四川省2024_2025学年高一数学下学期5月月考试题含解析

这是一份四川省2024_2025学年高一数学下学期5月月考试题含解析，共18页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：三角函数、平面向量及其应用、复数.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 一个扇形的弧长为 2，圆心角为 1，则该扇形的面积为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】利用扇形的弧长公式和面积公式即可求解.
【详解】由扇形的弧长公式可得： ，代入弧长为 2，圆心角为 1，可得 ，
再由扇形的面积公式可得： ，
故选：A.
2. 复数 的三角形式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对应象限角的三角函数值及诱导公式，写出复数的三角形式即可求解.
【详解】∵ ， ，
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∴ ， ，故选项 A，C 错误；
∵ ， ，
∴ ， ，故选项 B 正确，选项 D 错误.
故选：B.
3. 已知 三点共线，则 （ ）
A. 10 B. 8 C. 7 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线，结合向量的坐标运算，即可求解.
【详解】由 可得 ，
因为 ，所以 ，
故选：D.
4. 已知 是关于 的方程 的根，则 （ ）
A. －9 B. －1 C. 1 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先由实系数一元二次方程复数根的共轭性，得到方程的另一根为 ，再由韦达定理求出 的
值，即可得解.
【详解】因为关于 的方程 的系数为实数，
且 是方程的根，所以由复数根的共轭性可知另一根为 ，
由韦达定理可知 ，得 ，
，
所以 .
故选：C
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5. 已知 的内角 的对边分别为 ．若 ，则 是（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 等腰三角形
【答案】A
【解析】
【分析】利用余弦定理来求出 ，再利用 ，可判断 为钝角，即可得选项.
详解】由余弦定理代入已知可求得： ，
由于 ，可以得 ，
即 为钝角，则 是钝角三角形,
故选：A.
6. （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用 ，结合两角差 正切公式即可求得答案.
【详解】由于 ，
故 ，
则 ，
故选：A
7. 位于某海域 处的甲船获悉，在其正东方向相距 30 海里的 处有一艘渔船遇险后抛锚等待救援．甲船以
15 海里/小时的速度前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏东 方向的 处的乙船，此时 处的乙船测
得渔船位于自己的北偏东 方向，得到消息的乙船前往救援．若甲、乙两船同时到达救援处，则乙船的速
度为（ ）
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A. 海里/小时 B. 海里/小时
C. 海里/小时 D. 海里/小时
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意作图，利用正弦定理解三角形求 即可得解.
【详解】由题意，如图，
由正弦定理可得 ，
且 ，
所以 ，
因为甲、乙两船同时到达救援处，
所以 ，解得 （海里/小时），
故选：B
8. 如图， 是以 为直径的半圆和 围成的区域内一动点（含边界），若 ，且
，则 的最大值为（ ）
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A. 8 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】C
【解析】
【分析】利用极化恒等式，取中点化数量积为 ，从而转化为动点到定点的最大值问题，然后借助
图形分两类来求最大值，通过比较可产生最大值.
【详解】
取 中点为 ，由 ，
因为 ，所以 ，
若 在 围成的区域内一动点（含边界），当 与 重合时 取到最大值，
,
若 在以 为直径的半圆区域内一动点（含边界），
此时 ，当 P 为直线 OM 与半圆的交点时等号成立，
因为 ，
所以 ，
故 的最大值为 ，
故选：C.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知角 的终边过点 ，则（ ）
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A. 为第二象限角 B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据象限角概念，三角函数的定义逐项判断即可.
【详解】因为角 的终边过点 ，
所以角 为第四象限， ，
， ，
故选：BD
10. 对于任意的复数 ，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】先设出复数的代数形式，再结合复数的模共轭复数及乘法运算逐项判断即可.
【详解】设复数 ，则 ，
，故 A 错误；
，故 B 正确；
,故 C 正确；
，
，故 D 错误；
故选：BC
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11. 已 知 的 内 角 的 对 边 分 别 为 ， 则 的 面 积
，这个公式为海伦公式，是以古希腊数学家海伦的名字命名的．下列结论正
确的是（ ）
A. 若 内切圆的半径为 ，则
B. 若 不是正三角形，则 的面积 满足
C. 的面积
D. 若 ，则 面积的最大值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据内切圆半径与面积的关系计算判断 A，应用余弦定理结合辅助角公式及基本不等式取等条件
判断 B，应用数量积定义计算判断 C，应用海伦公式结合基本不等式判断 D.
【详解】若 内切圆的半径为 ，则
则 ，A 选项正确；
由余弦定理得 ，
且 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，即得 ，
当且仅当 且 时取等号，又因为 不是正三角形，所以不能取等号，所以
，B 选项正确；
因为 ，所以 ，C 选
项错误；
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若 ，则
，
当且仅当 取等号，取 面积的最大值为 ，D 选项正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 复数 的虚部为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，即可判断.
【详解】因为 ，
所以 的虚部为 .
