湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三下学期开学检测-数学试卷（含答案）

这是一份湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学2025届高三下学期开学检测-数学试卷（含答案），共16页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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-

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高三数学限时训练
时限：120 分钟
满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．）
．已知集合A  x 1  x  1，B  x a 1  x  2a 1，若B  A，则实数 取值范围是（ ）
a
1
A．a 1
B．a  1
C．0  a 1
D．0  a  1
【
答案】A
．已知m,n, p,qN* ，且数列a 是等比数列，则“a a  a a ”是“
m  n  p  q
”的（ ）
2
n
m
n
p
q
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分又不必要条件
C．充要条件
【
答案】B
．设函数 f x  mx2  mx 1，命题“x1, 3, f x m  2”
是假命题，则实数 的取值范围为（ ）
3
m
．


3
7
 3
C． ,
 7 

A．, 
B．,3
D．3,
【
答案】D
1
2
1
3
4
．a  0,b  0,

1，则

的最小值为（ ）
a
b
a 1 b  2
A．
B．2 3
C． 6
D．6
3
【
答案】C

．阅读材料：空间直角坐标系O xyz 中，过点Px , y , z 且一个法向量为n  a,b,c的平面 的方程为
5
0
0
0

b y y0 c z
        
0 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线l 是两平面x 3y


a x
x
z
7
0与
0
0
4
y  2z 1  0 的交线，则下列向量可以为直线l 的方向向量的是（ ）
A．(3,1, 2)
B．(3,1,2)
C．(2,1, 3)
D．(2,1,3)
【
答案】B
2
．已知函数 f x 3x3  ex 1
 2，且 f a2  f 3a  4 2 ，则实数 的取值范围是（ ）
 
a
6
A．4,1
B．,14,
C．,4  1,
 
D．1, 4
【
答案】C
高三年级数学试题 第1页 共4 页

-

．设m R ，过定点A 的动直线x  my  0和过定点B 的动直线mx  y  m  3  0 交于点P ，点P 到直线
7
x 3y  9  0
d
d
(
)
的距离为 ，则 的取值范围为
A．[0, 10)
答案】A
．在ABC 中，a2  b2  c2  2 3absin C ，则ABC 的形状是（ ）
B．[0, 10] C．[0, 2 10)
D．[0, 2 10]
【
8
A．等腰直角三角形
答案】D
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
【
【
详解】在ABC 中，a2 b2 c2  2 3absinC ，
又由余弦定理知，b2  a2  c2  2abcsC ，

两式相加得： 2(a2  b2 )  2ab( 3sinC  csC)  4absin(C  ) ，
6

a
2
 b2 2ab





sin(C  ) 

1（当且仅当c  b 时取“ ” )，又sin(C  )1 ，
6
2ab
2ab
6

sin(C  )  1（当且仅当a  b 时成立），C 为 ABC 的内角，
6



C 

，C 
，又a  b ，
6
2
3
ABC 的形状为等边△．故选： D ．
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要
求的．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．）
9
．下列说法正确的是（ ）
A．在使用经验回归方程进行预测时，经验回归方程只适用于所研究的样本的总体
n

i
i
(y  yˆ )2
B．决定系数R2 1 in1
，可以作为衡量一个模型拟合效果的指标，它越大说明拟合效果越好

y
 2

yi
i1
C．样本相关系数r[1,1]，当r  0 时，表明成对样本数据间没有相关关系



D．经验回归方程y  3x 1相对于点 2, 6.5 的残差为－0.5
【
答案】ABD
1
0．声音中包含着正弦函数，声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波.每个音都是由纯音合成的，
纯音的数学模型是y  Asint .其中响度与振幅有关，振幅越大，响度越大.音调与频率有关，频率低的声
高三年级数学试题 第2页 共4 页

音低沉，频率高的声音尖锐，我们平时听到的音乐函数是y  sin x  1
1
1
sin 2x  sin 3x  sin 4x ，某声
2
3
4
音函数 f (x)  sin x  1
1
sin 2x  sin 3x ，下列说法正确的是（ ）
2
3


