2024-2025学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,2}，B={x|x(x−1)=0}，则A∪B=( )
A. {0}B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,2}
2.每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是( )
A. 两条直线确定一个平面B. 三点确定一个平面
C. 不共线三点确定一个平面D. 两条平行直线确定一个平面
3.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4−i)=( )
A. 10iB. 11+10iC. 11iD. 10+11i
4.如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且AD=a,AC=b，那么AB为( )
A. 2a−b
B. a−2b
C. 2a+b
D. a+2b
5.已知圆台O1O的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为( )
A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π
6.已知向量a,b满足a=(−2,1),b=(−1,3)，则b在a上的投影向量为( )
A. (−2,1)B. (−2,3)C. (−25,15)D. (−1,3)
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，则直线BD1与CE所成角的余弦值为( )
A. 12B. 35C. 155D. 63
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，B=π3，且c=1，求△ABC面积的取值范围( )
A. ( 316, 34)B. ( 38, 32)C. ( 38, 34)D. ( 34, 32)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于复数z=1+i的四个命题，其中为真命题的是( )
A. |z|=2 B. z−2=−2i C. z的虚部为1 D. z在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知x>0，y>0，则下列不等式一定成立的是( )
A. yx+xy≥2 B. xy≤(x+y2)2 C. xy>x+y D. (x+y)(1x+1y)≥4
11.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术⋅商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱(堑堵).如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则( )
A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形B. 鳖臑的四个面均为直角三角形
C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= x+1x的定义域是______．
13.如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔C在北偏东45°方向，行驶2ℎ后，船到达B处，观测个灯塔C在偏东15°方向，此时船与灯塔C的距离为______km．
14.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=6，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，u=a+2b，v=2a−b．
(1)当u//v时，求x的值；
(2)当u⊥v时，求x的值．
16.（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
(1)证明：PB//平面ACM；
(2)求四棱锥P−ABCD的体积．
17.（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 3asinB+bcsA=0．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a= 7，b= 3，求△ABC的面积．
18.（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//DC，DC⊥AC．
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)若PC=AB=AC=1，求PB与平面PAC成角的正弦值；
(3)设点E为AB的中点，过点C，E的平面与棱PB交于点F，且PA//平面CEF，求PFPB的值．
19.（17分）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 33bsinA+acsB=c，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F．
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)若a=3，且△DEF的周长为9，求AD⋅AB+AF⋅AC；
(Ⅲ)若△DEF的面积为9 34，求△ABC的角平分线AM的取值范围．
参考答案
1.C
2.C
3.B
4.A
5.C
6.A
7.C
8.B
9.BC
10.ABD
11.BCD
12.(0,+∞)
13.40 2
14.12 2−67
15.解：向量a=(1,2)，b=(x,1)，u=a+2b=(1+2x,4)，v=2a−b=(2−x,3)，
(1)当u//v时，则3(1+2x)=4(2−x)，得x=12，
(2)当u⊥v时，则(1+2x)(2−x)+12=0，解得x=−2或72．
16.如图所示，连接BD，MO，

因为ABCD为平行四边形，O是AC中点，
所以AC，BD是平行四边形ABCD的对角线，所以O是BD中点，
又因为M是PD中点，所以MO是△DBP中位线，所以MO//PB，
因为MO⊂平面ACM，PB⊄平面MAC，所以PB//平面ACM；
23．
17.解：(Ⅰ) 3asinB+bcsA=0，
由正弦定理得 3sinAsinB+sinBcsA=0，
因为B∈(0,π)，
所以sinB≠0，tanA=− 33，
在△ABC中，A∈(0,π)，
所以A=5π6；
(Ⅱ)a= 7，b= 3，
由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA，
得c2+3c−4=0，解得c=1或c=−4(舍)，
故S△ABC=12bcsinA
=12× 3×1×12= 34．
18.(1)证明：因为PC⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，
所以PC⊥CD，
又DC⊥AC，AC∩PC=C，AC，PC⊂平面PAC，
所以DC⊥平面PAC．
(2)解：因为AB//DC，DC⊥平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，
所以∠APB为直线PB与平面PAC所成角的平面角，
在Rt△PAC中，PA= PC2+AC2= 2，
在Rt△PAB中，PB= PA2+AB2= 3，
所以sin∠APB=ABPB= 33．
(3)解：因为PA//平面CEF，平面PAB∩平面CEF=EF，PA⊂平面PAB，
所以PA//EF，
因为点E为AB的中点，
所以点F为PB的中点，
所以PFPB=12．
19.解：(1)在△ABC中，由 33bsinA+acsB=c及正弦定理得 33sinBsinA+sinAcsB=sinC，
又sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，则 33sinBsinA=csAsinB，
又sinB>0，于是即tanA= 3，又03 3，
又(b+c)2=bc+27≤(b+c2)2+27，即3(b+c)24≤27，解得b+c≤6，
因此3 3