故答案为：
13. 已知 是平面内的两个单位向量，且其夹角为 ，则向量 在向量 上的投影向量的模为__________
．
【答案】 ##
【解析】
【分析】根据投影向量公式结合模长公式及数量积定义计算求解.
【详解】 是平面内的两个单位向量，且其夹角为 ，
则向量 在向量 上的投影向量的模为 ．
故答案为： .
14. 已知函数 满足 恒成立，且 在 上
单调，则 的最大值为__________．
【答案】
【解析】
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【分析】由函数在区间 上单调，求出 的取值范围，再由 得到
，即可求出 的取值集合，从而求出 的最大值.
【详解】因为 在区间 上单调，所以 ，得到 ，
所以 ，解得 ，
又 ，所以 ，
则由 的图象与性质知 ，
所以 ，得到 ，所以 ，
当 ，解得 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知复数 ．
（1）若 ，求 值；
（2）若复数 在复平面内对应的点位于第四象限，求 的取值范围．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】（1）根据复数的除法法则求出 ，由题意列出相应方程，即可求得答案；
（2）求出 的表达式，结合题意列出相应不等式组，即可求得答案.
【小问 1 详解】
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，
因为 ，所以 ，即 ；
【小问 2 详解】
，
复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则 ，
解得 或 .
16. 已知函数 的部分图象如图所示．
（1）求 的解析式；
（2）将 的图象向右平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函
数 的图象，求不等式 在 上的解集．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用图象可看出振幅和周期，再代入最低点可求出初相，最后根据已知的范围可确定参数.
（2）利用平移和伸缩变换可求出 ，再结合范围利用正弦函数图象可求解不等式.
【小问 1 详解】
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由图可得 ，因为 ，即可得 ，
因为 ，由图可得 ，此时 ，
当 时， ，
因为 ，所以 ，故 ；
【小问 2 详解】
将 的图象向右平移 个单位长度，可得 ，
再将所有点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，
则 ，
由 ，可得 ，
因为 ，所以 ，
则满足 可得： 或 ，
解得： 或 ，
故不等式 在 上的解集
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17. 已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求 ；
（2）若 的面积为 12，求 的周长．
【答案】（1）
（2）18
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理、二倍角公式及平方关系求解即可；
（2）由（1）可得 ， ，进而结合三角形的面积公式、余弦定理求出 ，进
而求解即可.
【小问 1 详解】
由 ，根据正弦定理得 ，
则 ，
因为 ， ，则 ， ，
所以 ，即 ，则 ，
所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ， ，
由 ，则 ，
由余弦定理得 ，则 ，
则 ，即 ，
所以 的周长为 .
18. 如图，在等边三角形 中， 是 的中点， ，记
．
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（1）设 ．
（i）用 表示 ；
（ii）求 ．
（2）是否存在 ，使得 ？若存在，求出 ；若不存在，说明理由．
【答案】（1）（i） ， ；（ii）
（2）存在 ，使得
【解析】
【分析】（1）（i）根据平面向量的线性运算求解即可；
（ii）根据平面向量的数量积定义及运算律求解即可；
（2）先表示出 ， ，进而根据平面向量的数量积定义及运算律求解即可.
小问 1 详解】
由 ，则 ，
所以
，
.
由题意， ，
则
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【小问 2 详解】
由
，
，
若 ，则 ，则 ，
则 ，
则 ，
则 ，解得 ，
所以存在 ，使得 .
19. 定 义 ： 函 数 为 向 量 的 “跟 随 函 数 ”， 向 量 为 函 数
的“原向量”．
（1）设函数 的“原向量”分别为 ，若 的夹角为锐角，
求实数 的取值范围．
（2）已知 的内角 的对边分别为 ，其中 平分 并与 交于点 ，
向量 的“跟随函数”为 ，且 ．
（i）若 ，求 的长；
（ii）求 长度的取值范围．
【答案】（1） 且
（2）（i） ；（ii）
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【解析】
【分析】（1）将函数 展开为 形式，确定原向量 和 ，利用向量夹角为锐角的条件(点
积大于 且不共线)求解 的范围；
（2）（i）由 得 ，结合 及 ，结合正弦定理、余弦定理以及三
角形面积公式，解得
（ii）先利用三角函数恒等变换求出 ，结合正弦定理以及三角形面积公式，用 表示
，从而可得 AD 的取值范围.
【小问 1 详解】
所以原向量 ，
因为 ，所以其原向量 ，
因为 的夹角为锐角，
所以 ，
若 共线，则 即 ，故需排除 ，
所以 且 ；
【小问 2 详解】
向量 的“跟随函数”为 ，
所以
由 ，
可得 ，而 ，故
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由 ， ，外接圆半径 ，
边长 ， 。
又 ，
即 ，
因为 平分 ，所以 ，
可得 ，
（i）因为 ，
所以 ，
所以 ；
（ii）
，
因为 ，
所以 ，即 ，
，
因为 ，所以 ，
即 .
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