π π 
6 6 
A．函数 f (x) 在区间
,
 单调递增
B．函数 f (x) 的最小正周期为2π
C．函数 f (x) 的声音比纯音g(x)  sin 2x 的尖锐
D．函数 f (x) 的响度比纯音g(x)  sin 2x 的响度大
答案】ABD
【
【


π π 
 时，sin x, sin 2x,sin 3x 均单调递增，
详解】选项A：当x  
,
6 6 


π π 
6 6 
1
1
则当x  
,
 时， f (x)  sin x  sin 2x  sin 3x 单调递增.判断正确；
2
3
2
π
选项B：y  sin x, y  sin 2x, y  sin 3x 的最小正周期分别为2π, π, ，
3
则函数 f (x) 的最小正周期为2π. 判断正确；
1
选项C：函数 f (x) 的周期为2π，频率为 ；
2
π
1
1
1
函数g(x) 的周期为π，频率为 ，由
 ，
π
2π
π
可得函数 f (x) 的声音比纯音g(x)  sin 2x 的低沉.判断错误；
选项D：g(x)  sin 2x 的振幅为1，
π
π
1


π  1
f ( )  sin  sin2  sin3  
3  3 3 


π 
3
3
3 3
4


1，
3
3
2
2
4
则函数 f (x) 的振幅大于g(x) 的振幅，
则函数 f (x) 的响度比纯音g(x)  sin 2x 的响度大.判断正确. 故选：ABD
1
1．如图，在直四棱柱ABCD  A B C D 中，底面ABCD 为菱形， BAD  60 , AB  AA  2, P 为CC 的中
1
1
1
1
1
1



DC

 
0,1 ,


0,1
  
点，点Q 满足
DQ


 
DD
，则下列结论正确的是（ ）
1
高三年级数学试题 第3页 共4 页

1
A．若    ，则四面体A BPQ 的体积为定值
1
3
B．若A1Q  5 ，则点Q 的轨迹为一段圆弧
 

C．若△A BQ 的外心为O ，则A B AO为定值2
1
1
1
1
D．若  1且  ，则存在点E  A B ，使得AE  EQ的最小值为
1
2
9
 2 10
答案】ABD
【详解】A 选项，在CD,DD 上分别取F,W
【
，使得DF  1
DC ，DW  DD
1
，
1
1
3
3






因为DQ  DC  DD ，所以DQ  3DF  3DW ，
1

因为    ，所以3  3 1，即DQ  3DF  13DW ，


1
3
 




故DQ  DW  3DF 3DW ，即WQ  3WF ，
所以W,Q, F 三点共线，
因为WF / /CD
，
A B / /CD1，所以WF / /AB
，
1
1
1
故WF / / 平面PA1B ，故点Q 为平面PA1B 的距离为定值，
又S A BPQ
为定值，故四面体
的体积为定值，A 正确；

PA1B
1
B 选项，取AB 的中点R ，因为底面ABCD 为菱形，BAD  60 ，故DR DC ，
⊥
以D 为坐标原点，以DR ，DC,DD
分别为
x, y, z
轴，建立空间直角坐标系，
1

, 1,2
 
  
Q 0,2 ,2
AQ  32 1 2 2  5
，则
故 A
3
，设
2
2
，
1
1



DQ  DC  DD   0,1, 0,1
化简得2 12  2  22  2 ，点Q 满足
，
1
即点Q 在正方形CDD C 内，包括边界，
1
1
故Q 点的轨迹为以S 1, 2为圆心， 2 为半径的圆，落在正方形CDD1C1 内的部分，
高三年级数学试题 第4页 共4 页

如图所示：
因为SH  2 ，SD1 1，故D1H  21 1，
π
故SD1H 为等腰直角三角形，S 
4 ，
故点Q 的轨迹长度为π
2π ，B 正确；
4
 2 
4
C 选项，取A B 的中点T ，因为△A BQ 的外心为O，所以OT A B ，
⊥
1
1
1

