上海市金山中学2024−2025学年高三下学期3月素养测试 数学试卷（含解析）

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一、填空题
1．已知集合，，且，则实数的值为 .
2．若，则 .
3．函数的定义域是 .
4．若平面向量，满足，，，则 .
5．已知，则
6．某工厂为研究某种产品产量（吨）与所需某种原材料（吨）得相关性．在生产过程中收集4组对应数据如表所示，已知关于的经验回归方程为，则表中的值为 ，在样本点处的离差为 ．
7．直线截圆所得弦长为2，则的最小值为 ．
8．如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为 .
9．在如图所示的等腰梯形中，，以点和点为焦点，过点和点的椭圆的长轴长是，以点和点为焦点，过点和点的双曲线的实轴长是，由椭圆和双曲线的定义角度研究，可知 ．
10．某种疾病的患病率为，通过验血诊断该病的误诊率（将未患病者判定为阳性的概率）为，漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，每人的诊断结果互不影响．若设事件：阳性，事件：患病，则 ，则诊断结果是阳性概率 ，若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为 ．
二、单选题
11．“”是“”成立的（ ）条件．
A．充分非必要B．必要非充分
C．充分必要D．既非充分又非必要
12．下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（ ）
A． B．
C． D．
13．中国的古建筑不仅是挡风遮雨的住处，更是美学和哲学的体现．如图是某古建筑物的剖面图，是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为，且成首项为0.114的等差数列，若直线的斜率为0.414，则该数列公差等于（ ）
A．0.1B．0.2C．0.3D．0.4
14．已知中，，，且的最小值为，若P为边AB上任意一点，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
三、解答题
15．如图，在四棱锥中，，，，为棱的中点，平面．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面.
16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）证明：为等腰三角形．
（2）若D是边BC的中点，，求的面积．
17．某蛋糕厂商在两个社区分别开了连锁店和，通过一段时间的经营统计，店和店每日销售的蛋糕数的分布列如表：
（1）求店在3天共卖出15个蛋糕的概率；
（2）为了防止食品浪费，保障国家粮食安全，《中华人民共和国反食品浪费法》自2021年4月29日起施行，蛋糕保质期短，当日没销售出去只能作垃圾处理．该蛋糕厂商积极响应国家要求，决定今后每日仅生产10个蛋糕给两家连锁店，
①若分配给店4个蛋糕，店6个蛋糕，求该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望；
②那么在市场需求不变的情况下如何分配这10个蛋糕最优？请说明理由
18．已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.
（1）求的方程；
（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向
（ⅰ）若，求直线的斜率
（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形
19．若的定义域为，数列满足，则称为的“倍点列”.
(1)若为的“2倍点列”，求的前项和；
(2)若为的“1倍点列”且，求证：为定值；
(3)若，判断是否存在，使得为的“倍点列”，并证明你的结论.
参考答案
1．【答案】
【详解】由题意可知，
解得：.
2．【答案】2
【详解】由题意知：，所以由复数相等的定义知.
3．【答案】.
【详解】由题意，.
4．【答案】
【详解】由得
所以.
5．【答案】
【详解】因为，两边平方后，
，
所以.
6．【答案】4.5
【详解】，，
当时，，则离差为．
7．【答案】
【详解】由题意知圆的圆心为，半径为1，
因为直线截圆所得弦长为2，
所以直线经过圆心，即，则，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为6.
8．【答案】
【详解】画出该圆锥的展开图，如图所示，
则该小虫爬行的最短路程为，即，
又圆锥母线长为，
所以，因此，
则弧的长为，
设圆锥底面圆半径为，圆锥的高为，
则，解得，
所以，
因此该圆锥的体积为：.
9．【答案】1
【详解】由椭圆的定义可得，双曲线的定义可得，
由等腰梯形可得，则，
作，
可得
，
即有，则．
10．【答案】
【详解】设“阳性”，“阴性”，“患病”，“不患病”，“诊断结果正确”，“诊断结果不正确”，
由题知：某种疾病的患病率为，则，
通过验血诊断该病的误诊率为，则，
因为漏诊率（将患病者判定为阴性的概率）为，
所以，
任选1人进行验血，诊断结果为阳性的概率为
则，
若某人验血的诊断结果是阳性，则该人患病的概率为，
由前面的计算过程可知：，
所以．
11．【答案】B
【详解】，
所以，若成立，不一定成立，即充分性不成立；
若成立，一定成立，即必要性成立，
所以“”是“”成立的必要非充分条件，
故选B．
12．【答案】A
【详解】根据二分法的概念可知二分法只能求变号零点，
观察选项A中的函数图象可知该函数没有变号零点，观察选项BCD中的函数图象可知对应的函数都存在变号零点，
所以选项A中函数不能用二分法求零点．
故选A.
13．【答案】B
【详解】不妨设则
由题意知即
设数列公差为，
，
解得.
故选B.
14．【答案】B
【详解】设，故，若，
由，则，，共线，故，
由图得，当时有最小值，又，
∴，即，即为等边三角形．
由余弦定理，，
设M为BC中点，，
∴当取最小值时，有最小值，
∵为边上任意一点，
∴当时，有最小值，
设，过点作于点，则，
又，为的中位线，
∴，即，
∴．
故选：B.
15．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【详解】（1）∵，且为棱的中点，∴，
又∵，∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，
∴平面.
（2）
平面，平面，，
连接，由题意，为棱的中点，，
知，且，则四边形为平行四边形，
，，又，
所以平行四边形为正方形，，
又，，又，平面，
平面，又平面，所以平面平面.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：因为由正弦定理得
因为，由余弦定理得，
代入化简可得
所以为等腰三角形。
（2）由题可知因为D是边BC的中点，，
在和中，利用余弦定理的推论得
代入，可得
由得
则的面积
17．【答案】（1）；
（2）①；②在市场需求不变的情况下，分配给A店4个，B店6个或A店5个，B店5个，理由见解析.
【详解】（1）店在3天共卖出15个莝糕，共有三种情况：
三天分别卖个，个，个，
所以所求概率；
（2）①若分配给店4个，店6个，
则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下：

