安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

这是一份安徽省阜阳市临泉县田家炳实验中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷，共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共计 40 分. 每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是正确的.
如果⼀个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过 1，则称该三位数为“平稳数”.⽤ 1，2，3 这三个数字随机组成⼀个⽆重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）
B. C. D.
设集合，对任意实数 x 恒成⽴ ，则下列关系中成
⽴的是（）
B. C.D.
已知，，，…，( n 为正整数且，且，) ，则
⽤含 t 的式⼦的结果为（）
A. tB. C. D.
在平⾯直⻆坐标系中，抛物线（t 为常数）与直线有两个不同的交点，且交点的横坐标都满⾜，则 t 的取值范围为（）
B. C. D.
算式计算结果的个位数字是（）
A. 8B. 6C. 4D. 2
如图，四边形 ABCD 为矩形，E 是 BC 边上⼀点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 B 的对应点为点 F，若，，则 EF 的⻓为（）
A 3B.C.D.
如图 1，是的半径，点 M 是的中点，点 N 在上从点 A 开始沿逆时针⽅向运动⼀周回到点 A，运动停⽌，设运动过程中的⻓为 x，的⻓为 y，图 2 是 y 随 x 变化的关系图象，则 a 的值为
（）
A. 2B. C. D. 3
已知在平⾯直⻆坐标系中，正⽐例函数的图象与反⽐例函数的图象的两个交点中，有⼀个交点的横坐标为 1，点和点在函数的图象上(且)，点和点在函数的图象上.当与的积为负数时，t 的取值范围是（）
⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共计 18 分. 每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已 知 表 示 不 超 过 的 最 ⼤ 整 数 ， 例 如 ： ，
，下列说法正确的是（）
集合
集合的⾮空真⼦集的个数是 30 个
A.
或
B.
或
C.
或
D.
或
若“”是“”的充分不必要条件，则
若，则
设，为正实数，则下列命题中是真命题的是（）
若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
（多选）任取集合的个⾮空⼦集，定义
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共计 15 分.
计算：.
设命题：已知，，且，不等式恒成⽴，命题：存在
，使得不等式成⽴，若命题、中有⼀个为真命题，⼀个为假命题，则实数的取值范围是 .
⻩⾦分割⽐，这⼀神奇数学⽐例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉. 古希腊毕达哥拉斯学 派率先察觉，欧⼏⾥得给出严谨定义，中国清代梅⽂鼎从独特的勾股形视⻆与之关联. 如图，在中，
，，，点 D 在线段 AB 上，过点 D 作于点 E，于点 F，
得到矩形 DECF， 若矩形 DECF 的周⻓与的周⻓之⽐恰好为⻩⾦分割⽐， 则 AD 的⻓为
.
为
记所得
的
个值之和为 ，则（
）
A.
C.
与的奇偶性相同
的最⼩值为
B.是的⼀个倍数
D.的最⼤值为
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共计 77 分.
为了解某校⼋年级学⽣每天做家庭作业的时间（单位：h），随机调查了该校⼋年级部分学⽣每天做家庭作业的时间.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
填空：图①中 m值为，统计的这部分学⽣每天做家庭作业时间的众数为，中位数为；
求统计这部分学⽣每天做家庭作业时间的平均数；
根据样本数据，若该校⼋年级共有学⽣ 450 ⼈，估计该校⼋年级学⽣每天做家庭作业的时间超过 的⼈数约为多少？
2025 年是“ 健康体重管理年” ，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械.如图(1)所示的健身器械为倒蹬机，使⽤⽅法为上身不动，腿部向前发⼒，双腿伸直之后再慢慢收回.图(2)为其抽象示意图，已知
在初始位置，，点 B，C，G 在同⼀直线上，，，
.
当在初始位置时，求点 D 到的距离；
当双腿伸直后，点 E，D 分别从初始位置运动到点，，假设，，C 三点共线，求此时点 E
上升的竖直⾼度.
（结果精确到，参考数据：，，，
，，）
已知命题是假命题.
求实数的取值集合；
设不等式的解集为 A，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
在古代，智慧的劳动⼈⺠已经会使⽤“⽯磨”，其原理为在磨盘的边缘连接⼀个固定⻓度的“连杆”，推动
“连杆”带动磨盘转动，将粮⻝磨碎，物理学上称这种动⼒传输⼯具为“曲柄连杆机构”.⼩明受此启发设计了
⼀个“双连杆机构”，设计图如图 1，两个固定⻓度的“连杆”，的连接点 P 在上，当点 P 在
上转动时，带动点 A，B 分别在射线，上滑动，.当与相切时，点 B 恰好落在 上，如图 2.
