黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题（含答案解析）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
2. 已知空间中不过同一点的三条直线，则“共面”的一个充分不必要条件是（ ）
3. 已知全集，若，则下列说法正确的是（ ）
4. 在中，角所对的边分别为，若，，则的面积为（ ）
5. 已知点在幂函数的图象上，设，，，则（ ）
6. 已知为坐标原点，在扇形中，为劣弧的中点，则（ ）
7. 有一组样本数据为，3，7，8，9，11，在其中添加一个数构成一组新的样本数据，若，则新旧样本数据的下四分位数相等的概率为（ ）
8. 已知是函数的零点，是函数的零点，则的值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的数字图形（见下图），即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就．在杨辉三角中，第行的所有数字之和为，若去除所有为1的项，依次构成数列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，⋯，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
11. 已知为坐标原点，椭圆的方程：，其左右焦点为，离心率为，过左焦点的直线与椭圆交于两点，是的中点（是异于长轴端点的点），在中，记，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知“渐升数”是指每一位数字比其左边的数字大的正整数（如236，567），则比423大的三位“渐升数”共有______个．
13. 已知是拋物线的焦点，是抛物线上的点，为坐标原点，当时，则的面积为______．
14. 已知四面体中，，则此四面体的体积为______，若用平行于的平面截此四面体，得到截面四边形，则此四边形的对角线的最小值为______．

四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列满足，数列为各项均为正数的等比数列，且满足
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列的前项和为，若______．
下面三个条件中任选一个，补充在上面横线中．
记数列满足求数列的前20项和．
注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
16. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，且，，为边长为2的等边三角形．
(1)求证：平面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
17. 已知函数
(1)若，讨论函数在的单调性；
(2)若，求证：．
(3)若在上有唯一的零点，求实数的最小值．
18. 已知双曲线过点，且与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴于两点．
(1)当点运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；如果推广到双曲线，你能得到什么相应的结论？（只需写出结论，不需要证明）
(2)是双曲线上的两个不相同的点，若直线的斜率之和为0，证明：（点不与原点重合）
19. 泊松分布是一种离散型概率分布，常用于描述在固定时间或空间内某事件发生的次数，广泛应用于通信，交通，生物学，金融和质量控制等领域．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则其概率分布为
．
(1)当时，泊松分布可以用正态分布来近似；当时，泊松分布基本上就等于正态分布，此时可认．若，估计的值；
(2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率为，各芯片是否为次品相互独立，以记产品中的次品数．
①若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；
②若，求在1000个产品中至少有2个次品的概率；
通过①，②的计算结果，你发现了什么规律；
(3)若，且，在保留小数点后一位的时候，求证：的最大值为0.1．
参考数据：若，则，
，，
，，
黑龙江省齐齐哈尔市2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、函数与导数、平面向量、计数原理与概率统计、数列、竞赛知识点、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．，且
B．，且
C．，且
D．两两相交
A．，且
B．，且
C．，且
D．，且
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．e
A．
B．
C．第项为
D．从杨辉三角的图中抽取一斜线的数列1，3，6，10，15，…，得到其倒数和，则
A．若有两个极值点
B．的对称中心为
C．过平面内一点作的切线最多有三条
D．有三个不同的根，则
A．
B．
C．与椭圆切于点的切线方程为
D．若直线的斜率存在，则
①；
②成等差数列；
③成等比数列．
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
11
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
判断复数对应的点所在的象限；复数代数形式的乘法运算
2
0.85
判断命题的充分不必要条件；空间中的点（线）共面问题
3
0.94
利用Venn图求集合；交并补混合运算
4
0.85
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
5
0.65
比较函数值的大小关系；比较指数幂的大小；根据函数是幂函数求参数值；比较对数式的大小
6
0.65
二倍角的余弦公式；数量积的坐标表示；坐标计算向量的模
7
0.65
计算古典概型问题的概率；总体百分位数的估计
8
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究函数的零点
二、多选题
9
0.4
裂项相消法求和；杨辉三角；求等比数列前n项和；分组（并项）法求和
10
0.65
求过一点的切线方程；由函数对称性求函数值或参数；韦达定理；函数极值点的辨析
11
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求椭圆的切线方程；根据韦达定理求参数；椭圆中焦点三角形的面积问题
三、填空题
12
0.85
分类加法计数原理
13
0.85
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程；抛物线中的三角形或四边形面积问题
14
0.65
锥体体积的有关计算；线面平行的性质
四、解答题
15
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；分组（并项）法求和；等比数列通项公式的基本量计算
16
0.65
证明线面垂直；线面角的向量求法
17
0.65
利用导数证明不等式；利用导数研究函数的零点；用导数判断或证明已知函数的单调性
18
0.4
求平面轨迹方程；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
19
0.65
独立重复试验的概率问题；指定区间的概率；用导数判断或证明已知函数的单调性
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2,3
3
空间向量与立体几何
2,14,16
4
三角函数与解三角形
4,6
5
函数与导数
5,8,10,17,19
6
平面向量
6
7
计数原理与概率统计
7,9,12,19
8
数列
9,15
9
竞赛知识点
10
10
平面解析几何
11,13,18