甘肃省嘉峪关市第一中学2024-2025学年高三下第七次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 已知i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（ ）
3. 平面向量，，若，则（ ）
4. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ）
5. 若数列满足，则（ ）
6. 2025年2月14日，亚洲冬季运动会最后一个比赛日结束，中国队以总奖牌数85枚（金牌32、银牌27、铜牌26）获得运动会第一，打破了哈萨克斯坦2011年亚冬会创下的单个代表团单届奖牌数纪录（70枚）.在某场比赛的三个地点需要志愿者服务，有甲、乙、丙、丁四人报名参加，每个地点仅需1名志愿者，每人至多在一个地点服务，若甲不能到第一个地点服务，则不同的安排方法共有（ ）
7. 若的展开式中第3项和第9项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（ ）
8. 若函数与的图象有且只有一个公共点，则称与互为“粘合函数”.已知曲线关于直线对称的曲线为，且与互为“粘合函数”，则实数的取值范围为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 某校100名学生学业水平测试数学成绩的频率分布直方图如图所示，已知所有学生成绩均在区间内，则（ ）
10. 在锐角△ABC中，设，，则下列说法正确的是（ ）
11. 将抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得的三条曲线与围成的图形称作花瓣曲线（如图阴影区域），、为与其中两条曲线的交点，若，则（ ）

三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 已知由小到大排列的个数据、、、9，则这个数据的第百分位数是_______
13. 已知函数且的图像过定点，若角的终边过点，则__________.
14. 已知三棱锥满足，且，则该三棱锥外接球的表面积为________，异面直线与所成夹角的余弦值为________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 已知数列的前项和为，且．
(1)证明：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和．
16. “村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息. 某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件M=“了解村BA”，N=“学生为女生”.据统计数据得，.
(1)根据已知条件，作出2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关；
(2)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
17. 在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，且．
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面所成的夹角的大小．
18. 已知，两点在椭圆上，直线交椭圆于两点（均不与点重合），过作直线的垂线，垂足为.

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线，的斜率分别为，当时，
①求证：直线恒过定点，并求出定点坐标；
②求的最小值.
19. 已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上单调递增，求的取值范围；
(3)证明：当时，.
甘肃省嘉峪关市第一中学2024-2025学年高三第七次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：等式与不等式、集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、函数与导数、数列、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．2
C．8
D．-2
A．或
B．
C．
D．
A．16
B．20
C．24
D．28
A．18种
B．24种
C．32种
D．64种
A．奇数项的二项式系数和为
B．所有奇数项的系数和为
C．第6项的系数最大
D．
A．
B．
C．
D．
A．图中的值为0.005
B．这组数据的平均数为73
C．这组数据的众数为75
D．这组数据的中位数约为71
A．
B．边上的高是
C．△ABC面积是
D．△ABC内切圆的面积是
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截花瓣曲线第一象限部分的弦长最大值为
D．阴影区域的面积不大于
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
6
较易
2
适中
6
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
解不含参数的一元二次不等式；交集的概念及运算
2
0.94
共轭复数的概念及计算；复数的除法运算
3
0.94
数量积的坐标表示；利用向量垂直求参数
4
0.94
根据函数是幂函数求参数值；由奇偶性求参数
5
0.94
根据数列递推公式写出数列的项
6
0.65
元素（位置）有限制的排列问题
7
0.65
由项的系数确定参数；二项展开式各项的系数和
8
0.4
函数与方程的综合应用；用导数判断或证明已知函数的单调性；函数对称性的应用；利用导数研究函数的零点
二、多选题
9
0.85
由频率分布直方图估计中位数；由频率分布直方图估计平均数；由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量
10
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
11
0.15
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；由方程研究曲线的性质；直线与抛物线交点相关问题
三、填空题
12
0.85
总体百分位数的估计
13
0.94
指数型函数图象过定点问题；由终边或终边上的点求三角函数值
14
0.4
多面体与球体内切外接问题；求异面直线所成的角
四、解答题
15
0.65
错位相减法求和；利用an与sn关系求通项或项；由递推关系证明等比数列
16
0.65
卡方的计算；求离散型随机变量的均值；完善列联表；写出简单离散型随机变量分布列
17
0.65
证明线面平行；面面角的向量求法
18
0.4
根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中的直线过定点问题；求椭圆中的最值问题
19
0.4
由函数在区间上的单调性求参数；利用导数证明不等式；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
序号
知识点
对应题号
1
等式与不等式
1
2
集合与常用逻辑用语
1
3
复数
2
4
平面向量
3
5
函数与导数
4,8,11,13,19
6
数列
5,15
7
计数原理与概率统计
6,7,9,12,16
8
三角函数与解三角形
10,13
9
平面解析几何
11,18
10
空间向量与立体几何
14,17