请仅就图 2 的情形解答下列问题.
（1）求证：；
（2）若半径为 5，，求的⻓.
在平⾯直⻆坐标系中，O 为原点，是等腰直⻆三⻆形，，点，点 B 在第
⼆象限，四边形 OCDE 的顶点，顶点，点 D 在第⼀象限，，.
填空：如图①，点 B 的坐标为，点 D 的坐标为；
将沿⽔平⽅向向右平移，得到，点 O，A，B 的对应点分别为，，.设
，与四边形 OCDE 重叠部分的⾯积为 S.
①如图②，当点在 x 轴负半轴上，且与四边形 OCDE 重叠部分为四边形时，与 OC 相交于点 F，试⽤含有 t 的式⼦表示 S，并直接写出 t 的取值范围；
②当时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）.
⾼⼀开学摸底检测数学
分值：150 分时间：120 分钟 考查范围：初中数学+必修⼀第⼀、⼆章
⼀、选择题：本题共 8 ⼩题，每⼩题 5 分，共计 40 分. 每⼩题给出的四个选项中，只有⼀个选项是正确的.
如果⼀个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过 1，则称该三位数为“平稳数”.⽤ 1，2，3 这三个数字随机组成⼀个⽆重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出⽤ 1，2，3 这三个数字随机组成⼀个⽆重复数字三位数可能结果数，并找出“ 平稳数” 个数即可求解
【详解】依题意，⽤ 1，2，3 这三个数字随机组成⼀个⽆重复数字的三位数可能结果有：
123，132，213，231，312，321 共六种可能，只有 123，321 是“ 平稳数” ，
∴⽤ 1，2，3 这三个数字随机组成⼀个⽆重复数字的三位数，恰好是“ 平稳数” 的概率为.
故选：C.
设集合，对任意实数 x 恒成⽴ ，则下列关系中成
⽴的是（）
A B. C.D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题，化简集合，根据真⼦集定义判断.
【详解】由题意可知 Q 满⾜或，即或，解得，故
.
故选：A.

【分析】由题设所给条件推导前⼏项得到周期为 3，进⽽得前三项即⼀个周期乘积为，依据周期即可计算求解.
【详解】由题意可得：，
，
，
，
，
由上可得上述的数列具有周期性，周期为 3，
3. 已知
，
，
，…，
( n 为正整数且
，且，) ，则
⽤含 t 的式⼦
的结果为（
）
A. t
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
，
，
.
故选：A
4. 在平⾯直⻆坐标系中，抛物线
（t 为常数）与直线
有两个不同的交点，且交点的横
坐标都满⾜，则 t 的取值范围为（
A. B.
【答案】D
）
C.
D.
【解析】

【分析】问题化为抛物线与 x 轴的交点的横坐标满⾜，数形结合确定参数范围.
【详解】令，整理得，
抛物线（t 为常数）与直线有两个不同的交点，
∴ 有两个解，则，解得，
令，则交点的横坐标即为抛物线与 x 轴的交点的横坐标，
如图，当时，的图象与 x 轴的交点横坐标为，，结合图象的平移关系，当时交点的横坐标满⾜，
综上所述，t 的取值范围为.
【分析】先利⽤平⽅差公式计算化简原式，接着利⽤的个位数字周期性即可分析计算求解.
【详解】因为
...
故选：D
5. 算式
计算结果的个位数字是（）
A. 8
【答案】B
B. 6
C. 4
D. 2
【解析】

，
∵ ，，，，，……，
∴ 的个位数字周期为 4，以 2，4，8，6 为⼀周期，
∵ 余 0，
∴ 的个位数字为 6.
故选：B.
如图，四边形 ABCD 为矩形，E 是 BC 边上⼀点，连接 AE，将矩形 ABCD 沿 AE 折叠，点 B 的对应点为点 F，若，，则 EF 的⻓为（）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】延⻓ AF，交 BC 于点 H，根据已知得，设，再由求解.
【详解】如图，延⻓ AF，交 BC 于点 H.
由折叠的性质可知，，， ，则，
， ，
，
，
设，则，
，
，可得.
