甘肃省庆阳第一中学2025届高三下第三次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，，若，则（ ）
2. 已知单位向量的夹角为，则向量与向量的数量积为（ ）
3. 下列说法正确的是（ ）
4. 已知为虚数单位，则下列命题为真命题的是（ ）
5. 已知函数，将图象上所有的点向左平移个单位长度后得到的曲线关于轴对称，则下列结论正确的是（ ）
6. 已知正方体的棱长为1，若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成体积为的四面体的概率为（ ）
7. 已知表示这n个数中最大的数.下列四组数据中，能说明命题“”是假命题的有（ ）组.
①1，2，3，4；②-3，-1，7，5；③8，-1，-2，-3；④5，3，0，-1.
8. 中国南北朝时期的著作《孙子算经》对同余除法有较深的研究.设为整数，若和同时除以所得的余数相同，则称和对模同余，记为 若， ，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知等差数列的公差不为0，，，成等比数列，且，则下列说法正确的是（ ）
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，平面，且，分别为的中点，是线段上靠近点的四等分点，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 设是各项均为正数的等比数列的前n项和，若，则______．
13. 设点F1，F2分别为椭圆C:+=1的左、右焦点，点P是椭圆C上任意一点，若使得 =m成立的点P恰好有4个，已知实数，则m的值为____.
14. 已知关于的不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范围是___________________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2bcsB，C＝.
(1)求角B的大小；
(2)①△ABC的面积为，求BC边上的中线AM的长度；
②△ABC的周长为4＋，求BC边上的中线AM的长度.
16. 如图，在等腰直角三角形中，A，D分别为的中点，，将沿折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥.
(1)若M为的中点，求证平面；
(2)若平面平面，点E在线段上，平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长.
17. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：每场比赛胜者积2分，负者积0分；比赛前根据相关规则决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空；积分首先累计到4分者获得比赛胜利，比赛结束.已知甲与乙比赛时，甲获胜的概率为，甲与丙比赛时，甲获胜的概率为，乙与丙比赛时，乙获胜的概率为.
(1)若，求比赛结束时，三人总积分的分布列与期望；
(2)若，假设乙获得了指定首次比赛选手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略.
18. 已知过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，当直线垂直于轴时，的面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为的重心，直线分别交轴于点，记的面积分别为，求的取值范围.
19. 若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.
甘肃省庆阳第一中学2025届高三第三次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、平面向量、计数原理与概率统计、复数、三角函数与解三角形、函数与导数、数列、空间向量与立体几何、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．-1
B．-2
C．
D．
A．数据7，5，3，10，2的第40百分位数是3
B．已知随机变量，σ越小，表示随机变量X的分布越分散
C．已知一组数据的方差为3，则的方差为3
D．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其经验回归方程为，若其中一个点为，则实数
A．是实数
B．对任意的复数，为实数
C．对于任意的复数，
D．
A．在上为增函数
B．
C．在上有两个零点
D．在上有无数个零点
A．
B．
C．
D．
A．1
B．2
C．3
D．4
A．2021
B．2022
C．2023
D．2025
A．数列的通项公式为
B．数列的通项公式为
C．
D．
A．当时，曲线在点处的切线方程为
B．当时，曲线在点处的切线方程为
C．当时，曲线上不存在斜率为0的切线
D．当时，曲线在点处的切线斜率为0
A．平面
B．直线与所成的角为
C．
D．经过的平面截四棱锥所得的截面图形的面积为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
4
适中
12
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
判断两个集合的包含关系；根据集合的包含关系求参数
2
0.85
用定义求向量的数量积；数量积的运算律
3
0.65
用回归直线方程对总体进行估计；总体百分位数的估计；各数据同时加减同一数对方差的影响；正态曲线的性质
4
0.65
求复数的模；复数的乘方；复数代数形式的乘法运算
5
0.65
求图象变化前（后）的解析式；求sinx型三角函数的单调性；求函数零点或方程根的个数
6
0.85
组合数的计算；计算古典概型问题的概率；实际问题中的组合计数问题
7
0.85
判断命题的真假；判断全称命题的真假
8
0.65
二项式的系数和；整除和余数问题
二、多选题
9
0.65
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和；等比中项的应用
10
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；导数的乘除法
11
0.65
证明线面平行；空间位置关系的向量证明
三、填空题
12
0.65
等比数列前n项和的基本量计算
13
0.65
数量积的坐标表示；求椭圆上点的坐标
14
0.4
求曲线切线的斜率（倾斜角）；利用导数求函数的单调区间（不含参）；由导数求函数的最值（不含参）
四、解答题
15
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；三角形面积公式及其应用
16
0.65
证明线面平行；已知面面角求其他量
17
0.4
决策中的概率思想；求离散型随机变量的均值；写出简单离散型随机变量分布列；独立事件的乘法公式
18
0.65
求直线与抛物线相交所得弦的弦长；抛物线中的三角形或四边形面积问题
19
0.15
根据规律填写数列中的某项；数列新定义；判断等差数列
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,7
2
平面向量
2,13
3
计数原理与概率统计
3,6,8,17
4
复数
4
5
三角函数与解三角形
5,15
6
函数与导数
5,10,14
7
数列
9,12,19
8
空间向量与立体几何
11,16
9
平面解析几何
13,18