四川省宜宾市普通高中2025届高三下学期高考适应性考试（三模）数学试卷（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为（ ）
3. 已知数据的方差，则（ ）
4. 的展开式中，含的项的系数是（ ）
5. 设函数是奇函数，，若，则（ ）
6. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则
（ ）
7. 如图，在等边中，，以为直径分别作半圆，是两段半圆弧上的动点，则的取值范围是（ ）
8. 设函数，其中，若，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数，则（ ）
10. 已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，是上的动点，轴，垂足为，且为的中点，则（ ）
11. “阿基米德多面体”也称半正多面体，是由两种或多种正多边形面组成，而又不属于正多面体的凸多面体，体现了数学的对称美.如图，某广场的一张石凳就是一个阿基米德多面体，它是由正方体截去八个一样的四面体得到的二十四等边体，若它所有的棱长都为2，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知函数且.若，则__________.
13. 设为等差数列的前项和.若，且成等比数列，则__________.
14. 从集合中任取4个不同的数，组成无重复数字的四位数.若该四位数能被3整除的概率为；若取出的4个数按从小到大排列，中间两个数的和为7的概率为，则__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，角所对边分别为，且.
(1)求；
(2)若的面积为，求.
16. 为了检测某种抗病毒疫苗的免疫效果，需要进行小白鼠试验.现将300只小白鼠分为甲、乙两组，甲组200只，乙组100只.研究人员将疫苗注射到甲组的200只小白鼠体内，一段时间后检测小白鼠的某项指标值.检测发现有150只小白鼠体内产生抗体，其中该项指标值不小于60的占；没有产生抗体的小白鼠中该项指标值不小于60的占.假设各小白鼠注射疫苗后是否产生抗体是相互独立的.
(1)填写如下列联表，并根据列联表及的独立性检验，判断能否认为注射疫苗后小白鼠产生抗体与指标值不小于60有关；
(2)用甲组中小白鼠产生抗体的频率估计概率，记乙组小白鼠在注射疫苗后产生抗体的只数为，当取最大值时，求.
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：
17. 如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.
18. 已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)当时，，求的取值范围；
(3)对于点在处的切线方程为，若对任意，都有，则称为“好”点.当时，求的“好”点.（只要求写出结果，不需说明理由）
19. 已知曲线，点，曲线上一点，直线与的另一个交点为.按照如下方式依次构造点，过作轴的垂线，垂足为，垂线与的另一个交点为.作直线，与的另一个交点为，直线与轴的交点为.记.
(1)若，求；
(2)求证：数列是等比数列，并用表示的通项公式；
(3)对任意的正整数与的面积之比是否为定值？若是，请用表示该定值；若不是，请说明理由.
四川省宜宾市普通高中2025届高三下学期高考适应性考试（三模）数学试卷
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面解析几何、复数、计数原理与概率统计、空间向量与立体几何、平面向量、三角函数与解三角形、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．圆
B．双曲线的一支
C．椭圆
D．抛物线
A．
B．
C．1
D．0
A．
B．
C．30
D．60
A．
B．0
C．1
D．2
A．α∥β且∥α
B．α⊥β且⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于
D．α与β相交，且交线平行于
A．
B．
C．
D．
A．2
B．4
C．6
D．8
A．函数为偶函数
B．曲线的一个对称中心为
C．在区间单调递增
D．的最大值为2
A．的最大值为
B．的最小值为
C．点的轨迹方程为
D．的最小值为
A．该石凳的表面积为
B．该石凳的体积为
C．直线与的夹角为
D．平面
抗体
指标值
合计
小于60
不小于60
有抗体
没有抗体
合计
0.1
0.05
0.005
0.001
2.706
3.841
7.879
10.828
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
3
适中
12
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
交集的概念及运算；由对数函数的单调性解不等式
2
0.85
双曲线定义的理解；与复数模相关的轨迹（图形）问题
3
0.94
计算几个数据的极差、方差、标准差
4
0.65
求指定项的系数；三项展开式的系数问题
5
0.65
函数奇偶性的应用
6
0.94
点、直线、平面之间的位置关系
7
0.65
数量积的坐标表示；定点到圆上点的最值（范围）；求含sinx(型)函数的值域和最值
8
0.65
根据零点求函数解析式中的参数
二、多选题
9
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；求sinx型三角函数的单调性；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心
10
0.65
定点到圆上点的最值（范围）；轨迹问题——圆；椭圆定义及辨析；根据椭圆过的点求标准方程
11
0.65
锥体体积的有关计算；求异面直线所成的角；求组合多面体的表面积
三、填空题
12
0.85
对数的运算性质的应用
13
0.65
等差数列前n项和的基本量计算；等比中项的应用；等差数列通项公式的基本量计算
14
0.65
数字排列问题；计算古典概型问题的概率
四、解答题
15
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；辅助角公式
16
0.65
独立性检验解决实际问题；服从二项分布的随机变量概率最大问题；完善列联表；卡方的计算
17
0.65
证明面面垂直；求二面角
18
0.15
利用导数研究不等式恒成立问题；含参分类讨论求函数的单调区间；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
19
0.15
写出等比数列的通项公式；由递推关系证明等比数列；抛物线中的三角形或四边形面积问题；直线与抛物线交点相关问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
函数与导数
1,5,8,12,18
3
平面解析几何
2,7,10,19
4
复数
2
5
计数原理与概率统计
3,4,14,16
6
空间向量与立体几何
6,11,17
7
平面向量
7
8
三角函数与解三角形
7,9,15
9
数列
13,19