故选：D
如图 1，是的半径，点 M 是的中点，点 N 在上从点 A 开始沿逆时针⽅向运动⼀周回到点 A，运动停⽌，设运动过程中的⻓为 x，的⻓为 y，图 2 是 y 随 x 变化的关系图象，则 a 的值为
（）
A. 2B. C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象得到圆 O 的半径，当的⻓时，设，利⽤弧⻓公式得到⽅程，求出，作出辅助线，求出各边⻓，由勾股定理得到答案.
【详解】结合题图可知，当点 N 与点 A 重合时，的⻓，由图象知此时，
∵点 M 是
的中点，
∴
当
的⻓
，即圆 O 的半径
时，设
，
，
将
，
代⼊可得：
，

解得：，即此时，
过点 N 作，交的延⻓线于点 G，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵
，
在中，，
，
，则，
在中，根据勾股定理，
已知，，则，
由图象可知的最⼤值为 a，
∴ ，
故选：C.
已知在平⾯直⻆坐标系中，正⽐例函数的图象与反⽐例函数的图象的两个交点中，有⼀个交点的横坐标为 1，点和点在函数的图象上(且)，
点和点在函数的图象上.当与的积为负数时，t 的取值范围是（）
A
或
B.
或
C.
【答案】D
或
D.
或
【解析】

【分析】先求出，令，则，，将点的坐标代⼊，表达出
，，根据得到，分
，，，，五种情况，分类讨论，得到答案.
【详解】∵ 的图象与反⽐例函数的图象的两个交点中，有⼀个交点的横坐标为 1，
∴ .
∴ 不符合要求，应舍去；
②当时，，
令
，则
，
.
将点
和点
代⼊
，得
；
将点
和点
代⼊
，得
.
∴
，
，
∴
，
∴
.
∵
，
∴
，
∴
①当
时，
.
，

⼆、选择题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 6 分，共计 18 分. 每⼩题给出的四个选项中，有多项符合题⽬要求. 全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
已 知 表 示 不 超 过 最 ⼤ 整 数 ， 例 如 ： ，
，下列说法正确的是（）
集合
集合的⾮空真⼦集的个数是 30 个
若“”是“”的充分不必要条件，则
若，则
【答案】CD
【解析】
【分析】A 选项，根据定义判断；B 选项，根据集合中的元素个数计算；C 选项，根据“”是
∴ 符合要求；
③当时，
，
∴ 不符合要求，应舍去；
④当时，
，
∴ 符合要求；
⑤当时，
，
∴ 不符合要求，应舍去.
综上，t 的取值范围是或故选：D.
.
“”的充分不必要条件得到
情况分析即可.
【详解】时，
是
的真⼦集，然后求
时，
的范围即可；D 选项，分和两种
，
时，，
时，，
时，，
时，，
，集合的⾮空真⼦集有个，所以A，B 错误．
⼜若“”是“”的充分不必要条件，则是的真⼦集，所以，C 正确．若，则时，；
时，，
【答案】AD
【解析】
【分析】结合不等式的基本性质，熟练应⽤作差⽐较进⾏运算，即可求解，得到答案.
【详解】对于A 选项，由，为正实数，且，可得，所以，所以，
若，则，可得，这与⽭盾，故成⽴，所以A 中命题为真命题；
对于B 选项，取，，则，但，所以B 中命题为假命题；对于C 选项，取，，则，但，所以C 中命题为假命题；对于D 选项，由，则，
即，可得，所以D 中命题为真命题.故选AD.
【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应⽤，其中解答中结合不等式的基本性质，熟练应⽤作差⽐较进
⾏运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能⼒，属于基础题.
（多选）任取集合的个⾮空⼦集，定义
综上
，D 正确．
故选：CD.
10. 设，
A. 若
为正实数，则下列命题中是真命题的是（）
，则B. 若
，则
C. 若
，则D. 若
，
，则
，因此，中每增加⼀对集合的交集⾮空，则 的值增加 2，从⽽可判断A，B，C；⼜由
定义可知，，取，则，即，可判断选项D.
【详解】由定义知，当时，，则，故，显然取的单元素⼦集，则时，，所以，
考虑的情况下，若改变集合中的⼀个，
使，则，如取，则，即 的值由增⼤为，
因此，中每增加⼀对集合的交集⾮空，则 的值增加 2，故 与具有相同的奇偶性，但 不⼀定是的倍数；
⼜由定义可知，，
若对任意的，
如取，则，即.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：采⽤从最特殊的当时，，则，故，再取的单元素⼦集，则时，，所以求得 的最⼩值，再次基础上，若改变集合中的⼀个，可得到 的变化规律，从⽽得解.
为
记所得
的
个值之和为 ，则（
）
A.
与的奇偶性相同
B.是的⼀个倍数
C.
