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湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题（Word版附答案）
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这是一份湖南省长沙市周南中学2024届高三下学期第二次模拟考试数学试题（Word版附答案），文件包含湖南省长沙市周南中学2024+届高三下学期第二次模拟考试数学试题docx、湖南省长沙市周南中学2024+届高三下学期第二次模拟考试数学试题答案及评分标准docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页， 欢迎下载使用。
时量: 120 分钟 满分: 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∣lg2−x2+2x+4>0,B=y∣y=2x,x>1 ,则 A∩B=
A. 2,3B. 0,2C. −1,2D. −∞,3
2. 关于 x 的方程 x2+x+1=0 在复数范围内的两个根 z1、z2 ,则
A. z1+z2=1 B. z1z2=−1 C. 1z1+1z2=1 D. z1z2=1
3. 已知向量 a、b、c 中, a 是单位向量, b=3,a 与 b 的夹角为 π3,c=b−a ,则 c⋅a=
A. 2 B. 12 C. −12 D. -1
4. 在空间中,已知 l、m、n 为不同的直线, α、β、γ 为不同的平面,则下列判断正确的是
A. 若 m⊂α,m//n ,则 n//α B. 若 l//α,l//β ,则 α//β
C. 若 m⊥α,l⊥β,m⊥l ,则 α⊥β D. 若 α⊥β,α⊥γ ,则 β//γ
5. 已知 m>0,n>0 ,直线 y=2ex+m 与曲线 y=2lnx−n+4 相切,则 1m+1n 的最小值是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 的展开式中 x3 的系数为
A. 180 B. 210 C. 240 D. 250
7. 已知等差数列 an 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,则 “ d<0 ” 是 “ S3n−S2nA. 充分不必要条件 B. 充分必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 A、B 分别为双曲线 C:x2−y23=1 的左、右顶点,过双曲线 C 的左焦点 F 作直线 PQ 交双曲线于 P、Q 两点(点 P、Q 异于 A、B ),则直线 AP、BQ 的斜率之比 kAP:kBQ=
A. −13 B. −23 C. -3 D. −32
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 若随机变量 ξ∼N3,σ2 ,且 Pξ<6=0.84 ,则 P3<ξ<6=0.34
B. 若随机变量 ξ、η 满足 η=2ξ+1 ,则 Dη=2Dξ+1
C. 若样本数据 xi,yii=1,2,3,⋯,n 线性相关,则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数据的中心点 x,y
D. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据,计算得到 χ2=4.712 . 依据 α=0.05 的独立性 检验 α0.05=3.841 ,可判断 X 与 Y 有关
10. 过抛物线 E:x2=2pyp>0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 Ax1,y1、Bx2,y2 两点 x1 >0,y1>0) ,若 AF=2BF=4 ,则下列说法正确的是
A. y1⋅y2 为定值
B. 抛物线 E 的准线方程为 y=−83
C. 过 A、B 两点作抛物线的切线,两切线交于点 N ,则点 N 在以 AB 为直径的圆上
D. 若过点 F 且与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线于 C、D 两点,则 AB⋅CD=288
11. 已知函数 fx 的定义域和值域均为 {x∣x≠0,x∈R} ,对于任意非零实数 x、y,x+y≠0 ,函数 fx 满足: fx+yfx+fy=fxfy ,且 fx 在 −∞,0 上单调递减, f1=1 ,则下列结 论正确的是
A. f12=2 B. =22023−2
C. fx 为奇函数 D. fx 在定义域内单调递减
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 an 的通项公式为: an=2n−1 ,其前 n 项和为 Sn ,若 S4,Sk,S9 成等比数列, 则 k=___________
13. 已知 2cs2x+π12csx−π12−cs3x=14 ,则 cs2x+π3=___________
14. 若平面直角坐标系内 A、B 两点满足: (1) 点 A、B 都在 fx 的图象上; (2) 点 A、B 关于 原点对称,则称点对 A,B 是函数 fx 的一个“姊妹点对”,且点对 A,B 与 B,A 记为一个“姊妹点对”. 已知函数 fx=x2+2xx<02exx≥0 ,则 fx 的“姊妹点对”有__________个.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 acsB−C+acsA−23csinBcsA =0 .
(1) 求 A ;
(2) 若 △ABC 外接圆的直径为 23 ,求 2c−b 的取值范围.
16. (15 分)
某高新技术企业新研发出了一种产品, 该产品由三个电子元件构成, 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 110、19、18 ,组装过程中不会造成电子元件的损坏,若有 一个电子元件是次品, 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查, 确保无任 何一件次品流入市场.
