湖北省华中师范大学附属中学2025届高三下综合测试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
1. 设集合，，若，则（ ）．
2. 已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
3. 函数在上的最小值为（ ）
4. 某射击运动员连续射击5次，命中的环数（环数为整数）形成的一组数据中，中位数为8，唯一的众数为9，极差为3，则该组数据的平均数为（ ）
5. 过抛物线的焦点，且与直线垂直的直线方程为（ ）
6. 已知圆，过点的直线l与圆O交于B，C两点，且，则（ ）
7. 在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（ ）
8. 设函数.若，则的最小值为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. （多选题）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（ ）
10. 已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（ ）
11. 若函数有三个零点，则下列说法中正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 由样本数据，求得回归直线方程为，且，若去除偏离点（4，10）后，得到新的回归直线方程为，则去除偏离点后，相应于样本点的残差值为______.
13. 在中，是边的中点，连接，则______.
14. 两位同学在研究三角形时，分别用三角形的周长和面积刻画三角形三个顶点的“集中程度”，你认为这两位同学的刻画方式更合适的是___________，请你再给出一种刻画三角形三个顶点的“集中程度”的方式__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 记为等比数列的前项和，已知，，数列是公差为1的等差数列，且=，数列满足.
(1)求数列和的通项公式；
(2)求数列的最小值及取得最小值时的值．
16. 盒中有四张卡片，分别标有数字，现从盒中任取两张卡片．
(1)求两张卡片的数字之积为偶数的概率；
(2)取后放回，重复操作次，记取到两张卡片上标有的数字中有偶数、有奇数、既有偶数又有奇数的次数分别为，求：（结果用含的代数式表达）.
17. 已知三棱台（图2）的平面展开图（图1）中，和均为边长为2的等边三角形，B、C分别为AE、AF的中点，，，在三棱台ABC-DEF中
(1)求证：；
(2)求平面ABC与平面ACFD所成二面角的正弦值．
18. 已知焦点在轴的双曲线C的两条渐近线互相垂直，且经过点 ．
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)设，直线l与C的两支交于两点（在第一象限），与y轴交于点Q，记直线的斜率分别为 .
（i）求直线PQ的斜率k（用表示）；
（ii）若，求的坐标.
19. 已知函数.
(1)当时.
（i）判断在上极值点的个数，并说明理由；
（ii）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，求证：
(2)当时，直线为曲线y的“双重切线”，记直线的斜率所有可能的取值为，若，证明：.
已知：若函数图象上恰好存在相异的两点P、Q，满足曲线在P和Q处的切线重合，则称P、Q为曲线y的“双重切线”，直线PQ为曲线的“双重切线”.
湖北省华中师范大学附属中学2025届高三综合测试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计、平面解析几何、平面向量、空间向量与立体几何、数列、函数与导数
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．2
B．1
C．
D．
A．
B．1
C．
D．3
A．－1
B．
C．
D．
A．7.6
B．7.8
C．8
D．8.2
A．
B．
C．
D．
A．2
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．－2
B．
C．1
D．－1
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．若成等差数列，则
D．若成等比数列，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
3
较易
7
适中
6
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
根据集合的包含关系求参数
2
0.85
复数代数形式的乘法运算；根据相等条件求参数
3
0.94
求含sinx(型)函数的值域和最值
4
0.85
计算几个数的平均数；计算几个数据的极差、方差、标准差
5
0.85
由两条直线垂直求方程；根据抛物线方程求焦点或准线
6
0.65
用定义求向量的数量积；已知数量积求模；由直线与圆的位置关系求参数
7
0.85
线面角的向量求法
8
0.65
由正弦（型）函数的值域（最值）求参数；二倍角的余弦公式；辅助角公式
二、多选题
9
0.94
由坐标解决三点共线问题；由向量共线（平行）求参数
10
0.94
等比数列的定义
11
0.4
根据函数零点的个数求参数范围；导数的运算法则；利用导数研究函数的零点；等差中项的应用
三、填空题
12
0.85
残差的计算；根据样本中心点求参数；计算样本的中心点
13
0.65
正弦定理解三角形；余弦定理解三角形；用和、差角的余弦公式化简、求值
14
0.85
三角形面积公式及其应用
四、解答题
15
0.65
等比数列通项公式的基本量计算；分组（并项）法求和；等差数列通项公式的基本量计算；求等比数列前n项和
16
0.65
实际问题中的组合计数问题；求离散型随机变量的均值；计算古典概型问题的概率；二项分布的均值
17
0.65
线面垂直证明线线垂直；面面角的向量求法；证明线面垂直
18
0.4
斜率公式的应用；两条直线的到（夹）角公式；根据a、b、c求双曲线的标准方程；根据韦达定理求参数
19
0.15
求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；利用导数证明不等式；利用正切函数的单调性求参数；求已知函数的极值点
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
复数
2
3
三角函数与解三角形
3,8,13,14,19
4
计数原理与概率统计
4,12,16
5
平面解析几何
5,6,18
6
平面向量
6,9
7
空间向量与立体几何
7,17
8
数列
10,11,15
9
函数与导数
11,19