   
又题意得A B  A A2  AB2  2 2 ，则
A B AO  A B  AT  2 2  2  4
，C 错误；
1
1
1
1
1
1
  1 
1
D 选项，若  1且  ，DQ  DC  DD ，
1
2
2

1
即DQ  0, 2, 0 0, 0, 2 0, 2,1，即 
，
Q 0, 2,1
2

, 1,2 ，B
 

3,1, 0


又 A
3
E x , y , z
，设
1
，
1
1
1



  
设EB  aA B  0, 2a,2a,a0,1，即


 
0, 2a, 2a
，
3
x ,1 y , z
1
1
1
1


AE  EQ  2 2a  4a  32a 1 12a
解得x  3, y 12a, z  2a，即
E
3,1 2a,2a
，
2
2
2
2
1
1
1


2


1 
2 
1
5


8a2 8a  4  8a2  5  2 2  a     a2

，

4
8 


如图所示，
设KJ  1
10
1
,GV 
, JG  ，且KJ ⊥ JG ，JG ⊥GV ，
2
4
2
1
在线段JG 上取一点L ，设GL  a ，则LJ   a ，
2
2


1

1
5
故KL VL  a     a2  ，
2 
4
8
显然，直接连接KV ，此时KL VL 取得最小值，最小值即为KV ，
2


1
2
10
1
4
9
8
10
4
由勾股定理得KV  

 


，


4 



2


1 
2 
1
5
9
10
AE  EQ  2 2  a     a2


故
的最小值为2 2


9 2 10 ， 正确.

D

4
8 
8
4


故选：ABD
高三年级数学试题 第5页 共4 页

三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）



2．已知a  1, 2，b  x,4，若a 与b 的夹角是钝角，则实数 的取值范围是
答案】
1a  0,b  0的一个实轴顶点，B,C 为Γ 的渐近线上的两点，满足
3．设A 为双曲线Γ:

x
1
．
,22,8
【
x2 y2
a2 b2
1




AC  a ，则Γ 的渐近线方程是
BC  4AC ，
．
【
答案】 2x  y  0
1
4．一只口袋装有形状、大小完全相同的3 只小球，其中红球、黄球、黑球各1 只．现从口袋中先后有

X，X为奇数
放回地取球2n 次n  N* ，且每次取1 只球，X 表示2n 次取球中取到红球的次数，Y  
，

0，X为偶数
则X 的数学期望为
（用n 表示），Y 的数学期望为
（用n 表示）．
2
n
n
n

【
【
答案】
3
3 32n


1 
3 
  2n
E X 
X  B2n, ,Y  0,1, 0, 3,0, 2n 1,0
详解】由题知
，则
3
1
 2n1
 3  2n3
 2n1  1
2n1
2n

1

2
1
2
1
2

 
1
2
 3C    
3
2n
2n 1 C    
   
E Y 1 C    
n
   
3
3
 3   
3
 3   
3
1

C1 22n1  3C3 22n3  2n 1C2n1 21 
2n 2n 2n


3
2n
2
n


kCk  2nCk1 ,E Y  
C02n1 22n1  C22n122n3  C22nn12 21 ，
2
n
2n1
32n
(2 1)2n1  C02n122n1  C12n1 22n2  C22n122n3  C22nn12 21  C22nn1120
，
(2 1)2n1  C2
0
22n1  C12n122n2  C22n122n3  C22nn12 21  C22nn1120
，
n1
3
2n1 1
2n 32n1 1
n
n

C02n122n1 C22n122n3 C22nn12 21 
,EY  



.
2
32n
2
3
32n
n
n
32n

故答案为：
.
3
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
f x  x3  ax2 bx  a2(a,bR)
1
5．已知函数  
1）若函数 f x在
x 1
b
（
处有极值为10，求 的值；
高三年级数学试题 第6页 共4 页

