北京市北京大学附属中学2025届高三下学期5月三模检测数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)
1. 已知集合， 则（ ）
2. 若复数z满足 ，则复数z的共轭复数 （ ）
3. 在的展开式中，的系数为（ ）．
4. 已知 则下面结论正确的是（ ）
5. 设是非零平面向量， 则“”是“”的（ ）
6. 经过点，半径为2的圆的圆心为A，则点A到直线的距离最大值为（ ）
7. 已知平面，直线，则下面结论正确的是（ ）
8. 已知集合则集合M的元素个数为（ ）
9. 已知 是函数的图象上两个不同的点 则下面结论正确的是（ ）
10. 已知 图形T的面积为S，给出下列四个结论： ① T是中心对称图形② T 是轴对称图形③ S=1④ S=2其中所有正确的结论是（ ）
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分)
11. 抛物线 的准线方程为____
12. 若双曲线 的离心率小于3，则m的一个取值为_______.
13. 已知单位向量满足，则的模为________.
14. 为保证某水域内鱼类资源的可持续发展，需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记为第n年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第n年鱼类的自然繁殖量与成正比，自然死亡量与成正比，捕捞量与成正比，比例系数分别为，则和的关系式为______________；若，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的为______________.
15. 如图，已知棱长为2的正方体中，动点M ， N， P ， Q分别在棱，， ， 上， 且满足， ， 设.给出下列四个结论：
①当时， 则四面体的表面积为8:
② 存在m、n，使得四面体的表面积为9；
③当 时，四面体的体积为
④ 四面体.的体积与m、n无关.
其中所有正确结论的序号为______________.
三、解答题(本大题共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分)
16. 在△ABC中,
(1)求∠B；
(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的周长.
条件①: ；
条件②：△ABC的面积为；
条件③：AC边上的高等于
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 如图，在四棱柱 中， 侧面和底面均为菱形， 且 为的中点，与平面 交于点，
(1) 求证: 为的中点；
(2) 若平面平面，求二面角 的余弦值.
18. 某老师为了解班里甲、乙两位同学的数学学习情况，从他们的数学小练习成绩中各随机抽取10份，.获得数据如下表：
已知数学小练习满分为10分，最低分为0分.若小练习得分不低于7.5分视为“得分达到良好”，若小练习得分不低于8.5分视为“得分达到优秀”. 假设用频率估计概率，且甲和乙小练习成绩相互独立.
(1)从甲同学的样本中随机抽取1个，求“得分达到良好”的概率；
(2)从乙同学的所有数学小练习成绩中随机抽取 3 份，记随机变量X为“得分达到优秀”的次数.估计X的分布列和期望：
(3)样本中，甲、乙两位同学小练习成绩的方差分别为记为和，试比较和的大小（结论不要求证明）.
19. 已知椭圆 过点，焦距为 过点的直线与椭圆交于两个不同的点， 已知点， 为直线上一点， 且直线.
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)求的横坐标.
20. 设函数 ，且在处的切线方程为.
(1) 求k的值；
(2) 求的单调区间；
(3) 设为在点切线方程，是否存在t使得函数单调？若存在，求出所有t的值；如不存在，说明理由.
21. 已知整数数列的项数均为m（m>2），且同时满足以下两个性质：
①；
②
记
(1)若m=3，且，写出的值；
(2)记其中表示集合A中元素的最大值.
（i）若，，求的最大值；
（ii）当时，若，求Q的最小值.
北京市北京大学附属中学2025届高三下学期5月三模检测数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、复数、计数原理与概率统计、函数与导数、平面向量、平面解析几何、空间向量与立体几何、三角函数与解三角形、数列、推理与证明
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
第20题：
第21题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．5
C．
D．10
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．若，则；
B．若，则；·
C．若，则；
D．若，则；
A．2
B．4
C．6
D．8
A．
B．
C．
D．
A．①③
B．①④
C．②③
D．②④
甲同学
8
6.5
6
6
7.5
8
8
5.5
9
7.5
乙同学
6
7
7
7.5
7.5
8.5
9
7
9.5
9
题型
数量
单选题
10
填空题
5
解答题
6
难度
题数
容易
5
较易
6
适中
7
较难
2
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算
2
0.94
共轭复数的概念及计算；复数代数形式的乘法运算
3
0.85
求指定项的系数
4
0.85
比较指数幂的大小；对数函数单调性的应用；比较对数式的大小
5
0.85
判断命题的必要不充分条件；数量积的运算律
6
0.65
直线与圆的位置关系求距离的最值；求点到直线的距离
7
0.85
判断线面平行；空间垂直的转化；空间平行的转化；线面平行的性质
8
0.85
特殊角的三角函数值；由正弦（型）函数的周期性求值
9
0.65
研究对数函数的单调性；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）；基本初等函数的导数公式
10
0.4
由方程求曲线的图形；由方程研究曲线的性质
二、填空题
11
0.94
根据抛物线方程求焦点或准线
12
0.94
由双曲线的离心率求参数的取值范围
13
0.94
已知数量积求模
14
0.65
数列-其他模型
15
0.4
棱锥表面积的有关计算；锥体体积的有关计算；柱体体积的有关计算
三、解答题
16
0.65
三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
17
0.85
面面平行证明线线平行；面面角的向量求法；面面垂直证线面垂直
18
0.65
用方差、标准差说明数据的波动程度；写出简单离散型随机变量分布列；计算古典概型问题的概率；求离散型随机变量的均值
19
0.65
根据椭圆过的点求标准方程；椭圆中向量共线比例问题
20
0.65
利用导数求函数的单调区间（不含参）；由函数的单调区间求参数；求在曲线上一点处的切线方程（斜率）
21
0.15
数列新定义；反证法证明；集合新定义
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,5,21
2
复数
2
3
计数原理与概率统计
3,18
4
函数与导数
4,9,20
5
平面向量
5,13
6
平面解析几何
6,10,11,12,19
7
空间向量与立体几何
7,15,17
8
三角函数与解三角形
8,16
9
数列
14,21
10
推理与证明
21