吉林省吉林地区普通高中2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题

这是一份吉林省吉林地区普通高中2024届高三下学期第三次模拟考试数学试题，共6页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷的注释
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。(共8题；共40分)
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限
2. 已知若 ， 则实数的值为（ ）
A . 1 B . 4 C . 1或4 D . 2
3. 已知随机变量 ， 且 ， 则（ ）
A . 0.2 B . 0.3 C . 0.7 D . 0.8
4. 若互不相等的正数满足 ， 则（ ）
A . 成等差数列 B . 成等比数列 C . 成等差数列 D . 成等比数列
5. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A . B . C . D .
6. 已知圆锥的侧面积是 ， 且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的内切球半径为（ ）
A . B . C . D .
7. 已知圆与轴交于两点，点在直线上，若以为焦点的椭圆过点 ， 则该椭圆的离心率的最大值为（ ）
A . B . C . D .
8. 已知为锐角，且 ， 则的最大值为（ ）
A . B . C . D .
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．(共3题；共18分)
9. 已知集合 ， 则（ ）
A . B . C . D . 的子集个数为2
10. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A . 各二项式系数的和为64 B . 各项系数的绝对值的和为729 C . 有理项有3项 D . 常数项是第4项
11. 如图1，在等腰梯形中， ， 且为的中点，沿将翻折，使得点到达的位置，构成三棱锥（如图2），则（ ）
A . 在翻折过程中，与可能垂直 B . 在翻折过程中，二面角无最大值 C . 当三梭锥体积最大时，与所成角小于 D . 点在平面内，且直线与直线所成角为 ， 若点的轨迹是椭圆，则三棱锥的体积的取值范围是
三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．(共3题；共15分)
12. 已知向量 ， 若 ， 则。
13. “冰天雪地也是金山银山”，2023-2024年雪季，东北各地冰雪旅游呈现出一片欣欣向荣的景象，为东北经济发展增添了新动能．某市以“冰雪童话”为主题打造—圆形“梦幻冰雪大世界”，其中共设“森林姑娘”“扣像墙”“古堡滑梯”等16处打卡景观．若这16处景观分别用表示，某游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次，那么他从入口出发，按图中所示方向到达有种不同的打卡路线；若该游客按上述规则从入口出发到达景观的不同路线有条，其中 ， 记 ， 则（结果用表示）。
14. 已知拋物线的焦点为 ， 准线为 ， 过点的直线与抛物线交于两点，过作轴垂线，垂足分別为 ， 直线与直线交于点，则与的面积比值为。
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(共5题；共77分)
15. 已知的三个内角的对边分别为 ， 且 ．
（1） 求；
（2） 在方向上的投影向量是 ， 求的面积。
16. 如图，在四棱䧾锥中，平面 ， 为中点，点在梭上（不包括端点）。
（1） 证明：平面平面；
（2） 若点为的中点，求直线到平面的距离．
17. 已知点 ， 直线 ， 动圆与直线相切，交线段于点 ， 且 ．
（1） 求圆心的轨迹方程，并说明是什么曲线；
（2） 过点且倾斜角大于的直线与轴交于点 ， 与的轨迹相交于两点 ， 且 ， 求的值及的取值范围。
18. 短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人。
（1） 依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：
单位：人
（2） 为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出。
①求经过次传递后球回到甲的概率；
②记前次传递中球传到乙的次数为 ， 求的数学期望。
参考公式： ， 其中；
附表：
19. 已知函数 ．
（1） 讨论的单调性；
（2） 设分别是的极小值点和极大值点，记 ．
①证明：直线与曲线交于除外另一点；
②在①结论下，判断是否存在定值且 ， 使 ， 若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
难度系数：0.47
第Ⅰ卷 客观题
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求。
1 2 3 4 5 6 7 8
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9 10 11
三、填空题：本大題共3小题，每小題5分，共15分．其中第13题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分．
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15 16 17 18 19
游客
短视频
合计
收看
未看
南方游客
北方游客
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828