2）对任意a [1,) ， f x在区间0, 2
（
单调递增，求b 的最小值；
【
【
答案】（1）b＝－11 （2）16
3
详解】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

     
f 1 3 2a
b
0
于是，根据题设有{

      10，
a2
f 1 1 a
b
a  4
a  3
或{
b  3
解得{
.
b  11
a  4
当{
时，f′(x)＝3x2＋8x－11， ＝ ＋132>0，所以函数有极值点；
Δ
64
b  11
a  3
当{
时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．
b  3
所以b＝－11.
(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0 对任意的a [－1，＋∞)，x (0,2)都成立，
∈
∈
所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0 对任意的a∈[－1，＋∞)，x∈(0,2)都成立．
因为x>0，所以F(a)在a∈[－1，＋∞)上为单调递增函数
F(a)min＝F(－1)＝－2x＋3x2＋b≥0，
即b≥(－3x2＋2x)max 对任意x∈(0,2)都成立，
又－3x2＋2x＝－3(x－ 1
1 1
)2＋
≤ ，
3
3 3
1
1
1
3
所以当x＝ 时，(－3x2＋2x) ＝ ，所以b≥
.
max
3
3
所以b 的最小值为1
.
3
1
6．在五面体ABCDEF 中，CD  平面ADE ，EF  平面ADE ．
（
（
．
1）求证：AB//CD ；
2）若AB  2AD  2EF  2，DE 1，ADE  CBF  90 ，求二面角A BF C 的大小.
5
π
【
【
答案】(1)证明见解析 (2)
6
详解】（1）证明：因为CD  平面ADE ，EF  平面ADE ，所以CD / /EF ，
因为CD  平面ABEF ，EF  平面ABEF ，
高三年级数学试题 第7页 共4 页

所以CD / / 平面ABEF ，
因为平面ABEF  平面ABCD  AB ，AB  平面ABCD ，
所以AB / /CD ．
2）由于CD  平面ADE ，AB / /CD ，所以AB  平面ADE ，AE  平面ADE ，故AB  AE ,
（
又因为CD  平面ADE ，AD, ED  平面ADE ，
所以CD  AD,CD  ED ，
x
y
z
如图以D 为坐标原点，DA,DC,DE 所在的直线分别为 ， ， 轴建系，
设DC  c ，则  ，
 


 
 


A 1, 0,0 ,B 1, 2,0 ,D 0,0,0 ,C 0,c,0 ,E 0, 0,1 ,F 0,1,1


故BF  1,1, 1,BC  1,c  2, 0,
 
由于CBF  90，所以BF  BC  1,1,11,c  2, 01 2 c  0，故c  3，


m(x y
n(x y
, z2 ) ，
2
设平面BFA的法向量为
 
,
, z1)，平面BFC 的法向量为
,
1
1
2

因为AB  0, 2,0，BF  1,1,1，
 





x1 y1 z1 0,
2y1  0,



x 1，则m  (1, 0,1) ，
令
1


因为BC  1,1, 0，BF  1,1,1，

 




x2 y2 0,
所以  ，即

x  y  z  0,
BF n  0

2
2
2

x 1
2
n  (1,1, 2)
，
令
，则
设A BF C 成的角为 ，由图可知 为钝角，


mn
cs      
3
3
，故  5π
 
所以
m n
2  6
2
6
1
7．已知数列a 为等差数列，前n 项和为S ，且S  60,a 3a  48 ．
n
n
6
3
5
数列 满足：
（nN ）
b
2n b  2n1b   2b  3n 1
n
1
2
n
高三年级数学试题 第8页 共4 页

1）求数列   的通项公式；
a 、b
（
（
n
n
2bn
1 2a
   
2
c 
n
c 
n
T
2）若
，求数列
的前 项和 ．
n
n
an an1
n
a
【
由
详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
a
d
n
1

