湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷（含答案解析）

这是一份湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷（含答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则中元素的个数为（ ）
2. 若复数，则（ ）
3. 函数的最小正周期是（ ）
4. 若是夹角为的单位向量，则与的夹角为（ ）
5. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（ ）
6. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ）
7. 已知的内角所对的边分别为，，则的面积为（ ）
8. 已知函数在区间上的最大值为，则当取到最小值时，（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ）
10. 双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，则下列说法正确的是（ ）
11. 古希腊数学家托勒密（Ptlemy85—165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表．托勒密用圆的半径的作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角所对的弦长记为．例如180°圆心角所对弦长等于直径，即120个度量单位，所以．则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若指数函数满足，则_____．
13. 从编号的15张卡片中依次不放回地抽出两张，记事件：“第一次抽到数字为5的倍数”，事件：“第二次抽到的数字小于第一次”，则_____．
14. 已知是抛物线的焦点，是上不同的两点，为坐标原点，若，垂足为，则面积的最大值为_____．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示．
(1)根据所给数据，完成上面的列联表；
(2)依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？
(3)电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，用按比例分配的分层随机抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为，求的分布列及数学期望．
附：．
16. 已知函数，设曲线在点处的切线与轴的交点为，且．
(1)用表示；
(2)若，记，证明数列是等比数列，并求数列的通项公式．
17. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值的取值范围．
18. 已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上、下顶点，为坐标原点，直线与椭圆交于不同的两点.
(1)设点为线段的中点，证明：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)若，证明：直线与直线的交点在定直线上.
19. 已知函数．
(1)若在处的切线为，求的值；
(2)当时，求在上的零点个数；
(3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由．
湖南省长沙市湖南师范大学附属中学2025届高三下学期模拟（一）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、三角函数与解三角形、平面向量、平面解析几何、函数与导数、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．3
B．2
C．1
D．0
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．36
D．27
A．7
B．
C．9
D．
A．圆的半径
B．直线与圆相交
C．直线不可能将圆的周长平分
D．直线被圆截得的最短弦长为
A．双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数
B．
C．函数的值域为
D．
A．crd
B．若，则
C．
D．crd
性别
评价
合计
喜欢
不喜欢
男性
15
女性
合计
50
100
0.010
0.005
0.001
6.635
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
3
适中
10
较难
3
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
列举法求集合中元素的个数；描述法表示集合
2
0.94
求复数的模；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.85
求正弦（型）函数的最小正周期
4
0.65
数量积的运算律；向量夹角的计算；用定义求向量的数量积
5
0.85
已知方程求双曲线的渐近线
6
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；多面体与球体内切外接问题；锥体体积的有关计算
7
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；已知正（余）弦求余（正）弦；二倍角的正弦公式
8
0.4
函数图象的应用；已知切线（斜率）求参数
二、多选题
9
0.65
判断直线与圆的位置关系；圆的弦长与中点弦；直线过定点问题；求平面两点间的距离
10
0.4
求指数型复合函数的值域；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数奇偶性的定义与判断；指数幂的运算
11
0.65
特殊角的三角函数值；辅助角公式；弧长的有关计算
三、填空题
12
0.85
求函数值；求指数函数解析式
13
0.65
分类加法计数原理；计算条件概率；计算古典概型问题的概率
14
0.65
抛物线中的三角形或四边形面积问题；根据韦达定理求参数；利用向量垂直求参数
四、解答题
15
0.65
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；完善列联表；独立性检验解决实际问题
16
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；由递推关系证明等比数列
17
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；利用函数单调性求最值或值域；根据解析式直接判断函数的单调性
18
0.4
椭圆中的定值问题；椭圆中的定直线；根据a、b、c求椭圆标准方程；根据韦达定理求参数
19
0.15
根据函数零点的个数求参数范围；已知切线（斜率）求参数；利用导数研究函数的零点；求函数零点或方程根的个数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
三角函数与解三角形
3,7,11
4
平面向量
4,14
5
平面解析几何
5,9,14,18
6
函数与导数
6,8,10,12,16,17,19
7
空间向量与立体几何
6,17
8
计数原理与概率统计
13,15
9
数列
16