吉林省延边州延吉市第一高级中学2024-2025学年高三下第三次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知复数在复平面内对应的点为，则在复平面内对应的点为（ ）
2. 已知命题；命题，则（ ）
3. 已知为等差数列的前项和，若，且，则（ ）
4. 某学校为了拓展学生的国际视野，培养学生的创新精神，让学生学有动力，学有信心，举办了英语手抄报比赛.为了解考生的成绩情况，抽取了样本容量为的部分考生成绩，得到如图所示的频率分布直方图，则估计考生成绩的第70百分位数为（ ）
5. 已知函数的最小正周期为，若将的图象向右平移个单位长度后所得的图象与曲线关于对称，则（ ）
6. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（ ）
7. 记函数的零点分别为，则（ ）
8. 设函数，若，则的最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列正方体的平面展开图中，满足在该正方体中的是（ ）
10. 设双曲线的左，右焦点分别为，，且，为上关于原点中心对称的两点，则（ ）
11. 设函数，若，且，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 在菱形中，为边的中点，若，则__________.
13. 已知，且为钝角，则__________.
14. 已知数列满足，且对任意，有递推关系式：，定义数列为，则__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 记的内角的对边分别为，已知.
(1)求；
(2)若为边的中点，且满足，求.
16. 已知函数，其中.
(1)若曲线在点处的切线与直线垂直，且，求的值；
(2)若函数在区间上存在极大值，求的取值范围.
17. 如图，在多面体中，是边长为2的等边三角形，平面，，，，，设为的中点．
(1)证明：平面；
(2)设为棱上的动点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
18. 有一摸球游戏如下：盒子中有红､黄､绿三种颜色的球各3个，球除颜色外其他均相同，两人摸球，规定每人一次从盒中摸3个球，第二人从第一人摸球后剩余的6个球中再摸3个球.记每个人摸到的3个球中颜色相同的球的最大数量为其得分，规定得分高者获胜.现有甲､乙二人参与此摸球游戏，记甲､乙的得分分别为.
(1)若甲先摸球，求的分布列及其数学期望；
(2)在甲先摸球的情况下，分别计算甲获胜的概率和乙获胜的概率，并判断参赛者获胜的概率是否受摸球先后顺序的影响.
19. 已知经过定点的动圆与直线相切，记圆心的轨迹为曲线，直线与曲线交于不同的两点，以分别为切点作曲线的切线与的交点为.
(1)求点的轨迹方程；
(2)设点，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，连接，分别与曲线的另一个交点为，直线与轴相交于，已知.
（i）求数列的通项；
（ii）已知为数列的前项和，求使不等式成立时，的最小值.
吉林省延边州延吉市第一高级中学2024-2025学年高三第三次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、函数与导数、数列、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何、等式与不等式、平面向量
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．和都是真命题
B．和都是真命题
C．和都是真命题
D．和都是真命题
A．2025
B．
C．1
D．
A．74
B．75
C．76
D．77
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．的实轴长为
B．
C．若，则直线的斜率为
D．若，则
A．实数的取值范围为
B．
C．
D．当时，
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
8
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
复数代数形式的乘法运算；复数的坐标表示
2
0.85
判断命题的真假；求对数函数的定义域；求指数（型)函数的定义域
3
0.85
求等差数列前n项和；利用等差数列的性质计算
4
0.85
总体百分位数的估计
5
0.65
利用正弦函数的对称性求参数；求图象变化前（后）的解析式；求正弦（型）函数的最小正周期
6
0.65
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；余弦定理解三角形
7
0.65
判断指数函数的单调性；根据指对幂函数零点的分布求参数范围；指数式与对数式的互化
8
0.65
利用导数研究不等式恒成立问题
二、多选题
9
0.85
求异面直线所成的角；线面垂直证明线线垂直
10
0.85
利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
11
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；用导数判断或证明已知函数的单调性；求已知函数的极值；基本不等式求积的最大值
三、填空题
12
0.85
平面向量数量积的几何意义；数量积的运算律
13
0.85
用和、差角的正切公式化简、求值；已知三角函数值求角
14
0.65
由递推关系式求通项公式
四、解答题
15
0.65
正弦定理解三角形；正弦定理边角互化的应用
16
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；根据极值求参数；已知直线垂直求参数
17
0.4
证明线面垂直；线面角的向量求法
18
0.65
求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；写出简单离散型随机变量分布列；计算条件概率
19
0.15
直线与抛物线交点相关问题；数列不等式能成立（有解）问题；写出等比数列的通项公式；轨迹问题——直线
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
函数与导数
2,7,8,11,16
4
数列
3,14,19
5
计数原理与概率统计
4,18
6
三角函数与解三角形
5,6,13,15
7
平面解析几何
6,10,16,19
8
空间向量与立体几何
9,17
9
等式与不等式
11
10
平面向量
12