湖南省长沙市2024_2025学年高一数学下学期6月期末试题含解析

这是一份湖南省长沙市2024_2025学年高一数学下学期6月期末试题含解析，共18页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 函数的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可.
【详解】由且.
故选：C
2. 数据，，，，的平均数与众数的差为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出平均数和众数，再求差即可
【详解】解:平均数为，众数为，差为．
故选：B
3. 下列四组函数中与是同一函数是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系均相同时才是同一函数，再逐一判断即可.
【详解】解：对于A，定义域不同，不是同一函数；
对于B，定义域不同，不是同一函数；
对于C，，定义域相同，对应法则也相同，满足题意；
对于D，定义域不同，不是同一函数，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为同一函数，属于基础题.
4. 设复数z满足，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先由条件有，求出复数，再求复数的模.
【详解】由，
则，
所以
故选：D.
5. 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同.假定保鲜时间与储藏温度的关系为（、为常量）.若牛奶在0的冰箱中，保鲜时间约是100h，在5的冰箱中，保鲜时间约是80h，那么在10中的保鲜时间约是（ ）
A. 49hB. 56hC. 64hD. 76h
【答案】C
【解析】
【分析】由题意，建立方程组，结合指数式的运算性质，利用整体思想，可得答案.
详解】由题意，可得，解得，则.
故选：C.
6. 若函数的值域为，则函数的值域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，通过换元法将表示为，然后根据二次函数的性质求解出的值域.
【详解】令，得，，则，
所以，对称轴，开口向上且，所以，
所以函数的值域为.
故选：C.
7. 已知函数，若对于任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据条件将问题转化为“在上恒成立”，再根据求解出的范围.
【详解】因为对于任意，恒成立，所以对恒成立，
所以，，
又因为的对称轴为，所以在上单调递减，
所以，所以，
故选：B.
【点睛】方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法：
（1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；
（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.
8. 在中，若，则的形状是
A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【答案】D
【解析】
【详解】由已知，或，即或，由正弦定理，得，即，即，均为的内角，或或，为等腰三角形或直角三角形，故选D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 某学校为了调查学生在一周生活方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)内的学生有60人，则下列说法正确的是（ ）
A. 样本中支出在[50，60)内的频率为0.03
B. 样本中支出不少于40元的人数为132
C. n的值为200
D. 若该校有2000名学生，则估计有600人支出在[50，60)内
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据频率之和为1即可求解A，进而根据选项即可逐一求解.
【详解】样本中支出在[50，60)内的频率为，所以A错误；
样本容量为＝200，支出在[40，50)内的人数为，
支出不少于40元的人数为，所以B，C正确；
若该校有2000名学生，则估计有人支出在[50，60)内，故D正确．
故选：BCD.
10. 已知定义在上的函数满足：是奇函数，是偶函数.则下列选项中说法正确的有（ ）
A. B. 周期为2
C. 的图象关于直线对称D. 是奇函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知条件可得关于和直线对称，从而的周期，，进而可判ABC，对于D，由于关于和直线对称，可得关于对称，再结合周期可得结论
【详解】由是奇函数，是偶函数，可得关于和直线对称，从而的周期，所以选项错误，选项正确；
对选项：由对称性及奇函数的性质可知正确；
对选项：有已知关于和直线对称，从而关于对称，
又因为的周期，可得关于对称，所以是奇函数，D正确，
故选：ACD.
11. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为底面ABCD的中心，P为棱A1D1上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. CM与PN是异面直线
B.
C. 过P，A，C三点的正方体的截面一定不是等腰梯形
D. 平面PAN⊥平面BDD1B1
【答案】BD
【解析】
【分析】连接，因为点，平面可得平面，因为点， 平面可得平面可判断A；
以为原点，所在的直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，
设，求出，，配方后可判断B；
取的中点，可得四边形是梯形，由，
可判断C；
由线面垂直的判断定理可得底面，再由面面垂直的判断定理可判断D.
【详解】
如上图，连接，因为点， 平面，所以点在平面，即平面，因为点， 平面，所以点在平面，即平面，
即不是异面直线，故A错误；
如上图，以为原点，所在的直线分别为的正方向建立空间直角坐标系，
设，则，，
所以，，
，，
所以，
因为，所以，
即，故B正确；
如上图，取的中点，连接，则，，
所以四边形是梯形，
因为，所以，
所以此时四边形是等腰梯形，故C错误；
如上图，因为底面是正方形，所以，
因为底面，所以，因为，
所以平面，且平面，所以平面平面，
即平面平面，故D正确.
故选：BD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知，若为纯虚数，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据条件，得到，再利用模长的计算公式，即可求解.
【详解】由为纯虚数，得，解得，
所以，则，
故答案为：.
13. 已知四棱锥的底面为矩形，，
则其外接球的表面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据勾股定理和它的逆定理，结合球的表面积公式进行求解即可.
【详解】如图取中点，底面中心为，外接球的球心为，则底面，
由因为，
所以，，
即，，，
因此有，，
，
设球的半径为，．
在直角梯形中，
在直角中，
联立得，即，故球的表面积为.
故答案：
14. 已知圆的半径为2，弦长，为圆上一动点，则的最大值为______.
【答案】6
【解析】
【分析】取的中点，连接，，计算，求出，得出的最大值，即可得出的最大值．
【详解】取的中点，连接，，，如图所示：
因为为中点，所以，
所以，
因为，所以最大值为；
所以的最大值为.
故答案为：6．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量（单位：），并绘制频率分布直方图如下：
（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数、中位数和平均数；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）
（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能90%地满足顾客的需求（在10天中，大约有9天可以满足顾客的需求）.请问每天应该进多少千克苹果？
【答案】（1）众数为85，中位数89.375，平均数89.75；（2）102.5千克.
【解析】
【分析】（1）根据图中最高矩形可求众数，利用频率是0.5可求中位数，利用区间中点的值和频率可求平均数；
（2）先确定进货量的范围，结合能90%地满足顾客的需求，可求结果.
【详解】（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，
中位数设为x，则，可得.
平均数为：

