内蒙古自治区赤峰市红山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份内蒙古自治区赤峰市红山区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A．，可化简，不是最简二次根式；
B．，可化简，不是最简二次根式；
C．，可化简，不是最简二次根式；
D．的被开方数2不含平方因数，无法再化简，是最简二次根式．
故选：D．
2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A. 3，4，5B. 4，5，6
C. 7，8，9D. 8，9，10
【答案】A
【解析】A. 由于，故是勾股数；
B.由于，故不是勾股数；
C.由于，故不是勾股数；
D.由于，故不是勾股数；
故选：A．
3. 下列判断正确的是（ ）
A. 一组对边平行且对角线相等的四边形是矩形
B. 四个内角都相等的四边形是菱形
C. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D. 四条边都相等的四边形是正方形
【答案】C
【解析】一组对边平行且对角线相等的四边形不是矩形，A错误，故不符合要求；
四个内角都相等的四边形是矩形，B错误，故不符合要求；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形，C正确，故符合要求；
四条边都相等的四边形是菱形，D错误，故不符合要求；
故选：C．
4. 下表记录了四位射击运动员选拔比赛成绩的平均数和方差：
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（ ）
A 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】D
【解析】∵乙和丁的平均数较大，
∴从乙和丁中选择一人参加竞赛，
∵丁方差较小，
∴选择丁参加比赛，
故选：D．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A、，故选项错误，不符合题意；
B、，故选项错误，不符合题意；
C、，故选项错误，不符合题意；
D、，故选项正确，符合题意．
故选：D．
6. 下列有关一次函数的说法中，错误的是（ ）
A. y的值随着x增大而减小
B. 当时，
C. 函数图象与y轴的交点坐标为
D. 函数图象经过第一、二、四象限
【答案】B
【解析】A、∵，∴y的值随着x增大而减小，正确，不符合题意；
B、∵时，，又∵y的值随着x增大而减小，
∴当时，，原说法错误，符合题意；
C、∵当时，，∴函数图象与y轴的交点坐标为，正确，不符合题意；
D、∵，∴函数图象经过第一、二、四象限，正确，不符合题意．
故选B．
7. 如图，已知菱形的面积为分别为的中点，若的长为4，对角线的长为（ ）
A. 12B. 18C. 24D. 48
【答案】C
【解析】连接，
∵分别为的中点，的长为4，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
∴；
故选：C．
8. 甲、乙两名同学骑自行车从A地出发沿同一条路前往B地，他们离A地的距离s（km）与甲离开A地的时间t（h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图象提供的信息，有下列说法：①甲、乙同学都骑行了18km；②甲、乙同学同时到达B地；③甲停留前、后的骑行速度相同；④乙的骑行速度是；其中正确的说法是（ ）
A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③
【答案】B
【解析】①根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了18km，故原说法正确；
②从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.5小时，故原说法错误；
③休息前直线上升得快，休息后直线上升得慢，故休息前的速度大于休息后的速度，故原说法错误；
④乙行完全程需用时2-0.5=1.5时，故其速度为：18÷1.5=12km/h，故原说法正确.
故选：B.
