江西省鹰潭市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江西省鹰潭市2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题（Word版附解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点坐标为，，则的虚部为（ ）
A．iB．C．1D．
2．如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
4．曲线的对称轴方程为（ ）
A．B．
C．D．
5．斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．56B．C．D．
6．蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的，若不计蜂巢壁的厚度.蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示.设P为图中7个正六边形（边长为1）内部或边界上点，A，B为两个固定顶点，则的取值范围是（ ）

A．B．C．D．
7．设函数，下述四个结论：
①是偶函数②的图象关于直线对称
③的最小值为④在上不单调
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．的内角的对边分别为，若 则面积的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
9．设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则或
B．若，则点的集合所构成的图形的面积为π
C．
D．若是实系数方程的一个根，则
10．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A．
B．在区间上单调递减
C．的图象可由向右平移个单位得到
D．
11．在棱长为2的正方体中，点是正方形内的一点（包含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若点是线段的中点，则平面截正方体所得的截面的面积为
C．若点在线段上，则的最小值为
D．若点满足，则与平面所成角的正切值的最大值为
三、填空题
12．已知向量，且，则 ．
13．设当时，函数取得最大值，则 .
14．榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，在连接部分通过紧密的拼接，使得整个结构能够承受大量的重量，并且具有较高的抗震能力．这其中木楔子的运用，使得榫卯配合的牢度得到最大化满足，木楔子是一种简单的机械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛､木片等．如图为一个木楔子的直观图，其中四边形是边长为2的正方形，且均为正三角形，，则该木楔子的外接球的体积为 ．
四、解答题
15．已知z是复数，若是实数，是纯虚数，其中i为虚数单位．
(1)求复数；
(2)设复数z，在复平面内所对应的向量分别是，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
16．记的内角，，的对边分别为，，，，.
(1)求的面积；
(2)若，求的值.
17．如图，在三棱柱 中，平面ABC，， D是BC的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证: 平面平面;
(3)求直线AC与平面所成角的正弦值.
18．大连某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带和，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设．
(1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
(2)当时，求加温带的长；
(3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上按装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为400元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对边分别为，，，且，点为的费马点．
(1)求证：是直角三角形；
(2)若的面积为，且，求的值；
(3)求的最小值．
江西省鹰潭市2024-2025学年高一下学期6月期末质量检测
数学试题参考答案
1．D
【详解】因为复数在复平面内对应的点坐标为，所以，
所以，所以，所以的虚部为.
故选：D
2．D
【详解】由已知为线段上一点，
设，，
则，
又，
则，
所以，
则，
解得，
故选：D.
3．C
【详解】解：角的终边经过点，
，，
，
，
．
故选：C．
4．A
【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图：
因此对称轴方程满足，即可得，
所以对称轴方程为.
故选：A
5．B
【详解】设正四棱台的上、下底面中心分别为，则即为正四棱台的高，如图所示：
取过正四棱台的轴和侧棱的截面，易知，
所以可得截面是上底为4，下底为8，腰长为的等腰梯形，
则，
所以正四棱台的体积为.
故选：B
6．A
【详解】如图建立平面直角坐标系，则，
设，则，
所以，由于，
所以当点P与点E或点F重合时，最小，最小值为，
当点P与点G或点H重合时，最大，最大值为，
所以.
故选：A.