(1) 若质检员检测出一件次品, 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2) 现有两种方案, 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件, 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品, 一旦发现次品, 则取出重新更换次品的 电子元件, 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元,该企业每月生产该产品 n 件 n∈N∗ ,请从企业获益的角度选择最优方案.
17. (15 分)
如图,在四棱雉 P−ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, △DCP 是等边三角形, ∠DCB =∠PCB=π4 ,点 M、N 分别为 DP 和 AB 的中点.
(1) 求证: 平面 PBC⊥ 平面 ABCD ;
(2) 求平面 CMN 与平面 PAD 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知椭圆 Γ1 的对称中心为坐标原点,焦点在 x 轴上, Γ1 的离心率为 12 ,且过点 M3,32 , 等轴双曲线 Γ2 以 Γ1 的焦点 F1、F2 为顶点,动点 P 在 Γ2 的右支上且异于顶点.
(1) 求 Γ1 与 Γ2 的方程;
(2) 设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2 ,直线 PF1 与 Γ1 相交于点 A、B ,直线 PF2 与 Γ1 相交于点 C、D,AF1•BF1=m,CF2•DF2=n . 是否存 在常数 s 使得 m+n=smn ,若存在求出 s 的值, 若不存在, 请说明理由.
19. (17 分)
微积分的创立是数学发展过程中的里程碑, 它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 对于函数 fx=1xx>0,fx 在区间 [a,b] 上的图像连续不断,从几何上看,定积分 ab1xdx 便是由直线 x=a,x=b,y =0 和曲线 y=1x 所围成的区域(称为曲边梯形 ABQP )的面积,根据微积分基本定理可得 ab1xdx=lnb−lna ,因为曲边梯形 ABQP 的面积小于梯形 ABQP 的面积,即 S 曲边梯形ABQP＜S 梯形ABQP ,代入数据,进一步可以推导出不等式: a−blna−lnb>21a+1b .
(1) 请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,
证明: a−blna−lnb(2) 已知函数 fx=ax2+bx+xlnx ,其中 a、b∈R .
(1) 证明: 对任意两个不相等的正数 x1、x2 ,曲线 y=fx 在 x1,fx1 和 x2,fx2 处的切 线均不重合;
(2) 当 b=−1 时,若不等式 fx≥2sinx−1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
时量: 120 分钟 满分: 150 分
一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一 项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A=x∣lg2−x2+2x+4>0,B=y∣y=2x,x>1 ,则 A∩B=
A. 2,3B. 0,2C. −1,2D. −∞,3
2. 关于 x 的方程 x2+x+1=0 在复数范围内的两个根 z1、z2 ,则
A. z1+z2=1 B. z1z2=−1 C. 1z1+1z2=1 D. z1z2=1
3. 已知向量 a、b、c 中, a 是单位向量, b=3,a 与 b 的夹角为 π3,c=b−a ,则 c⋅a=
A. 2 B. 12 C. −12 D. -1
4. 在空间中,已知 l、m、n 为不同的直线, α、β、γ 为不同的平面,则下列判断正确的是
A. 若 m⊂α,m//n ,则 n//α B. 若 l//α,l//β ,则 α//β
C. 若 m⊥α,l⊥β,m⊥l ,则 α⊥β D. 若 α⊥β,α⊥γ ,则 β//γ
5. 已知 m>0,n>0 ,直线 y=2ex+m 与曲线 y=2lnx−n+4 相切,则 1m+1n 的最小值是
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 的展开式中 x3 的系数为
A. 180 B. 210 C. 240 D. 250
7. 已知等差数列 an 的公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,则 “ d<0 ” 是 “ S3n−S2n
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 已知 A、B 分别为双曲线 C:x2−y23=1 的左、右顶点,过双曲线 C 的左焦点 F 作直线 PQ 交双曲线于 P、Q 两点(点 P、Q 异于 A、B ),则直线 AP、BQ 的斜率之比 kAP:kBQ=
A. −13 B. −23 C. -3 D. −32
二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列结论正确的是
A. 若随机变量 ξ∼N3,σ2 ,且 Pξ<6=0.84 ,则 P3<ξ<6=0.34
B. 若随机变量 ξ、η 满足 η=2ξ+1 ,则 Dη=2Dξ+1
C. 若样本数据 xi,yii=1,2,3,⋯,n 线性相关,则用最小二乘法估计得到的经验回归直线 经过该组数据的中心点 x,y
D. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据,计算得到 χ2=4.712 . 依据 α=0.05 的独立性 检验 α0.05=3.841 ,可判断 X 与 Y 有关