（2）日销量[60，100)的频率为，日销售量[60，110)的频率为，
故所求的量位于
由得
故每天应该进102.5千克苹果
16. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）若，，求的值；
（2）若，且的面积，求a和b的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出，利用余弦定理即可求解；
（2）由三角恒等变换和正弦定理得到，结合求出，由三角形面积得到方程，求出，从而求出a和b的值.
【小问1详解】
，，，故，
由余弦定理得；
【小问2详解】
，由半角公式得
，
即，
即，，
，
由正弦定理得，
因为，所以，解得，故，
的面积，故，
联立与得.
17. 《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，平面，，四边形中，，，，．
（1）证明：四面体为鳖臑；
（2）求点C到平面的距离．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由余弦定理和勾股定理及逆定理得到⊥，为直角三角形，由题目条件得到⊥平面，⊥，为直角三角形，结合为直角三角形，得到结论；
（2）由等体积法进行求解，得到点C到平面的距离.
【小问1详解】
四边形中，，，，，
由勾股定理得，且，
故.
在中，由余弦定理得，
故，由勾股定理逆定理得⊥，为直角三角形.
因为平面，，故平面，
因为平面，所以，
又因为，平面，所以⊥平面，
又因为平面，所以⊥，
故为直角三角形.
因为平面，平面，所以，，
所以为直角三角形.
综上，四面体为鳖臑；
【小问2详解】
，
因为平面，且，所以，
由（1）知⊥，在中，由勾股定理得，
所以，
设点C到平面的距离为，其中，
所以，点C到平面的距离为.
18. 已知中，，，，点D在边BC上且满足.

（1）用、表示，并求；
（2）若点E为边AB中点，求与夹角的余弦值.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解，
（2）由向量的线性运算表示向量，由数量积，利用夹角公式即可求解.
【小问1详解】
，
所以,
【小问2详解】
易知,
所以,
又,
所以,
19. 如图，在五棱锥中，平面平面，，．四边形为矩形，且，，．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值；
（3）求直线与平面所成角的正弦值的最小值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直，得到线面垂直，⊥，结合得到线面垂直；
（2）作出辅助线，找到即为二面角的平面角，由勾股定理和余弦定理求出各边，最后由余弦定理求出二面角的余弦值；
（3）设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，则，要想直线与平面所成角的正弦值的最小，则最小即可，设，由等体积法和余弦定理，面积公式得到，从而求出的最小值，得到正弦的最小值.
【小问1详解】
平面平面，交线为，又，平面，
所以⊥平面，
又平面，所以⊥，
因为，，平面，
故⊥平面；
【小问2详解】
，，，
由勾股定理得，
平面，平面，
所以，
因为，，由勾股定理得，
过点作⊥于点，则，
故，
过点作⊥，交于点，连接，
故即为二面角的平面角，
由勾股定理得，
又，
由余弦定理得，故，
在Rt中，，即，解得，
故，
在Rt中，，
由余弦定理得，
故，
在中，由余弦定理得，
故二面角的余弦值为；
【小问3详解】
连接，因为，，所以，
又，⊥，由勾股定理得，
设点到平面的距离为，直线与平面所成角大小为，
则，
要想直线与平面所成角正弦值的最小，则最小即可，
，
由（1）得平面，故，
设，则，，
故，
在中，由余弦定理得
，
故，
则，
因，所以，
故，
当时，取得最小值，最小值为，
故直线与平面所成角的正弦值的最小值为.
【点睛】方法点睛：立体几何二面角求解方法：
（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.