山东省淄博市张店区2025届高三下仿真试题（三模）数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合 ，集合，则（ ）
2. 若复数 满足 ，则（ ）
3. 设和是两个非零向量，定义向量，，则“”是“”的（ ）
4. 将编号为1，2，3的小球放入编号1，2，3，4的小盒中，每个小盒至多放一个小球，要求恰有1个小球与所在盒子编号相同，则所有放法的种数为（ ）
5. 随着人工智能技术的快速发展，训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长. 某公司现有新一代 芯片 两套研发方案，若 A 设计方案中初始计算量为 ，每年增长 ；B 设计方案中初始计算量为 ，每年增长 . 如此预计至少几年后A 设计方案计算量更高?(参考数据: )（ ）
6. 在正四棱台中，，侧棱和底面所成角为，则该正四棱台的侧面积为（ ）
7. 已知函数是定义在上的奇函数，则，的值可能是（ ）
8. 若关于的方程有唯一解，则求得上述关于的方程的非零实数解为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 等差数列中，．记数列前项和为，下列选项正确的是（ ）
10. 某企业为了研究物流成本和企业利润的数据关系，记录了1月到8月的物流成本(单位：万元)和企业利润(单位：万元)的数据，已知其中一组数据为且，根据最小二乘法公式求得经验回归方程为，则（ ）
11. 旋转变换是原图上所有的点都绕一个固定的点朝同一方向，转动同一个角度.例如， 对任意平面向量，把 绕起点 沿逆时针方向旋转角得到向量 ，这一过程叫做把点绕点逆时针方向旋转 角得到点 .已知椭圆 ，绕坐标原点逆时针旋转得到斜椭圆 ，则下列结论正确的是:（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 函数，则曲线在处的切线方程为_____.
13. 某比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员答 3 道题，若 3 次都错，则该队被淘汰，比赛成绩为 0 分；若至少答对一题， 则该队进入第二阶段. 第二阶段由该队的另一名队员答 3 道题， 每次答对得 5 分， 答错得 0 分. 该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成， 设甲每题答对的概率为 ，乙每题答对的概率为 ，各题答对与否相互独立. 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由_____参加第一阶段比赛.
14. 已知，则________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 设 的内角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)求角 ；
(2)若 的面积为 ，求 的外接圆半径
16. 已知函数.
(1)当时，判断有无极值点，并说明理由；
(2)当时，判断函数在上的零点个数并给出证明.
17. 在直四棱柱 中，底面为平行四边形，， 在上，，在上，,在上， ， 为棱上的动点，、分别是二面角 和二面角的平面角.
(1)当为棱的中点时，
(i)证明: 平面；
(ii) 为底面 (包括边界)内的一个动点，且到平面 的距离等于到直线 的距离，最大时,确定的位置；
(2)当最小时，求 .
18. 一种特殊的单细胞生物在一个生命周期后有的概率分裂为两个新细胞，的概率分裂为一个新细胞，随后自身消亡. 新细胞按相同的方式分裂，并且每个细胞的分裂情况相互独立， 如此繁衍下去. 某实验人员开始观察一个该种单细胞生物经过个生命周期的分裂情况，将第个生命周期后的活细胞总数记为随机变量.
(1)若，
（i）求随机变量的分布列和期望;
（ii）求事件 “” 的概率;
(2)已知在的条件下，的期望称为条件期望，其定义为，试求条件期望和的期望.
19. 设是由直线构成的集合，对于曲线，若上任意一点处的切线均在中，且中的任意一条直线都是上某点处的切线，则称为的包络曲线.
(1)已知圆为的包络曲线，判断直线（为常数，）与集合的关系；
(2)已知的包络曲线为，直线.设与的公共点分别为，记的焦点为.
①证明：是、的等比中项；
②若点在圆上，求的最大值.
山东省淄博市张店区2025届高三仿真试题（三模）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、平面向量、计数原理与概率统计、函数与导数、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、数列、平面解析几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．7
B．9
C．11
D．13
A．4
B．5
C．6
D．7
A．
B．
C．
D．
A．，
B．，
C．，
D．，
A．
B．1
C．2
D．4
A．数列的公差为2
B．取最小值时，
C．
D．数列的前10项和为50
A．若企业9月份物流成本预计为85万元，预测9月企业利润约为117.7万元
B．1月到8月企业的月平均利润约为115万元
C．数据对应的残差为1.8
D．删除一组数据后，重新求得的回归直线的斜率变小
A．已知点 ，点 ，把点绕点逆时针旋转 得到点
B．斜椭圆 的离心率是
C．斜椭圆 方程是
D．过斜椭圆 在第一象限内的焦点作斜率为 的直线，与斜椭圆交于点 ，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
4
适中
7
较难
5
困难
2
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数的除法运算；复数的乘方；共轭复数的概念及计算
3
0.85
相等向量；数量积的运算律；判断命题的充分不必要条件
4
0.85
分步乘法计数原理及简单应用；实际问题中的组合计数问题
5
0.65
指数式与对数式的互化；指数函数模型的应用（2）
6
0.65
棱台表面积的有关计算；求线面角；证明线面垂直
7
0.65
函数奇偶性的应用；三角函数的化简、求值——诱导公式；分段函数的性质及应用
8
0.4
函数奇偶性的定义与判断；根据函数零点的个数求参数范围；函数奇偶性的应用；求余弦（型）函数的奇偶性
二、多选题
9
0.85
等差数列通项公式的基本量计算；求等差数列前n项和的最值；求等差数列前n项和；含绝对值的等差数列前n项和
10
0.65
求回归直线方程；根据回归方程进行数据估计；残差的计算；计算样本的中心点
11
0.4
求椭圆的离心率或离心率的取值范围；求椭圆中的弦长；圆锥曲线新定义
三、填空题
12
0.65
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；导数的运算法则
13
0.4
求离散型随机变量的均值
14
0.65
和差化积公式
四、解答题
15
0.65
正弦定理求外接圆半径；三角形面积公式及其应用；用和、差角的正弦公式化简、求值；正弦定理边角互化的应用
16
0.4
函数单调性、极值与最值的综合应用；利用导数研究函数的零点；简单复合函数的导数；由导数求函数的最值（不含参）
17
0.4
用和、差角的正切公式化简、求值；证明线面垂直；求点面距离；求二面角
18
0.15
写出简单离散型随机变量分布列；利用全概率公式求概率；求等比数列前n项和；求离散型随机变量的均值
19
0.15
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；求直线与抛物线相交所得弦的弦长；判断直线与圆的位置关系；圆锥曲线新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,3
2
复数
2
3
平面向量
3
4
计数原理与概率统计
4,10,13,18
5
函数与导数
5,7,8,12,16,19
6
空间向量与立体几何
6,17
7
三角函数与解三角形
7,8,14,15,17
8
数列
9,18
9
平面解析几何
11,19