9. 如图，在中，为边上一动点，于于，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】连接，
如图所示，
∵，
∴，
∴，则是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，取得最小值，即取得最小值，
∴，
故选：C．
10. 如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（ ）
A. 1B. 1.3C. 1.5D. 2
【答案】D
【解析】如图，延长至点M，使，连接．
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，．
又∵，∴是等边三角形，
∴．
∵，，
∴．
∵．∴．
故选：D．
二、填空题
11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____．
【答案】
【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，
要使在实数范围内有意义，必须，
∴．
故答案为：
12. 一次函数的图象如图，则化简的结果为________．
【答案】
【解析】由题图可知，
所以，
所以．
故答案为：．
13. “赵爽弦图”巧妙的利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是______．
【答案】
【解析】如图所示，大正方形的面积是169，
∴，
解得，（负值舍去），
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，直角三角形的长直角边是12，
∴，
∴，
∴，
∴小正方形的面积是，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若，，则的长为________．
【答案】
【解析】∵，
∴是的中点．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
在中，，．
，
故答案为：．
15. 在同一直角坐标系中，一次函数的图象如图所示，则方程组的解为________．
【答案】
【解析】当时，，解得，
∴交点坐标为，
∴方程组的解为，
故答案为：．
16. 如图，在边长为7的正方形中，连接，点E，F分别在，上，，垂足为点F，，则的长为________．
【答案】
【解析】连接，过点F作于点H，如图所示：
∵四边形是正方形，且边长为7，点F是的对角线的点，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴设，
在中，，
∵，
∴，
∵是的外角，
∴，
∴，
∴，
即是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：．
故答案为：．
三、解答题
17. 计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
18. 为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地，如图所示的四边形进行改建，将四边形全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板，已知运动型塑胶地板每平方米200元．经测量．
（1）求、两点之间的距离．
（2）求购买运动型塑胶地板的费用．
解：（1）如图，连接，
∵，
∴，
答：、两点之间的距离．
（2）如图，连接，
由（1）已得：，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴四边形的面积为
，
∵运动型塑胶地板每平方米200元，
∴购买运动型塑胶地板的费用为（元），
答：购买运动型塑胶地板的费用为22800元．
19. 随着科技的发展，人工智能渐渐走进了人们的生活，大大提高了工作效率、某科技公司推出甲、乙两款人工智能学习辅导软件，相关人员在某学校开展对甲、乙两款人工智能学习辅导软件使用满意度评分调查．测试成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，并整理绘制成如下尚不完整的统计图表．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）将甲软件测试得分统计图补充完整；
（2） ， ， ；
（3）根据以上信息，你愿意选择哪种人工智能学习软件？并说明理由．
（4）本次调查中，若有1200名学生对甲款人工智能学习辅导软件进行了评分，有1000名学生对乙款人工智能学习辅导软件进行了评分，请你估计其中对甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数．
解：（1）相关人员随机抽取甲、乙两款学习辅导软件各25份得分数据，
∴甲软件测试得分中，C级人数有：，
甲软件测试得分统计图如下图为所求：
（2）甲软件测试分数如下：7，8，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，10，10，10，10，10，10，那么中位数为：9，
，
由乙软件测试得分统计图，等级占比：，
，
等级占比最多，
乙软件众数为：9，
．
故答案为：，，；
（3）会选择甲种人工智能学习软件，理由如下；
甲、乙两种人工智能学习软件的中位数相同，但是甲种人工智能软件的平均数和众数都要大于乙种人工智能软件对应的平均数和众数，
∴会选择甲种人工智能学习软件；
（4）对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级占比为：，
对甲款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人），
对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级的人占比为，
对乙款人工智能学习辅导软件评分为A等级人数为：（人），
评分为A等级的总人数为：（人）．
答：估计甲、乙两款人工智能学习辅导软件测试评分为A等级的学生总人数800人．
20. 如图，菱形的对角线相交于点O，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求四边形的周长．
解：（1）四边形是矩形，理由如下：
，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是菱形，
，则．
∴四边形是矩形；
（2）∵四边形是菱形，
，．
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形的周长为．
21. 2025年贺岁片《哪吒2・魔童闹海》通过一个热血激昂的神话故事，向观众传递出积极向上、永不言败的价值观，是中国动画电影走向世界的标杆．某商店销售，两款哪吒变脸摆件，每件款摆件的利润比每件款摆件的利润多2元，销售20件款摆件和销售30件款摆件的利润是440元．
（1）求，两款摆件每个的利润分别是多少？
（2）若该商店计划购进，两款摆件共200个进行销售，且款摆件的数量不超过款摆件数量的，商店购进，两款摆件各多少个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设每件款摆件的利润为元，
则每件款摆件的利润元，
由题意得：，
解得：，
则，
答：每件款摆件的利润为8元，每件款摆件的利润10元；
（2）设商店购进款摆件个，则购进款摆件个，
由题意得：，
解得：，
设利润为元，
则，
∵，
∴随着的增大而增大，
∴当时，利润最大为：（元），
此时（个），
答：商店购进A摆件80个，购进款摆件120个，才能使销售完这200个摆件获得最大利润，最大利润是1760元．
22. 【问题情境】数学课上老师出示了这样一道题：在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位长度，求平移后直线的函数解析式．
小雯利用直线上下平移的规律“上加下减”得平移后直线的函数表达式为；
小谢认为平移前后直线中的“k”值不变，只要求出b的值即可．他的方法是：在原直线上任意找一点，如点，先把点A按要求平移，得到相应的对应点，再用待定系数法求过点的直线的函数解析式．
在分享交流中，老师肯定了他们的做法．小雯很感兴趣，又继续进行了以下探究：
【解决问题】
（1）小雯用小谢的方法尝试解决老师给出的问题：将点向上平移3个单位长度后的对应点的坐标为 ，利用待定系数法求得过点的直线的函数解析式为 .
