四川省2024_2025学年高一数学下学期5月月考试题含解析 (1)

这是一份四川省2024_2025学年高一数学下学期5月月考试题含解析 (1)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
1. 复数 z 满足 ，则复数 z 的虚部是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得 ，进而可求得 ，可得结论.
【详解】因为 ，
则 ，
故复数 z 的虚部是 1．
故选：C．
2. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数 的解析式由内到外逐层计算可得 的值.
【详解】因为 ，则 ，
则 .
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故选：C.
3. 已知向量 ， 与 的夹角为锐角的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. 且 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求出 与 的夹角为锐角的充要条件，其对应集合的真子集即满足题意.
【详解】因为 ，
所以 ，
解得 ，
当 与 共线时， ，解得 ，
所以 与 的夹角为锐角的充要条件为 且 ，
故四个选项中只有 为 与 的夹角为锐角的一个充分不必要条件，
故选：D
4. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成.如图，记榴花塔高为 ，测量小组选取
与塔底 在同一水平面内的两个测量点 和 ，现测得 ， ， ，在点
处测得塔顶 的仰角为 30°，则塔高 为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
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【解析】
【分析】先在 中利用正弦定理求 ，再在 中求 即可.
【详解】依题意， 中， ， ，即 ，
解得 .
在 中， ，即 .
故选：A.
5. 函数 在 上单调递减，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数 的单调减区间，利用 为前者的子集可求 的取值范围.
【详解】令 ，故 ，
所以函数 的减区间为 ，
因为 在 上为减函数，
故存在 ，使得 ，因为 ，
所以 ，所以 ，故 ，
.则 的最大值为 .
故选：B.
6. 如图，已知 分别是 边 上的点，且满足 ， ， 与 交于
，连接 并延长交 于 点．若 ，则实数 的值为（ ）
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A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【 分 析 】 由 共 线 、 共 线 分 别 可 得 、
，进而得 、 求参数，得
，最后由 且 共线求参数 .
【详解】由 共线，则 ， ，
所以 ①，
由 共线，则 ， ，
所以 ②，
由①②知： ，则 ，故 ，
由 ，则 ，
由 共线，则 ，可得 .
故选：A
【点睛】关键点点睛：令 、 ，利用不同参数及
表示出 为关键.
7. 已知向量 满足 ，且向量 在 方向上的投影向量为 ．若动点 C 满足
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，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】应用数形结合及极化恒等式，化 ，求解即可．
【详解】解：如图，
根据投影向量定义知， ，则 ，且 ，
因为 ，所以点 C 在以 O 为圆心，半径 圆上运动．
设 M 是 AB 的中点，由极化恒等式得： ，
因为 ，此时 ，
即 的最小值为 ，
故选：D．
8. 已知非零平面向量 ， 夹角为 ，且 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用数量积的定义及运算律可得 ，再利用数量积的运算律变形 ，并
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结合基本不等式求解即得.
【详解】由向量 ， 的夹角为 及 ，得 ，即 ，
则 ，令 ，
于是
，当且仅当 ，即 时取等号，
由 ，解得 ，
所以当 且 时， 取得最大值 .
故选：B
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．部分选对的得部分分，有选错的得
0 分．
9. 下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据解析式直接判断奇偶性与单调性即可求解.
【详解】选项 A： 的定义域为 ，为奇函数不是增函数，故 A 不符合题意；
选项 B：函数的定义域为 R，设 ，
则 ，所以 为奇函数，
又 为增函数，所以 为增函数，故 B 符合题意；
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选项 C：函数的定义域为 R， 为奇函数和增函数，故 C 符合题意；
选项 D：函数的定义域为 ， 不是奇函数，故 D 不符合题意.
故选：BC.
10. 在 中， 分别是角 的对边，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则三角形有一解
B.
C. 若 ，则 为等腰三角形
D. 若 ，则 面积的最大值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由正弦定理，求得 ，结合 ，得到 有两解，可判定 A 错误；根据三角形的射影定
理，可判断 B 正确；利用正弦定理和三角恒等变换的公式，得到 ，可判定 C 正确；利用余
弦定理和基本不等式，可判定 D 正确.
【详解】对于 A 中，由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，且 ，所以 有两解，所以 A 错误；
对于 B 中，如图所示，过点 作 ，
则 ，所以 B 正确；
对于 C 中，因为 ，由正弦定理得 ，
又因 ，可得 ，
所以 ，
即 ，
可得 ，所以 为等腰三角形，所以 C 正确；
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对于 D 中，因为 ，由余弦定理 ，
可得 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，
所以 面积的最大值为 ，所以 D 正确.
故选：BCD.
11. 十七世纪法国数学家费马提出了一个著名的几何问题：“已知一个三角形．求作一点．使其与这个三角形
的三个顶点的距离之和最小”，它的答案是：当三角形的三个角均小于 时，则该点与三角形的三个顶点
的连线两两成角 ；当三角形有一内角大于或等于 时，所求点为三角形最大内角的顶点，在费马问题
中，所求点称为费马点．己知在 中， ，CM 是 的角平分线，交
于 ， 为 的费马点，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. 外接圆半径为 D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据 ，结合面积公式，求得 的长，可判定 A 正确；在 中，利
用三角形的面积公式，可判定 B 正确；利用余弦定理，求得 ，结合正弦定理，求得外接圆的半径，
可判定 C 错误；由 ，利用三角形的面积公式，求得
，结合向量的数量积的计算公式，可得判定 D 正确.