65
6a1 
d  60
a1  5
d  2

S  60,a 3a  48
 
，可得

2
，
6
3
5

a1 2d 3 a 4d 48
   



1
故数列 的通项公式为
a  5n 12  2n3.
n
a
n
1
2
n
b1  2n1b  2b  3n 1，两边同时乘以 ，
2
n
n
2
1
2
1
2n1
1
3n 1
b 
1
b2 
bn 
则
2n
当n 1时，
b 1
，
1
1
1
2n2
1
2n1
3
n1

当n  2 时，
b  b2 
bn1

1 ，
1
2
1
2n1
1
1
2n1
3n1 1
3n1 1
3n1 1 
两式相减，可得
b  3n 1
，所以bn 
，
n
n
2n
2
2
3
n1 1
当n 1时，
b 1
1
，故 满足 ，故
b 
b
b
.
1
n
n
2
2bn
 
2
 
3n1

 
4n 4
1 2a
3
n
3n1
c 
n
n
=


（
2）
，


   
2n 3 2n 5
2n  5 2n  3
a a
n
n1
T =c  c  c  c  cn
所以
n
1
2
3
n1
3
1 32 3 33 32
3n1
3n2
3n
3n1
=
=
 +  +

++

+

7
5
9
3n
7 11
9
2n 3 2n 1 2n 5 2n3
1
 +
.
5
2n5
1
3n
2n5
故T =  +
.
n
5
1
1
8．为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中 的人计
3
2
划只参观黄鹤楼，另外 的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁．每位游客若只参观黄鹤楼，则记1 分；若
3
既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记 2 分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，
视频率为概率．
（
1）从游客中随机抽取2 人，记这2 人的合计得分为X ，求X 的分布列和数学期望；
高三年级数学试题 第9页 共4 页

n

2）从游客中随机抽取n 人n N ，记这 人的合计得分恰为n 1分的概率为 ，求

P
n
P
i
（
n

；
i1
（
3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n 分的概率为 ，求数列
a
{a }
的通项公式
n
n
【
详解】（1）由题意得，随机变量X 的可能取值为2，3，4，
2
2


1

1
1
2
3
4
9

2

4
9
可得P(X  2)     ，
P(X  3)  C1    ，P(X  4)    
.
2
3 
9
3
 3 
所以X 的分布列如下表所示：
X
P
2
3
4
1
9
4
9
4
9
1
4
4
9
10
3
所以，数学期望为E(X )  2  3  4

.
9
9
n

（
2）由这 人的合计得分为n 1分，则其中只有1 人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，

1
n1
2n
3n
n
2
3
2 2 2 3


2n
 ，
2

所以Pn  C1n   

,
Pi 


3
 3 
3
2
3
3
3
n
i1
1
3
n
2
2 2 23
2n


Pi 



则
，
3
2
3
3
3
4
3n1
i1
1
1

2
3
n
2
3
2
2
2
2n
2
3
n
2n

3 

P
i







由两式相减，可得
，
3
2
3
3
3n 3n
1
1
3n1
i1
1
3
n
3 
Pi  1  
1 
n
3n

所以
.
2

3n

i1
3）在随机抽取的若干人的合计得分为n 1分的基础上再抽取1 人，则这些人的合计得分可能为 分或
n
（
n  1分，
n

记“合计得 分”为事件A，“合计得n 1分”为事件B ，A 与B 是对立事件，
2
因为P(A)  an ，P(B)  an1 ，
3
2
3
2 
3 
3 
5 
所以an  an1  1(n  2) ，即
a    a  (n  2)
，
n
n1
3
5
1
3
5
1
3
3
5
4
因为a  ，a 