（2）小雯提出了一个新的问题，请同学们用以上方法解答，将直线向左平移3个单位长度，平移后直线的函数解析式为 ，利用上下平移的规律，将直线
向 （填“上”或“下”）平移 个单位长度也能得到这条直线；
拓展应用】
（3）如果直线与直线关于y轴对称，求这条直线的函数解析式．
解：（1）点向上平移 3 个单位后的点的坐标为，
设平移后的直线解析式为，
代入得，则，
所以过点的直线的解析式为；
故答案为：；
（2）可设平移后的直线解析式为，
∵原直线经过点，
∴点向左平移3个单位后点，
代入新直线解析式得：，
，
∴平移后直线的解析式为：，
由（1）可知，另外直接将直线向下平移 6 个单位也能得到直线；
故答案为：，下，6；
（3）当时，，直线与轴的交点坐标为，
当时，，解得，直线与轴的交点坐标为，
点关于轴的对应点的坐标分别为，
把分别代入得，，
解得，
∴直线的表达式为．
23. 如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=﹣x+b交y轴于A（0，1），交x轴于点B．过点E（1，0）作x轴的垂线EF交AB于点D，P是直线EF上一动点，且在点D的上方，设P（1，n）．
（1）直线AB的表达式为__________________；
（2）①求△ABP的面积（用含n的代数式表示）；
②当S△ABP=2时，求点P坐标；
③在②的条件下，以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，请直接写出点C的坐标．
解：（1）∵y=-x+b经过A（0，1），
∴b=1，
∴直线AB的解析式是y=-x+1；
故答案y=-x+1；
（2）①过点A作AM⊥PD，垂足为M，则有AM=1，
∵x=1时，y=-x+1=，P在点D的上方，
∴PD=n-，S△APD=PD•AM=×1×（n−）=n−，
由点B（3，0），可知点B到直线x=1的距离为2，
即△BDP的边PD上的高长为2，
∴S△BPD=PD×2=n-，
∴S△PAB=S△APD+S△BPD=n-+n-=n-1；
②当S△ABP=2时，n-1=2，
解得n=2，
∴点P（1，2）．
③∵E（1，0），
∴PE=BE=2，
∴∠EPB=∠EBP=45°．
第1种情况，如图1，∠CPB=90°，BP=PC，
过点C作CN⊥直线x=1于点N．
∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，
∴∠NPC=∠EPB=45°，
在△CNP与△BEP中，，
∴△CNP≌△BEP，
∴PN=NC=EB=PE=2，
∴NE=NP+PE=2+2=4，
∴C（3，4）．
第2种情况，如图2，∠PBC=90°，BP=BC，
过点C作CF⊥x轴于点F．
∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，
∴∠CBF=∠PBE=45°，
在△CBP与△PBE中，，
∴△CBF≌△PBE．
∴BF=CF=PE=EB=2，
∴OF=OB+BF=3+2=5，∴C（5，2）．
第3种情况，如图3，∠PCB=90°，CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP=45°，
∵∠EPB=∠EBP=45°，
∴∠PCB=∠CBE=∠EPC=90°，
∴四边形EBCP为矩形，
∵CP=CB，∴四边形EBCP为正方形，
∴PC=CB=PE=EB=2，∴C（3，2）．
∴以PB为边在第一象限作等腰直角三角形BPC，点C的坐标是（3，4）或（5，2）或（3，2）．运动员
甲
乙
丙
丁
平均数（环）
方差（环）

平均数
中位数
众数
甲软件测试得分
9
b
10
乙软件测试得分
8.96
9
c