广东省惠州市惠城区五校2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（解析版）

这是一份广东省惠州市惠城区五校2024-2025学年高一下学期4月联考数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设平面向量，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由有.
故选：D.
2. 若复数满足，则（ ）
A. 2B. C. 1D.
【答案】A
【解析】由有.
故选：A.
3. 已知在中，角的对边分别为，若，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】C
【解析】由正弦定理可得，故.
故选：C.
4. 已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底；
对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底；
对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底；
对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底.
故选：C.
5. 在中，若，则此三角形（ ）
A. 无解B. 有两解
C. 有一解D. 解的个数不确定
【答案】B
【解析】因为，，所以，
因为，所以，所以满足的有两个，所以此三角形有两解.
故选：B.
6. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】因为，所以，，
所以...①，...②，
由①+②得：，即.
故选：B.
7. 已知，，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设为向量，的夹角，因为，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
8. 克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师．托勒密定理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和．已知四边形是圆的内接四边形，且，．若，则圆的半径为（ ）
A. 4B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由托勒密定理，得．
因为，所以．
设圆的半径为，由正弦定理，得．
又，所以．
因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，则，故．
故选：B.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列结论中错误的为（ ）
A. 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同 B. 向量与向量的长度相等
C. 对任意向量，是一个单位向量 D. 零向量没有方向
【答案】ACD
【解析】对于A：由单位向量的定义可知，单位向量是模为1，方向任意，故A错误；
对于B：由相反向量的定义可知向量与向量的长度相等，故B正确；
对于C：当向量时，不满足，故C错误；
对于D：零向量是定义大小为0，方向任意，故D错误.
故选：ACD.
10. 已知是边长为2的等边三角形，若向量，满足，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】因为，，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，则，故C正确；
对于D：，即，故D错误.
故选：AC.
11. 在中，，则（ ）
A. B. 的面积为8
C. D. 内切圆半径是
【答案】ABD
【解析】由，所以，
由余弦定理有：，
所以，故A正确；
由，所以，故B正确；
，故C错误；
设的内切圆半径为，则有，
即，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数为纯虚数，则实数的值为_____________．
【答案】
【解析】由，所以，
因为复数为纯虚数，所以，即.
13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为________.
【答案】
【解析】解法1：因为，所以，
又，所以，
因为点三点共线，所以，解得：.
解法2：因为，设，所以，
因为，所以，
又，所以，
所以，
又，所以，解得：，所以.
14. “大美中国古建筑名塔”榴花塔以红石为基，用青砖灰沙砌筑建成．如图，记榴花塔高为，测量小组选取与塔底在同一水平面内的两个测量点和，现测得m，在点处测得塔顶的仰角为，则塔高为_____________m．
【答案】
【解析】依题意，中，，，即，解得.
在中，，即.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知，向量．
（1）若向量，求向量的坐标；
（2）若向量与向量的夹角为120°，求．
解：（1）由，设，∴，
∵，∴，解得或，
所以或．
（2）∵，，，
∴，
∴，∴．
16. 在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）若，，求的值：
（2）若，判断的形状．
解：（1）由正弦定理，
故，
再由余弦定理得，，
从而.
（2）因为，所以由余弦定理得，
结合得，进而，
所以是等边三角形．
17. 已知，，，是复平面上的四个点，其中，，且向量，对应的复数分别为，．
（1）若，求，；
（2）若，对应的点在复平面内的第二象限，求．
解：（1）由题意可知，所以．
，所以．
又，所以所以
所以，．
（2）由已知可得，，，所以，
又，所以，
解得或（舍），又对应的点在第二象限，所以，
可得，，，
可得．
18. 如图，在菱形中，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
解：（1）因为在菱形中，.
故，
故，所以.
（2）显然，
所以
①，
因为菱形，且，，
故，.
所以.
故①式.
故.
19. 如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为边BC，CD上的点，且.
（1）求∠PAQ的大小；
（2）求面积的最小值；
（3）某同学在探求过程中发现PQ的长也有最小值，结合（2）他猜想“中PQ边上的高为定值”，他的猜想对吗?请说明理由．
解：（1）记，，则．
（1）解法一：∵，∴，，
∴，
∴，
∵正方形ABCD的边长为1，∴，，
在中，，，由，
则，
∴，．
∵，∴．
解法二：．
设，，则．
在中，，即，
．
∵，∴．
（2），．
∴，
∵，∴．
∵，∴当时，面积的最小值为．
（3）设中PQ边上的高为h，
由，得，
．
又∵，∴，
且，∴，
∴，即为定值，该同学猜想正确.