的最⼩值为
D.的最⼤值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意，可知
，当
，则
时，
，所以
，若改变集合
中的⼀个，使
，则
，即 的值由增⼤为
三、填空题：本题共 3 ⼩题，每⼩题 5 分，共计 15 分.
计算：.
【答案】
【解析】
【分析】由根式的性质和三⻆函数知识即可得
【详解】由.
故答案为：.
设命题：已知，，且，不等式恒成⽴，命题：存在
，使得不等式成⽴，若命题、中有⼀个为真命题，⼀个为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】
【分析】先求出当命题、为真命题时的取值范围，再根据题意可知， 有⼀真⼀假，然后根据真， 假或假，真列出不等式组，即可即可．
【详解】对于：，所以，当且仅当时取等号，
恒成⽴，则，即；对于：存在，使得不等式成⽴，
只需，
⽽，，；因为，有⼀真⼀假，所以
若为假命题，为真命题，则，所以；
若 为假命题， 为真命题，则，所以.
综上，或，
故答案为：.
⻩⾦分割⽐，这⼀神奇的数学⽐例，在中外数学发展历程中都被敏锐捕捉. 古希腊毕达哥拉斯学 派率先察觉，欧⼏⾥得给出严谨定义，中国清代梅⽂鼎从独特的勾股形视⻆与之关联. 如图，在中，
，，，点 D 在线段 AB 上，过点 D 作于点 E，于点 F，
得到矩形 DECF， 若矩形 DECF 的周⻓与的周⻓之⽐恰好为⻩⾦分割⽐， 则 AD 的⻓为
.
【答案】
【解析】
【分析】设，则，由求出即可.
【详解】，，，由勾股定理得，
，
四边形为矩形，，，设，则，，， ，
，解得，
.
故答案为：.
四、解答题：本题共 5 ⼩题，共计 77 分.
为了解某校⼋年级学⽣每天做家庭作业的时间（单位：h），随机调查了该校⼋年级部分学⽣每天做家庭作业的时间.根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②.
请根据相关信息，解答下列问题：
填空：图①中 m 的值为，统计的这部分学⽣每天做家庭作业时间的众数为，中位数为；
求统计的这部分学⽣每天做家庭作业时间的平均数；
根据样本数据，若该校⼋年级共有学⽣ 450 ⼈，估计该校⼋年级学⽣每天做家庭作业的时间超过 的⼈数约为多少？
【答案】（1）28；；
（2）
（3）261 ⼈
【解析】
【分析】（1）根据扇形图中百分⽐之和为 1 求得，利⽤众数和中位数的定义求得答案；
根据平均数的定义列式求解；
求出样本中每天做家庭作业的时间超过的百分⽐，由此估计该年级 450 ⼈中，每天做家庭作业的时间超过的学⽣⼈数.
【⼩问 1 详解】
，.
每天做家庭作业的⼈数有 14 ⼈，⼈数最多，众数为；
由题意，得统计的总⼈数为⼈，
从⼩到⼤依次排序，处在中间位置的序号为 25 和 26，对应的数据都是 1.3，
中位数为.
【⼩问 2 详解】
，统计的这部分学⽣每天做家庭作业时间的平均数为；
【⼩问 3 详解】
在抽取的样本中，每天做家庭作业的时间超过的占，
估计该年级 450 ⼈中，每天做家庭作业的时间超过的学⽣⼈数为（⼈），估计该校⼋年级学⽣每天做家庭作业的时间超过的⼈数约为 261 ⼈.
2025 年是“ 健康体重管理年” ，某健身俱乐部精准把握时代脉搏购进健身器械.如图(1)所示的健身器械
为倒蹬机，使⽤⽅法为上身不动，腿部向前发⼒，双腿伸直之后再慢慢收回.图(2)为其抽象示意图，已知在初始位置，，点 B，C，G 在同⼀直线上，，，
.
当在初始位置时，求点 D 到的距离；
当双腿伸直后，点 E，D 分别从初始位置运动到点，，假设，，C 三点共线，求此时点 E
上升的竖直⾼度.
（结果精确到，参考数据：，，， ，，）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据解直⻆三⻆形可求点 D 到的距离；
（2）先求的⻓度，再利⽤解直⻆三⻆形可求点 E 上升的竖直⾼度.
【⼩问 1 详解】
过点 D 作于点 H，
∴点 D 到的距离约为.
【⼩问 2 详解】
过点 E 作于 N，过点作于点 M，
∵ ，，
∴ ，
∴ ，
由题意得：，
∴ ，
，
∴点 E 上升的竖直⾼度约为.
