2024-2025学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省湛江市廉江实验学校高一（下）期中数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合A={−1,0,2}，B={x|x(x−1)=0}，则A∪B=( )
A. {0}B. {0,1,2}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,2}
2.每次停放自行车时，将脚撑放下自行车即可固定在地面上，其中蕴涵的道理是( )
A. 两条直线确定一个平面B. 三点确定一个平面
C. 不共线三点确定一个平面D. 两条平行直线确定一个平面
3.已知i为虚数单位，则(2+3i)(4−i)=( )
A. 10iB. 11+10iC. 11iD. 10+11i
4.如图，AD为ΔABC的边BC上的中线，且AD=a,AC=b，那么AB为( )
A. 2a−b
B. a−2b
C. 2a+b
D. a+2b
5.已知圆台O1O的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，则该圆台的侧面积为( )
A. 16πB. 20πC. 24πD. 32π
6.已知向量a,b满足a=(−2,1),b=(−1,3)，则b在a上的投影向量为( )
A. (−2,1)B. (−2,3)C. (−25,15)D. (−1,3)
7.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱C1D1的中点，则直线BD1与CE所成角的余弦值为( )
A. 12B. 35C. 155D. 63
8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，B=π3，且c=1，求△ABC面积的取值范围( )
A. ( 316, 34)B. ( 38, 32)C. ( 38, 34)D. ( 34, 32)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于复数z=1+i的四个命题，其中为真命题的是( )
A. |z|=2 B. z−2=−2i C. z的虚部为1 D. z在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知x>0，y>0，则下列不等式一定成立的是( )
A. yx+xy≥2 B. xy≤(x+y2)2 C. xy>x+y D. (x+y)(1x+1y)≥4
11.堑堵、阳马、鳖臑这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术⋅商功》.如图1，把一块长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱(堑堵).如图2，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得四棱锥和三棱锥各一个，其中四棱锥称为阳马，三棱锥称为鳖臑.则( )
A. 阳马的四个侧面中仅有两个是直角三角形B. 鳖臑的四个面均为直角三角形
C. 阳马的体积是鳖臑的体积的两倍D. 堑堵、阳马与鳖臑的外接球的半径都相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= x+1x的定义域是______．
13.如图，一艘船以每小时20km的速度向东航行，船在A处观测灯塔C在北偏东45°方向，行驶2ℎ后，船到达B处，观测个灯塔C在偏东15°方向，此时船与灯塔C的距离为______km．
14.三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=BC=6，一球球心在平面ABC内，并且与三个侧面都相切，则球的半径为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）已知向量a=(1,2)，b=(x,1)，u=a+2b，v=2a−b．
(1)当u//v时，求x的值；
(2)当u⊥v时，求x的值．
16.（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．
(1)证明：PB//平面ACM；
(2)求四棱锥P−ABCD的体积．
17.（15分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知 3asinB+bcsA=0．
(Ⅰ)求角A的大小；
(Ⅱ)若a= 7，b= 3，求△ABC的面积．
18.（17分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB//DC，DC⊥AC．
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)若PC=AB=AC=1，求PB与平面PAC成角的正弦值；
(3)设点E为AB的中点，过点C，E的平面与棱PB交于点F，且PA//平面CEF，求PFPB的值．
19.（17分）法国伟大的军事家、政治家拿破仑一生钟爱数学，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以任意的三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 33bsinA+acsB=c，以AB，BC，AC为边向外作三个等边三角形，其中心分别为D，E，F．
(Ⅰ)求角A；
(Ⅱ)若a=3，且△DEF的周长为9，求AD⋅AB+AF⋅AC；
(Ⅲ)若△DEF的面积为9 34，求△ABC的角平分线AM的取值范围．
答案解析
1.【答案】C
【解析】解：由题意可知，B={x|x(x−1)=0}={0,1}，
又因为集合A={−1,0,2}，
所以A∪B={−1,0,1,2}．
故选：C．
利用集合的并集运算求解．
本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意可知，自行车的前轮，后轮，脚撑与地面的三个接触点不在同一条直线，
可以确定唯一一个平面，故自行车就稳了，其中蕴涵的道理是不共线三点确定一个平面．
故选：C．
根据平面的基本事实可得正确的选项．
本题考查了平面的基本性质，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：(2+3i)(4−i)=8−2i+12i+3=11+10i．
故选：B．
利用代数形式的复数乘法计算得解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：根据题意，可得CD=DB，即AD−AC=AB−AD，整理得AB=2AD−AC=2a−b．
故选：A．
根据D为BC中点，可得CD=DB，运用平面向量的线性运算法则算出用a,b表示AB的式子，可得答案．
本题主要考查三角形中线的性质、平面向量的线性运算法则等知识，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：因为圆台O1O的上、下底面半径分别为3，5，母线长为3，
所以由圆台侧面积公式可得S侧=π×(3+5)×3=24π．
故选：C．
由圆台侧面积公式即可求解．
本题主要考查了圆台的侧面积公式，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：a=(−2,1),b=(−1,3)，
则a⋅b=−2×(−1)+1×3=5，|a|= 5，
所以b在a上的投影向量为a⋅b|a|⋅a|a|=5 5⋅(−2,1) 5=(−2,1)．
故选：A．
根据投影向量的定义求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：以{DA,DC,DD1}为单位正交基底，建立空间直角坐标系，
可得B(1,1,0)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E(0,12,1)．
所以BD1=(−1,−1,1)，CE=(0,−12,1)，可得|BD1|= 3，|CE|= 0+14+1= 52．
因为BD1⋅CE=0+12+1=32，
所以直线BD1与CE所成角的余弦值等于|cs|=|BD1⋅CE||BD1|⋅|CE|=32 3× 52= 155．
故选：C．
根据题意，以D为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，从而求出BD1、CE的坐标，利用空间向量的夹角公式算出直线BD1与CE所成角的余弦值．
本题主要考查正方体的结构特征、空间向量的数量积及其坐标运算、利用空间向量求异面直线所成角等知识，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：因为在△ABC中，B=π3，又因为△ABC为锐角三角形，
所以0