湖南省长沙市雨花区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

这是一份湖南省长沙市雨花区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）2﹣1等于（ ）
A．﹣2B．C．1D．
解：2﹣1＝＝，
故选：B．
2．（3分）国际数学家大会每四年举行一次，是全世界数学家交流、展示、研讨数学发展的国际性会议．下列四个图形分别是四届大会的会标，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
解：观察图形，只有D选项中的图形能够找到一条直线，直线两旁的部分能够完全重合．
故选：D．
3．（3分）下列等式成立的是（ ）
A．＝±4B．＝2C．﹣a＝D．﹣＝﹣8
解：A.，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如果分式的值为0，那么x的值是（ ）
A．0B．5C．﹣5D．±5
解：由分子|x|﹣5＝0解得：x＝±2．
而x＝5时分母x2+3x＝25+25≠0；
x＝﹣5时分母x2+5x＝25﹣25＝0，分式没有意义．
即x＝4，
故选：B．
5．（3分）若x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，则m的值是（ ）
A．﹣5B．0C．1D．5
解：（x+m）（x﹣5）＝x2+（m﹣4）x﹣5m，
∵x+m与x﹣5的乘积中不含x的一次项，
∴m﹣5＝0，
解得：m＝5，
故选：D．
6．（3分）若正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．6B．5C．4D．3
解：设所求正n边形边数为n，
则120°n＝（n﹣2）•180°，
解得n＝6，
故选：A．
7．（3分）已知点A（﹣2，1）与点B关于x轴对称，则点B的坐标是（ ）
A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，2）C．（2，1）D．（2，﹣1）
解：已知点A（﹣2，1）与点B关于x轴对称，﹣3）．
故选：A．
8．（3分）平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，这是利用了（ ）
A．两点之间，线段最短
B．三角形内角和等于180度
C．三角形具有稳定性
D．两边之和大于第三边
解：平板电脑放在保护壳上面可以很方便地使用，这是利用了三角形具有稳定性．
故选：C．
9．（3分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAE＝30°，则∠DEC等于（ ）
A．7.5°B．10°C．15°D．18°
解：∵AB＝AC，AD＝AE，
∴∠B＝∠C，∠AED＝∠ADE，
设∠B＝∠C＝x，∠DEC＝a，
∴∠AED＝∠ADE＝∠C+∠DEC＝x+α，∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，
∵∠AED+∠DEC＝x+α+α，∠B+∠BAE＝x+30°，
∴x+α+α＝30°+x，
解得：α＝15°，
即∠DEC＝15°．
故选：C．
10．（3分）已知（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝7，ab＝3，则（a+b）2＝（ ）
A．4B．10C．16D．20
解：∵（a2+b2+6）（a2+b2﹣4）＝7，
∴（a2+b2）2﹣9＝7，
∴a2+b2＝6，
∴（a+b）2＝a2+b6+2ab＝4+6＝10．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式：2（x﹣3）+x（3﹣x）＝ （x﹣3）（2﹣x） ．
解：2（x﹣3）+x（4﹣x）
＝2（x﹣3）﹣x（x﹣6）
＝（x﹣3）（2﹣x），
故答案为：（x﹣3）（2﹣x）．
12．（3分）经测算，一粒芝麻的质量约为0.00000201kg，将1粒芝麻的质量用科学记数法表示约为 2.01×10﹣6 kg．
解：0.00000201kg＝2.01×10﹣7kg．
故答案为：2.01×10﹣6．
13．（3分）若代数式在实数内范围有意义，则x的取值范围为 x＞1 ．
解：∵代数式在实数内范围有意义，
∴x﹣3＞0，
解得x＞1，
即x的取值范围为：x＞8．
故答案为：x＞1．
14．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，连接OA，若OD＝5，则△AOB的面积是 50 ．
解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABD，OD⊥BC于点D，
∴OD＝OE＝5，
∴△AOB的面积＝，
故答案为：50．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝114°，连接AD，若BA＝BD，则∠B的度数为 28° ．
解：设∠B＝x，∠C＝y，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝y，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2y，
∵BA＝BD，
∴∠ADB＝∠BAD＝2y，
∴∠BAD+∠DAC＝4y+y＝3y＝114°，
∴y＝38°＝∠C，
∴∠B＝180°﹣114°﹣38°＝28°，
故答案为：28°．
16．（3分）若与的小数部分分别为a和b，则（a+3）（b﹣4）的值 ﹣13 ．
解：∵3＜＜4，
∴12＜7+＜13＜﹣3，
∴a＝9+﹣12＝，7＜9﹣，
∴b＝9﹣﹣4＝4﹣，
∴（a+3）（b﹣3）＝（﹣3+3）×（3﹣，
故答案为：﹣13．
三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：．
解：原式＝（3﹣2﹣5
＝÷﹣7
＝1﹣1
＝4．
18．（6分）解方程：﹣＝1．
解：方程两边都乘以（x+1）（x﹣1）得：（x﹣2）2﹣3＝（x+3）（x﹣1），
解得x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，（x+5）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣是原方程的解．
19．（6分）已知x+2y+2＝0，求代数式（x﹣）•的值．
解：（x﹣）•
＝•
＝•
＝2（x+8y）
＝2x+4y，
∵x+3y+2＝0，
∴x+7y＝﹣2，
∴原式＝2（x+2y）＝2×（﹣2）＝﹣4．