7．B
【详解】①因为，所以是偶函数，①正确；
②因为，
所以的图象不关于直线对称，②错误；
③因为
所以
当时，，
当时，，
综合得，即的最小值为，③错误；
④由，化简，
令，则，，
因为在上单调递减，在上单调递增，
故在上不单调，④正确.
故选：B
8．B
【详解】由可得,
，
故，
,
则同号，故为锐角，故，即，当且仅当时取等号，
故的最大值为，
故，故面积的最大值为，
故选：B
9．BC
【详解】对于A中，例如：复数，可得，所以A不正确；
对于B中，由复数的几何意义，可得是以半径为和半径为的圆构成的圆环，
其中圆环的面积为，所以B正确；
对于C中，由虚数的运算性质：，
可得，所以C正确；
对于D中，由复数是实系数方程的一个根，
可得复数是实系数方程的另一个根，
则且，即，
所以，所以D不正确.
故选：BC.
10．ACD
【详解】由条件可知，，则，且，
所以，
由图象可知，，得，
当时，，得，
所以，所以，故A正确；
，因为函数的周期为，的单调性和的单调性一致，由图可知，是函数的增区间，故B错误；
向左平移个单位得到函数，故C正确；
由条件可知，，则，所以，
所以，
因为，所以，
因为，
所以，故D正确.
故选：ACD
11．ACD
【详解】对于选项A：因为正方体，所以，
又，平面，所以平面.
又平面，所以.故A正确.
对于选项B：取中点，连接，平面截正方体所得截面为等腰梯形.
因为，，，所以等腰梯形的高为，
所以梯形面积为，所以B错误.
对于选项C：如图：
当为中点时，因为，所以取得最小值，为，
此时因为为等边三角形，且边长为，，所以也取得最小值，为.
所以的最小值为，故C正确；
对于选项D：如图：
由，平面，点的轨迹是线段.
过作平面，垂足为，则在线段上，连接，则为与平面所成的角.
，又，所以，当为中点时取“”.故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】因为，所以，解得，
所以，则，
故答案为：．
13．；
【详解】f(x)＝sin x－2cs x＝＝sin(x－φ)，其中sin φ＝，cs φ＝，当x－φ＝2kπ＋ (k∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cs θ＝－sin φ＝－.
14．/
【详解】如图，分别过点作的垂线，垂足分别为，连接，则，故.
取的中点，连接，
又，则.
由对称性易知，过正方形的中心且垂直于平面的直线必过线段的中点，
且所求外接球的球心在这条直线上，如图.
设球的半径为，则，且，
从而，即，
当点在线段内（包括端点）时，有，得，
从而，即球心在线段的中点，其半径.
当点在线段外时，，解得（舍）.
故所求外接球的体积.
故答案为：.
15．(1)
(2)且.
【详解】（1）设复数，
由是实数知，即，
所以．
又因为是纯虚数，则为纯虚数，
即且，
所以，
所以．
（2）由（1）知，
则，
所以，，
因为向量与的夹角为钝角，
所以，且与不共线，
即，且
解得且.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由，得
所以
由正弦定理，，
得
所以
由，得
所以
由，得
所以的面积
（2）由余弦定理得
化简得
方法一：边运算
设的外接圆的半径为
由正弦定理得，，
所以，解得
所以
所以
所以
所以
由，得
所以
方法二：边运算
由正弦定理，
得
所以
所以
所以
由，得
所以
方法三：角运算
由（1）知，
所以
化简得
因为
所以

由，得
所以由正弦定理得
17．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）在三棱柱 中，连接交于O，连接OD，
则O是的中点，又是的中点，，
而平面，OD平面，
所以平面.
（2）由，是的中点，得，
由平面，得平面，又AD平面，则，
又､BC是平面内的两条相交直线，因此平面，而AD平面，
所以平面平面
（3）在平面内过C作CE于E，连AE，
由（2）知，平面平面，平面平面，
则平面，是AC与平面所成的角，
在直角中，令，则，，
在直角中，，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
18．(1)，；
(2)．
(3)当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．
【详解】（1）在中，由，得，，
又中，由勾股定理得，
因此，
当点在点时，此时的值最小，，当点在点时，此时的值最大，，
所以函数关系式为，定义域为.
（2）由（1）知，
因此，
于是.
（3）依题意，要使费用最低，只需最小即可，
由（1）得，
设，则，，
，由，得，
，于是，
令，函数在上为增函数，
则当时，最小，且最小值为，此时，
所以当米时，照明装置费用最低，最低费用为元．
19．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，得，
即，由正弦定理得，
所以是直角三角形.
（2）由（1）知，
的面积为，则，
所以在中，，
所以，
由P为的费马点，得，
设，则，，
在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，则，
因此，整理得，即，
所以，即.
（3）由P为的费马点，得，
设，则，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得，
由，得，
化简得，又，则，当且仅当时取等号，
整理得，因此，或（舍去），
所以的最小值为.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
A
B
A
B
B
BC
ACD
题号
11









答案
ACD