湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试仿真训练数学（二）（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 设集合，则（ ）
2. 若复数z满足，则复数z的虚部是（ ）
3. 已知向量，，若，的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）
4. 已知，则的值为（ ）
5. 从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有不同的选法种数为（ ）
6. 折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良"“善行”、它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征（如图甲），图乙是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若两个圆弧，所在圆的半径分别是3和6，且，则关于该圆台，下列说法错误的是（ ）

7. 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为（ ）
8. 已知斜率为的直线过双曲线的左焦点，且与的左，右两支分别交于，两点，设为坐标原点，为AB的中点，若是以FP为底边的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 一组样本数据如下：47，48，49，50，50，51，52，53，则（ ）
10. 抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（ ）
11. 定义在上的函数满足当时则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 在△中，，，且，则______．
13. 已知随机变量，，且，，则_________.
14. 已知函数，则不等式的解集是______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的前n项和．
16. 在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件安静或嘈杂的影响．
(1)已知在安静环境下，语音识别成功的概率为；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为，处于嘈杂环境的概率为，求测试结果为语音识别成功的概率；
(2)已知当前每次测试成功的概率为，每次测试成本固定，现有两种测试方案：
方案一：测试次；方案二：先测试次，如果这次中成功次数小于等于次，则再测试次，否则不再测试，为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
17. 如图，三棱柱 的所有棱长都为3，点在底面上的射影恰好是的中心.

(1)证明: 四边形是正方形;
(2)设分别为的中点, 求二面角的正弦值.
18. 已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线；
(2)讨论的单调性；
19. 已知椭圆的右焦点为上一动点到的距离的取值范围为.
(1)求的标准方程；
(2)设斜率为的直线过点，交于，两点.记线段的中点为，直线交直线于点，直线交于，两点.
①求的大小；
②求四边形面积的最小值.
湖南省长沙市周南中学2025届高三下学期第二次模拟考试仿真训练数学（二）
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、等式与不等式、平面解析几何、函数与导数、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．3
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．1
C．
D．2
A．420
B．660
C．840
D．880
A．高为
B．体积为
C．表面积为14π
D．轴截面面积为
A．6
B．7
C．8
D．9
A．2
B．
C．3
D．
A．该组数据的平均数为50
B．该组数据的中位数为50
C．该组数据的方差为3
D．该组数据的第80百分位数为51.5
A．l与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点有且仅有2个
A．当时
B．对任意正实数k在区间内恰有一个极大值点
C．当n为正整数时
D．若在区间内有4个极大值点，则k的取值范围是
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
6
适中
9
较难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
并集的概念及运算
2
0.94
复数的相等；求复数的实部与虚部；复数代数形式的乘法运算；共轭复数的概念及计算
3
0.85
由向量共线（平行）求参数；数量积的坐标表示；向量夹角的坐标表示
4
0.85
正、余弦齐次式的计算；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；二倍角的正弦公式
5
0.85
排列组合综合
6
0.65
弧长的有关计算；圆台表面积的有关计算；台体体积的有关计算；柱、锥、台体的轴截面
7
0.65
三角形面积公式及其应用；基本不等式“1”的妙用求最值
8
0.4
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数；二倍角的正切公式；根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围
二、多选题
9
0.94
计算几个数的中位数；计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差；总体百分位数的估计
10
0.65
直线与抛物线交点相关问题；切线长；根据抛物线方程求焦点或准线
11
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；用导数判断或证明已知函数的单调性；根据极值点求参数
三、填空题
12
0.85
正弦定理解三角形；正弦定理判定三角形解的个数
13
0.85
正态曲线的性质；二项分布的均值
14
0.65
函数对称性的应用；根据函数的单调性解不等式；函数奇偶性的定义与判断；判断指数函数的单调性
四、解答题
15
0.65
由定义判定等比数列；错位相减法求和；求等比数列前n项和
16
0.65
求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率；独立事件的乘法公式
17
0.65
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法
18
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；含参分类讨论求函数的单调区间；用导数判断或证明已知函数的单调性
19
0.65
根据a、b、c求椭圆标准方程；椭圆中三角形（四边形）的面积；椭圆上点到焦点的距离及最值；椭圆中的定值问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
平面向量
3
4
三角函数与解三角形
4,6,7,8,12
5
计数原理与概率统计
5,9,13,16
6
空间向量与立体几何
6,17
7
等式与不等式
7
8
平面解析几何
8,10,19
9
函数与导数
11,14,18
10
数列
15