上海市青浦区2024-2025学年高三下学期学业质量调研数学试题（含答案解析）

这是一份上海市青浦区2024-2025学年高三下学期学业质量调研数学试题（含答案解析），共14页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 已知集合，则________.
2. 函数的值域是________.
3. 的二项展开式中项的系数是20，则实数的值是___________.
4. 如图是6株果树植株挂果个数（两位数）的茎叶图，则6株果数植株挂果个数的中位数为______.
5. 向量在向量方向上的数量投影是_________.
6. 已知的角对应边长分别为，则__________.
7. 数列中，，，则______．
8. 已知随机变量，若，则_______.
9. 已知复数满足（i是虚数单位），则的最大值是_________.
10. 已知点是抛物线上一动点，点在圆上运动，则与两点间最短距离为________.
11. 道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足.
该城市道路通行能力的最大值约为_________.（结果保留整数）
12. 如图，正方体绕直线旋转，直线AB旋转至直线，则直线AB与直线所成角的大小为_________.
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. “函数y=sin(x＋φ)为偶函数”是“φ＝”的
14. 若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（ ）
15. 一个质地均匀的正四面体，四个面上分别标有数字，，，.任意掷一次该四面体，观察它与地面接触面上的数字，得到样本空间，记事件，事件，事件，则（ ）
16. 数学上用符号表示个实数的积.设，为互不相同的实数，已知，则（ ）.
三、解答题(本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分)
17. 对于函数，其中.
(1)若函数的图像过点，求的解集；
(2)求证：当时，存在使得成等差数列.
18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，.
(1)求证：平面BDS；
(2)若，求四棱锥的体积.
19. 如图，椭圆与双曲线在第一象限的公共点为.曲线由两段曲线组成：当时，曲线与椭圆重合，当时，曲线与双曲线重合.
(1)当时，求的值；
(2)已知，直线过点与曲线交于两点，若，求直线的方程；
(3)已知，斜率为的直线过点与曲线交于两点，若，求实数的最大值.
20. 函数的导函数有很多有趣的性质，例如：函数（实数c为常数）的导函数为；反之，若函数的导函数为，则（实数为常数）.已知函数与定义域都是，导函数分别为和.若，则称是“自导函数”；落且，则称与是“共轭互导函数”.
(1)请判断函数是否是“自导函数”，并说明理由；
(2)若函数是“自导函数”，且满足，求证：；
(3)若函数与是“共轭互导函数”，满足，求证：.进而证明且.
上海市青浦区2024-2025学年高三下学期学业质量调研数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面向量、数列、复数、平面解析几何、函数与导数、等式与不等式、空间向量与立体几何、竞赛知识点
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．事件两两独立，事件相互独立
B．事件两两独立，事件不相互独立
C．事件不两两独立，事件相互独立
D．事件不两两独立，事件不相互独立
A．
B．2025
C．
D．2026
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
4
难度
题数
容易
3
较易
8
适中
7
较难
1
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.85
求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式
3
0.65
由项的系数确定参数
4
0.94
由茎叶图计算中位数
5
0.85
数量积的坐标表示
6
0.85
余弦定理解三角形
7
0.85
无穷等比数列各项的和
8
0.85
指定区间的概率
9
0.65
求复数的模；与复数模相关的轨迹（图形）问题
10
0.85
抛物线上的点到定点的距离及最值
11
0.65
利用给定函数模型解决实际问题；基本（均值）不等式的应用
12
0.85
由旋转体找出其旋转图形；求异面直线所成的角；反三角函数
二、单选题
13
0.94
判断命题的必要不充分条件；由正弦（型）函数的奇偶性求参数
14
0.65
对数的运算性质的应用；对数函数单调性的应用；比较指数幂的大小；比较对数式的大小
15
0.85
独立事件的判断；独立事件的乘法公式
16
0.4
其他
三、解答题
17
0.65
等差中项的应用；根据函数的单调性解不等式；对数的运算性质的应用；求对数函数的解析式
18
0.65
锥体体积的有关计算；证明线面垂直
19
0.15
数量积的坐标表示；根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；用导数判断或证明已知函数的单调性；根据椭圆过的点求标准方程
20
0.65
导数的运算法则；函数新定义；基本初等函数的导数公式；简单复合函数的导数
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,13
2
三角函数与解三角形
2,6,12,13
3
计数原理与概率统计
3,4,8,15
4
平面向量
5,19
5
数列
7,17
6
复数
9
7
平面解析几何
10,19
8
函数与导数
11,14,17,19,20
9
等式与不等式
11
10
空间向量与立体几何
12,18
11
竞赛知识点
16