【详解】对于 A 中，因为 ，且 是 的角平分线，
可得 ，且 ，
所以 ，解得 ，所以 A 正确；
对于 B 中，在 中，由 且 ，
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可得 ，所以 B 正确；
对于 C 中，在 中，因为 ，
由余弦定理，可得 ，
所以 ，
又由 是 的角平分线，可得 ，可得 ，
在 中，由正弦定理，可得 ，
所以 的外接圆的半径为 ，所以 C 错误；
对于 D 中，由 ，
在 中， ，即 ，
在 中， ，
则点 与 的三个顶点的连线两两成角为 ，即 ，
又由
，
可得 ，
所以 ，
所以 D 正确.
故选：ABD.
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第Ⅱ卷（非选择题共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 已知复数 满足 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数除法求出 ，再利用复数乘方运算求得答案.
【详解】依题意， ，
所以 .
故答案为：
13. 设 P 为 内一点，且 ，则 ________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】设 的中点是 ，连接 ，根据平面向量线性运算法则，得到 ，即可求得
.
【详解】设 的中点是 ，连接 ，由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 为 的三等分点（靠近 点的分点），即 ，
所以 ．
故答案为： .
14. 在 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，已知 ， ，且 ，
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则 的周长为________．
【答案】
【解析】
【分析】利用余弦定理可得 ，化简可得 ，进而可求得
，结合面积可求得 ，可求周长.
【详解】因为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
由余弦定理可得 ，又 ， ，
因为 ，又 ，所以 ，所以 ，
又 ，可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的周长为 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知 的顶点分别为 ，D 在直线 BC 上．
（1）若 ，求点 D 的坐标；
（2）若 ，求点 D 的坐标．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设点 D 的坐标为 ，利用向量相等得到 的方程组，求解即可；
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（2）设点 D 的坐标为 ，利用向量的数量积与共线向量的坐标表示可得 的方程组，求解即可.
【小问 1 详解】
设点 D 的坐标为 ，则 ，
， ，解得 ，
点 D 坐标为 ．
【小问 2 详解】
设点 D 的坐标为 ， ，
又 C，B，D 三点共线，
而 ，
，
解方程组，得 ． 点 D 的坐标为 ．
16. 在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求 B；
（2）若 ，点 D 为 AC 中点，求 BD 长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角和的正弦公式进行化简可求出 ，即可求得角 B；
（2）利用平面向量的线性运算可得 ，等式左右同时平方根据数量积的定义代入相应值
即可求得 BD.
【小问 1 详解】
由正弦定理得 ，
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中， ，所以 ，
所以 ，于是 ，
因为 ，所以 ，
又 ，所以 ．
【小问 2 详解】
因为 为 的中点，
所以 ，
所以
，
所以 ．
17. 已知函数 .
（1）求 的最小正周期；
（2）函数 的图象可以由 的图象向左平移 个单位长度得到，若 在 上有两个零
点，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式化简 ，从而求得 的最小正周期；
（2）利用三角函数平移的性质求得 ，令 ，从而将问题转化为 与 的图象有两
个交点，由此得解.
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【小问 1 详解】
，
所以 的最小正周期为 .
【小问 2 详解】
将 的图象向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
令 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减，
且 ，
若 在 上有两个零点，
则关于 的方程 在 上有两个不相等的实数根，
即 与 的图象有两个交点，
所以 的取值范围为 .
18. 如图，经过村庄 A 有夹角为 的两条公路 AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂 P，
分别在两条公路边上建两个仓库 M，N（异于村庄 A），要求 ，工厂 P 在以 MN 为直径的半圆弧
上．
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（1）如何设计，使得村庄 A 到两个仓库 M，N 的距离之和最大，并求出最大值？
（2）如何设计，使得工厂生产的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远），并求出最大距离？
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）设 ，由余弦定理和基本不等式，求得 ，进而得到 ，求得
，即可求得 得到最大值；
（2）设 的中点为 ，建立直角坐标系以 为坐标原点， 为 轴，求得 的中点 D 的坐标为
，得到 ，由（1）求得 ，进而得到 ，
确定点 的位置.
【小问 1 详解】
解：设 ，
在 中，由余弦定理得 ，
可得 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
即当 时，取等号；所以 取最大值为 4．
【小问 2 详解】
解：由于使得工厂生产的噪声对居民的影响最小，即 取最大值，
设 的中点为 ，建立直角坐标系以 为坐标原点， 为 轴，
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可得 ，且
所以 的中点 D 的坐标为 ，
因为 ，
，
由（1）可知： ，所以 ，
即 ，当且仅当 时取等号；
所以 ，即当 时，
连接 并延长与以 为直径的圆的交点，即为 点.
19. 如图所示，在平面四边形 ABCD 中， 为正三角形．
（1）在 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ，求角 B 的大小；
（2）克罗狄斯·托勒密（Ptlemy）所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意
凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材
料，则当线段 BD 的长取最大值时，求 ．
（3）求 面积的最大值．
【答案】（1）
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意，化简得到 ，求得 ，进而得到
，即可求解；
（2）根据题意，得到 ，不妨设 ，列出方程，求得 ，结合余弦
定理，即可求解；
（3）设 ，由余弦定理得 ，再由正弦定理求得
，求得 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【小问 1 详解】
解：由 ，可得 ，
所以 ，
整理得 ，所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，因为 ，所以 ．
【小问 2 详解】
解：因为 ，且 为等边三角形， ，
所以 ，所以 ，即 BD 的最大值为 3，取等号时 ，
所以 ，
不妨设 ，则 ，解得 ，
所以 ，所以 ．
【小问 3 详解】
解：在 中，设 ，
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由余弦定理得 ，
因为 为正三角形，所以 ，
在 中，由正弦定理，可得 ，
所以 ， ，
因为 ，
又因为 ，所以 为锐角，则 ，
所以
，
因为 ，所以当 时， ．
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