  ，
1
1
3
15


3
4
2
则数列a  是首项为 ，公比为 的等比数列，
n
5

15
3
高三年级数学试题 第10页 共4 页


3
4


2
3
n1

4


2
3
n1

3
5
所以an  5
 
  (n 1)，an      (n 1)
15
15
1
9．如图，已知圆锥PO的高PO与母线所成的角为 ，过A1 的平面与圆锥的高所成的角为 ，该平面截这
个圆锥所得的截面为椭圆 ，椭圆 的长轴为A A ，短轴为B B ，长轴长为2 a ， 的中心为N ，再以B B
C
C
C
1
2
1
2
1
2
为弦且垂直于PO的圆截面，记该圆与直线PA 交于C ，与直线PA 交于C ，
1
1
2
2
a,,
| NC | | NC2 |
（
1）用
分别表示
，
1
1
1
2）若cs  ,cs  ，a  3，
（
（
（
3
9
i）求椭圆 的焦距；
C
C
ii）椭圆 左右焦点分别为F , F ， 上不同两点
C
D, E 在长轴同侧，且
1
2
DF / /EF ，设直线F E,F D 交于点Q，记
S
QDE
 s ，
1
2
1
2
设S
 f (s)，请写出 f (s) 的解析式（不要求求出定义域）
四边形EDF1F
2
asin(  )
asin( )
1
9．【答案】（1）| C1N |
，| C2 N |
cs
cs
5
76s
128
（
【
2）（i）2 （ii）
f (s) 
9
s
2

A C N

   , NA

解析】（1 ）在
中，
C A N
a
，由正弦定理得
1
1
1
1
1
NA sinC A N asin(  ) asin(  )
|
C1N |
1
1
1



sin PC N

cs
sin( )
1
2
asin( )
同理，在A C N
中，由正弦定理得| C2 N |
…………………………2 分
2
2
cs
C ,C ,B ,B
四点所构成的圆中，由圆幂定理得
（
2）（i）在点
1
2
1
2
a
2
sin( )sin( )
b
2
| NB1 |2
| NC || NC |
1
2
cs2

1
cs 2  cs 2]
cs
cs
1
3
[
b
a
2
2
sin( ) sin( )
cs 
cs
e 

e2 1
1
1 2

(
)
2
cs2

cs2

又a  3c 1,
故求椭圆C 的焦距2c 为 2
……………………………………6 分
高三年级数学试题 第11页 共4 页


 

（


ii）依题意，设F D  F E
( 0)，
1
2
1

1
SDQE  SF1QF2  s
SEF1F2  (1 )S
 (1 )s
QF1F2

1

1

SEQF  SEF1F2  SQF1F2  (1 1)s 
s
2

SDQF  2SEQF  s
1
2
1



S
 f (s)  (   2) s ………………………………………………………………………9 分
四边形EDF1F2
 
以 N 为坐标原点，以向量 A A ，B B 方向分别为 x 轴， y 轴正方向，建立平面直角坐标系，则
1
2
1
2
x
2
y
2
C :

1………………………………………………………………………………………………10 分
9
8

 

延长DF
交 于 点，由对称性知
C
E
DF  F E
，
1
1
1
1
1

x1  x
 x2
y
1
2

1
2


1
1
1



 
 9
x
2
1
9
y
2
1
8
x
2
2
9
y
2
2
8
1
8
D(x , y ),E (x , y )

(

)  
2
(

) 1 
2
设
，则
1
1
1
2
2
 y1  y2
x
2
2
9
y
2
2
8


0



1 

x1  4 5
(x  x )(x  x ) (y   y )(y   y )

即

1
2
1
2
1 
2
x x  9( 1)

4

1
2
1
2
1
2
 5
9
8
x

2
x
2
1
9
(4 5)2

SDF1F2  ( 1)s  c | y || y |
( 1)2 s2  y1
2
 8(1
)  8[1
]
1
1
9


9( 1)2 s2  9(  2 1)s2
2
8[9  (4 5)2 ]  8(16
2
 40 16)  64(2  5  2)
2
1

2

1

两边同除以 ，得9(   2)s2  64(2   5) 设t     2，其中t  4，则有
6
49
128
9ts2  64(2t 9) 可得t 
………………………………………………………………15 分
9
s
2
1

649s
9s2 128 9s2 128
576s

f (s)  (   2) s  t s 

…………………………………………………17 分
高三年级数学试题 第12页 共4 页