10. 过抛物线 E:x2=2pyp>0 的焦点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 Ax1,y1、Bx2,y2 两点 x1 >0,y1>0) ,若 AF=2BF=4 ,则下列说法正确的是
A. y1⋅y2 为定值
B. 抛物线 E 的准线方程为 y=−83
C. 过 A、B 两点作抛物线的切线,两切线交于点 N ,则点 N 在以 AB 为直径的圆上
D. 若过点 F 且与直线 l 垂直的直线 m 交抛物线于 C、D 两点,则 AB⋅CD=288
11. 已知函数 fx 的定义域和值域均为 {x∣x≠0,x∈R} ,对于任意非零实数 x、y,x+y≠0 ,函数 fx 满足: fx+yfx+fy=fxfy ,且 fx 在 −∞,0 上单调递减, f1=1 ,则下列结 论正确的是
A. f12=2 B. =22023−2
C. fx 为奇函数 D. fx 在定义域内单调递减
三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 已知数列 an 的通项公式为: an=2n−1 ,其前 n 项和为 Sn ,若 S4,Sk,S9 成等比数列, 则 k=___________
13. 已知 2cs2x+π12csx−π12−cs3x=14 ,则 cs2x+π3=___________
14. 若平面直角坐标系内 A、B 两点满足: (1) 点 A、B 都在 fx 的图象上; (2) 点 A、B 关于 原点对称,则称点对 A,B 是函数 fx 的一个“姊妹点对”,且点对 A,B 与 B,A 记为一个“姊妹点对”. 已知函数 fx=x2+2xx<02exx≥0 ,则 fx 的“姊妹点对”有__________个.
四、解答题: 本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
已知在 △ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 acsB−C+acsA−23csinBcsA =0 .
(1) 求 A ;
(2) 若 △ABC 外接圆的直径为 23 ,求 2c−b 的取值范围.
16. (15 分)
某高新技术企业新研发出了一种产品, 该产品由三个电子元件构成, 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 110、19、18 ,组装过程中不会造成电子元件的损坏,若有 一个电子元件是次品, 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查, 确保无任 何一件次品流入市场.
(1) 若质检员检测出一件次品, 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率;
(2) 现有两种方案, 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件, 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品, 一旦发现次品, 则取出重新更换次品的 电子元件, 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元,该企业每月生产该产品 n 件 n∈N∗ ,请从企业获益的角度选择最优方案.
17. (15 分)
如图,在四棱雉 P−ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, △DCP 是等边三角形, ∠DCB =∠PCB=π4 ,点 M、N 分别为 DP 和 AB 的中点.
(1) 求证: 平面 PBC⊥ 平面 ABCD ;
(2) 求平面 CMN 与平面 PAD 夹角的余弦值.
18. (17 分)
已知椭圆 Γ1 的对称中心为坐标原点,焦点在 x 轴上, Γ1 的离心率为 12 ,且过点 M3,32 , 等轴双曲线 Γ2 以 Γ1 的焦点 F1、F2 为顶点,动点 P 在 Γ2 的右支上且异于顶点.
(1) 求 Γ1 与 Γ2 的方程;
(2) 设直线 PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2 ,直线 PF1 与 Γ1 相交于点 A、B ,直线 PF2 与 Γ1 相交于点 C、D,AF1•BF1=m,CF2•DF2=n . 是否存 在常数 s 使得 m+n=smn ,若存在求出 s 的值, 若不存在, 请说明理由.
19. (17 分)
微积分的创立是数学发展过程中的里程碑, 它的发展和广泛应用开创了向近代数学过渡 的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段. 对于函数 fx=1xx>0,fx 在区间 [a,b] 上的图像连续不断,从几何上看,定积分 ab1xdx 便是由直线 x=a,x=b,y =0 和曲线 y=1x 所围成的区域(称为曲边梯形 ABQP )的面积,根据微积分基本定理可得 ab1xdx=lnb−lna ,因为曲边梯形 ABQP 的面积小于梯形 ABQP 的面积,即 S 曲边梯形ABQP＜S 梯形ABQP ,代入数据,进一步可以推导出不等式: a−blna−lnb>21a+1b .
(1) 请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,
证明: a−blna−lnb
(1) 证明: 对任意两个不相等的正数 x1、x2 ,曲线 y=fx 在 x1,fx1 和 x2,fx2 处的切 线均不重合;
(2) 当 b=−1 时,若不等式 fx≥2sinx−1 恒成立,求实数 a 的取值范围.
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