所以，
即该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望；
②由题意可知，
因为店、店均是最多卖个蛋糕，则有三种情况：
（i）店4个，店6个；（ii）店5个，店5个；（iii）店6个，店4个．
（i）若分配给占4个，占6个，由①可知该方案下蛋糕厂商每日销售的蛋糕数的期望；
（ii）若分配店5个，店5个，
则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下：
所以；
（iii）若分配给店6个，店4个，
则店和店每日销售的蛋糕数的分布列如下：
所以．
因为，
所以在市场需求不变的情况下，分配给A店4个，B店6个或A店5个，B店5个最优
18．【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.
【详解】试题分析：（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；（2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证
试题解析：（1）由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，
∴ ①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，∴②，联立①，②，得，，故的方程为；（2）如图，，，，，
（i）∵与同向，且，∴，从而，即，于是③，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，∴，④，由得，而，是这个方程的两根，∴，⑤，将④⑤带入③，得，即，
∴，解得，即直线的斜率为.

（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即
，令，得，即，∴，而，于是
，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.
【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此
类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；（2）当看到题目中出现
直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条
件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整
体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.
19．【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)不存在，证明见解析
【详解】（1）解：因为为的“2倍点列”，
所以，即，
所以
所以，
当时，，
显然满足，
故综上，
（2）证明：因为，
所以.
设gx=f'x，则，当且仅当即时等号成立，
所以f'x单调递增，且，
所以,
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为为的“1倍点列”，则，
不妨设，
，
所以的图象关于直线对称，当时，有2个不同实根，
所以.
（3）解：因为，且为的“倍点列”，
可得，即且，
设，则，
在0,+∞上单调递增，且，
所以x∈0,1时，时，，
所以在0,1上单调递减，在1,+∞上单调递增，
因为，所以且时gx>0，
所以不存在，使得，
即不存在，使得为的“倍点列”.3
4
5
6
2.5
3
4
3
4
5
6
2
4
6
3
4
2
4
6
3
4
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