∴∠APC=∠BAP+∠ABP=66∘或48∘；
当点P在线段CB的延长线上时，∠APB<90∘，如图所示：
，
此时∠ABC=∠BAP+∠APC=42∘，
∵△ABP是“奇妙互余三角形”，
∴2∠BAP+∠APB=90∘或∠BAP+2∠APB=90∘，
解得：∠BAP=48∘或−6∘(不合题意舍去)，
∴∠APC=∠ABC−∠BAP=−6∘(不符合题意舍去)；
综上可知：∠APC的度数为66∘或48∘.
(1)①根据“奇妙互余三角形”的定义，列出含有α，β的方程，求出α，β，从而求出∠B；
②根据“奇妙互余三角形”的定义，列出含有α，β的方程，求出α，β，从而求出∠B，再根据三角形内角和定理求出∠C即可；
(2)根据直角三角形的性质证明∠ABC+∠A=90∘，再根据BD是△ABC的角平分线，证明∠ABC与∠ABD的数量关系，根据“奇妙互余三角形”的定义可得答案；
(3)分两种情况讨论：当点P在线段BC上时和点P在线段CB的延长线上时，分别画出图形，根据“奇妙互余三角形”的定义求出答案即可．
本题主要考查了三角形内角和定理和互为余角的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义和正确识别图形，理解角与角之间的关系．