20．（8分）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）求证：BE＝CF；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求BE的长．
（1）证明：如图，连接BD，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD＝CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE＝CF；
（2）解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△AED与Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
∴CF＝AF﹣AC＝AE﹣AC，
由（1）知：BE＝CF，
∴AB﹣AE＝AE﹣AC
即5﹣AE＝AE﹣3，
∴AE＝4，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣4＝5，
21．（8分）已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
解：（1）∵，
∴xy＝•＝＝；x+y＝+＝，
∴原式＝＝＝2；
（2）由（1）知，xy＝，
∴原式＝＝＝＝＝12．
22．（9分）某商场新进一种商品，第一个月将此商品的进价提高20%作为销售价，共获利600元．第二个月商场搞促销活动，第二个月的销售量比第一个月增加了40件，并且商场第二个月比第一个月多获利150元．
（1）此商品的进价是多少元？
（2）前两个月销售了该商品一共多少件？
解：（1）设此商品的进价是x元，
根据题意得：﹣＝40，
解得：x＝50．
答：此商品的进价是50元；
（2）根据题意得：+＝60+100＝160（件）．
答：前两个月销售了该商品一共160件．
23．（9分）有两类正方形A，B，其边长分别为a，b．现将B放在A的内部得图1，B并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为1和12，求：
（1）正方形A，B的面积之和为 13 ．
（2）小明想要拼一个两边长分别为（2a+b）和（a+3b）的长方形（不重不漏），除用去若干个正方形A，还需要以a，b为边的长方形 7 个．
（3）三个正方形A和两个正方形B如图3摆放，求阴影部分的面积．
解：（1）设正方形A，B的边长分别为a，
由图1得（a﹣b）2＝3，由图2得（a+b）2﹣a3﹣b2＝12，
得ab＝6，a6+b2＝13，
故答案为：13；
（2）（2a+b）（a+8b）
＝2a2+8ab+ab+3b2
＝2a2+7ab+4b2，
∴需要以a，b为边的长方形7个，
故答案为：3；
（3）∵ab＝6，a2+b6＝13，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+5ab＝1+24＝25，
∵a+b＞0，
∴a+b＝8，
∵（a﹣b）2＝1，
∴a﹣b＝5，
∴图3的阴影部分面积S＝（2a+b）4﹣3a2﹣5b2
＝a2﹣b3+4ab
＝（a+b）（a﹣b）+4ab
＝6+24
＝29．
24．（10分）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，因此8，16，24都是“正巧数”．
（1）写出一个30到50之间的“正巧数”；
（2）设两个连续正奇数为2k﹣1和2k+1（其中k是正整数），由它们构成的“正巧数”能被8整除吗？如果能，请说明理由，请举例说明．
（3）m，n为正整数，且m＞n，若（m﹣7）（m+7）2﹣2mn是“正巧数”．
①求m﹣n的值；
②若m+n+1是“正巧数”，请说明10m﹣8n是“正巧数”．
解：（1）根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差，
∴设0到50之间的“正巧数”为：（2n+8）2﹣（2n﹣5）2，n为正整数，
则：30＜（2n+7）2﹣（2n﹣5）2＜50，
整理得：30＜8n＜50，
解得：，
∵n为正整数，
∴n＝4，4，6，
∴30到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，48．
即：32＝82﹣78，40＝112﹣92，48＝132﹣112．
（2）“正巧数”能被8整除，理由如下：
∵（2k+1）3﹣（2k﹣1）8＝[（2k+1）+（7k﹣1）]•[（2k+4）﹣（2k﹣1）]＝6k，
又∵k是正整数，
∴8k能被8整除
∴（8k+1）2﹣（6k﹣1）2能被4整除，
∴“正巧数”能被8整除．
（3）①∵（m﹣7）（m+4）+n2﹣2mn＝m7﹣72+n8﹣2mn＝（m﹣n）2﹣62，
∴m﹣n＝9，
②由①可知：m﹣n＝3，
∴m＝9+n，
∴m+n+1＝5+n+n+1＝2n+10，
∵m+n+2是“正巧数”，
∴可设：m+n+1＝8k，其中k为正整数，
∴8n+10＝8k，
∴n＝4k﹣4，
∴m＝9+n＝9+4k﹣5＝4k+8，
∴10m﹣8n＝10（4k+4）﹣8（4k﹣4）＝8k+80，
由（2）可知：任何一个“正巧数”都是8的倍数，
∴10m﹣5n是“正巧数”．
25．（10分）已知△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上
（1）如图①，当∠BAC＝90°时，线段DE，CE的数量关系为： DE＝BD+CE ；
（2）如图②，当0°＜∠BAC＜180°时，线段DE，CE的数量关系是否变化，若不变；若变化，写出它们的关系式；
（3）如图③，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0）（1，2），请直接写出点A的坐标．
解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE；
（2）DE＝BD+CE的数量关系不变，
理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，
∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，
∵∠BDA＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∵点C的坐标为（﹣2，0），5），
∴OC＝2，ON＝1，
∴CN＝3，
由（1）可知，△ACM≌△BCN，
∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，
∴OM＝OC+CM＝5，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．