上海市金山中学2024-2025学年高三下学期3月素养测试数学试卷二（含答案解析）

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一、填空题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)
1. 已知全集， ，则________．
2. 设，函数是奇函数．若，，则______．
3. 设．若向量与向量平行，则______．
4. 现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V与直径d的关系式为，当时，气球体积的瞬时变化率为________．
5. 若的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是_______．
6. 已知向量、满足，且在上的数量投影为，则__________
7. 某次数学练习中，学生成绩X服从正态分布,若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少有2名学生的成绩高于125的概率是______．
8. 顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，则在圆锥侧面上由点到点的最短路线长为____．（精确到）
9. 如果关于的不等式的解集为一切实数，那么的取值范围是_________.
10. 双曲线的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为__________．
11. 若，已知数列中，首项，，，则_________.
12. 已知点O是△ABC外接圆圆心，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且有，若，则实数λ的值为________．
二、单选题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，记事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3 点或4 点”，则事件A与事件 B的关系为 （ ）
14. 某社区通过公益讲座宣传交通法规．为了解讲座效果，随机抽取10位居民，分别在讲座前、后各回答一份交通法规知识问卷，满分为100分．他们得分的茎叶图如图所示（“叶”是个位数字），则下列选项叙述错误的是（ ）
15. 已知复数满足，则的最大值为（ ）
16. 设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
三、解答题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
17. 设，函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）若，求的值．
18. 如图所示，平面平面，且四边形为矩形，在四边形中，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值．
19. 2021年国庆期间，某县书画协会在县宣传部门的领导下组织了庆国庆书画展，参展的200幅书画作品反映了该县人民在党的领导下进行国家建设中的艰苦卓绝，这些书画作品的作者的年龄都在之间，根据统计结果，作出如图所示的频率分布直方图：
(1)求这200位作者年龄的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
(2)县委宣传部从年龄在和的作者中，按照分层抽样的方法，抽出6人参加县委组织的表彰大会，现要从6人中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间的人数是X，求变量X的分布列和数学期望.
20. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为4，点间的距离2，转动杆一周的过程中始终有.点在线段的延长线上，且.
(1)以线段中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点的轨迹的方程；
(2)过点的直线与交于两点.记直线的斜率分别为，
（i）证明：为定值；
（ii）若直线的斜率为，点是轨迹上异于的点，且平分，求的取值范围.
21. 设函数的定义域为D，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”．
性质①：对于任意，都有；性质②：对于任意，都有．
(1)已知，．分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
(2)已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围；
(3)已知函数的定义域为，其图像是一条连续不断的曲线，且对于任意，都有．求证：函数存在“美好区间”，且存在，使得不属于函数的任意一个“美好区间”．
上海市金山中学2024-2025学年高三下学期3月素养测试数学试卷二
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、空间向量与立体几何、计数原理与概率统计、平面向量、竞赛知识点、平面解析几何、数列、三角函数与解三角形、复数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．是相互独立事件，不是互斥事件
B．是互斥事件，不是相互独立事件
C．既是相互独立事件又是互斥事件
D．既不是互斥事件也不是相互独立事件
讲座前
讲座后
5
0
5
5
0
0
6
5
0
0
7
0
8
0
5
5
5
0
9
0
0
5
5
10
0
0
A．讲座后的答卷得分整体上高于讲座前的得分
B．讲座前的答卷得分分布较讲座后分散
C．讲座后答卷得分的第80百分位数为95
D．讲座前答卷得分的极差大于讲座后得分的极差
A．
B．
C．
D．
A．若为等差数列，则为内和数列
B．若为等比数列，则为内和数列
C．若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
D．若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
题型
数量
填空题
12
单选题
4
解答题
5
难度
题数
容易
4
较易
6
适中
8
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、填空题
1
0.94
补集的概念及运算
2
0.85
由奇偶性求参数
3
0.85
空间向量平行的坐标表示
4
0.94
瞬时变化率的概念及辨析；基本初等函数的导数公式
5
0.85
求指定项的系数；由项的系数确定参数
6
0.85
数量积的运算律；向量夹角的计算
7
0.85
独立重复试验的概率问题；指定区间的概率
8
0.65
圆锥的展开图及最短距离问题
9
0.65
解不等式
10
0.65
利用定义求双曲线中线段和、差的最值；求双曲线的离心率或离心率的取值范围；求平面两点间的距离
11
0.65
倒序相加法求和；由递推关系式求通项公式
12
0.65
余弦定理解三角形；数量积的运算律
二、单选题
13
0.94
判断所给事件是否是互斥关系；独立事件的判断
14
0.94
计算几个数据的极差、方差、标准差；总体百分位数的估计
15
0.65
与复数模相关的轨迹（图形）问题；斜率与倾斜角的变化关系；由直线与圆的位置关系求参数
16
0.4
判断数列的增减性；数列新定义
三、解答题
17
0.65
已知弦（切）求切（弦）；求正弦（型）函数的最小正周期；辅助角公式；求sinx型三角函数的单调性
18
0.65
证明线面垂直；面面角的向量求法；证明面面垂直；线面角的向量求法
19
0.85
写出简单离散型随机变量分布列；求离散型随机变量的均值；由频率分布直方图估计平均数；计算频率分布直方图中的方差、标准差
20
0.15
根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围；椭圆中的定值问题；轨迹问题——椭圆；根据韦达定理求参数
21
0.4
导数新定义；常见（一次函数、二次函数、反比例函数等）的函数值域；由导数求函数的最值（含参）
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
2,4,21
3
空间向量与立体几何
3,8,18
4
计数原理与概率统计
5,7,13,14,19
5
平面向量
6,12
6
竞赛知识点
9
7
平面解析几何
10,15,20
8
数列
11,16
9
三角函数与解三角形
12,17
10
复数
15