∵
，∴
，
∵
，∴
，
∵
∴
，∴
，
，
【分析】（1）由题意得到是真命题，从⽽将问题转化为⼆次函数在区间内恒成⽴问题，由此得解；
（2）先由必要不充分条件的性质得到集合是集合的真⼦集，再分类讨论得到解集，从⽽列不等式求得的取值范围.
【⼩问 1 详解】
因为命题是假命题，
所以命题是真命题，
所以在上恒成⽴，
令，则开⼝向上，对称轴为，所以在上单调递减，在上单调递增，
⼜，，所以，
所以，即，故.
【⼩问 2 详解】
因为是的必要不充分条件，
所以集合是集合的真⼦集，⼜，
因为对应的⽅程的根为或，
当，即时，由得，则，所以，则，故；
17. 已知命题
是假命题.
（1）求实数的取值集合
；
（2）设不等式
的解集为 A，若是的必要不充分条件，求实数的取值
范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】

所以，则，故；综上：，即.
在古代，智慧的劳动⼈⺠已经会使⽤“⽯磨”，其原理为在磨盘的边缘连接⼀个固定⻓度的“连杆”，推动
“连杆”带动磨盘转动，将粮⻝磨碎，物理学上称这种动⼒传输⼯具为“曲柄连杆机构”.⼩明受此启发设计了
⼀个“双连杆机构”，设计图如图 1，两个固定⻓度的“连杆”，的连接点 P 在上，当点 P 在
上转动时，带动点 A，B 分别在射线，上滑动，.当与相切时，点 B 恰好落在 上，如图 2.
请仅就图 2 的情形解答下列问题.
（1）求证：；
（2）若的半径为 5，，求的⻓.
【答案】（1）证明⻅解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）连接，取纵向虚线与交于点 Q，根据圆及其切线性质得、
，即可证；
（2）过点 Q 作的垂线，交于点 C，根据已知及得，，再由线段关系及圆的性质、勾股定理求线段⻓.
【⼩问 1 详解】
连接，取纵向虚线与交于点 Q，如下图：
当
，即
时，由
得
，显然
，即
，满⾜题意；
当
，即
时，由
得
，则
，
，
，
为的外⻆，
，
，
，
.
【⼩问 2 详解】
过点 Q 作的垂线，交于点 C，如下图：
由题意，在中，，
由（1）知，，则，
，，
，，
，
，
由圆的性质，直径所对的⻆为直⻆，
在中，由勾股定理得，
即.
在平⾯直⻆坐标系中，O 为原点，是等腰直⻆三⻆形，，点，点 B 在第
⼆象限，四边形 OCDE 的顶点，顶点，点 D 在第⼀象限，，.
填空：如图①，点 B 的坐标为，点 D 的坐标为；
将沿⽔平⽅向向右平移，得到，点 O，A，B 的对应点分别为，，.设 ，与四边形 OCDE 重叠部分的⾯积为 S.
①如图②，当点在 x 轴负半轴上，且与四边形 OCDE 重叠部分为四边形时，与 OC 相交于点 F，试⽤含有 t 的式⼦表示 S，并直接写出 t 的取值范围；
②当时，求 S 的取值范围（直接写出结果即可）.
【答案】（1），
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）分别过点作轴，轴，垂⾜分别为点，利⽤等腰直⻆三⻆形可求 的坐标；
（2）①结合图形特征利⽤三⻆形⾯积公式和梯形⾯积公式可求 ；②就、、分
类计算后可求 的范围.
【⼩问 1 详解】
如图①，分别过点 B，D 作轴，轴，垂⾜分别为点 G，H.
是等腰直⻆三⻆形，，，
，
.
，，.
点 B 在第⼆象限，.
，.
，轴，轴，. ，，. ，，，.
①如图②，过点
作
，
，
轴，垂⾜为点 M，易得四边形
，
，
为矩形，
，
.
，
，
，
，
.
【⼩问 2 详解】
.
，
，
；
②当时，如图③，记与 OC 交于点 K，则重叠部分为，
易得，，.
，当时，S 随 t 的增⼤⽽增⼤，当时，；当时，由①可知重叠部分为四边形，.
，当时，S 随 t 的增⼤⽽增⼤，当时，S 有最⼤值，最⼤值为 4，当时， ，
当时，；
当时，如图④，记与 DE 交于点 T，则重叠部分为，
易得，，，，易得.
，当时，S 随 t增⼤⽽减⼩，当时，，当时，，当时，.
综上所述，当时，.