上海市静安区2023-2024学年九年级上学期期末（一模）数学试题以及答案解析

这是一份上海市静安区2023-2024学年九年级上学期期末（一模）数学试题以及答案解析，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形B．两个圆C．两个菱形D．两个等腰三角形
3．如果直线与轴正半轴的夹角为锐角，那么下列各式正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．在中，点、、分别在边、、上，连接、，如果，，且，那么的值是（ ）
A．3B．C．2D．
5．如果将抛物线平移后得到抛物线，那么它的平移过程可以是（ ）
A．向右平移3个单位，再向上平移3个单位B．向右平移3个单位，再向下平移3个单位
C．向左平移3个单位，再向上平移3个单位D．向左平移3个单位，再向下平移3个单位
6．如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，如果，那么的值等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．0.5的倒数是 ．
8．如果，那么( )
9．已知线段AB的长为2cm，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段PB的长等于 （结果保留根号）．
10．如果二次函数图像对称轴的右侧部分上升，它的开口方向是 .（填“向上”或“向下”）
11．已知抛物线的顶点在轴负半轴上，那么的值为 ．
12．在三角形中，点、分别在边、上，已知，，，那么能否得到？ （填“能”或“否”）
13．如果两个相似三角形对应边上的高之比是，那么它们的周长之比等于 .
14．如图，小红沿坡度的坡面由到行走了26米，那么小红行走的水平距离 米.
15．如图，正方形被5条横线与5条纵线划分成16个全等的小正方形，、是其中两个小正方形的顶点，设，，那么向量 .（用向量、的式子表示）
16．在中，，，将边绕点旋转后，点落在射线上的点处，那么的长为 .
17．如果某函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“点”.根据该约定，下列关于的函数：①，②，③，④中，是“函数”的有 .（请填写函数解析式序号）
18．如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）

三、解答题
19．计算：.
20．如图，在平面直角坐标系中，已知直线经过点，与双曲线交于点B2,1．点在直线上，过点作轴的平行线分别交双曲线和于点、．
(1)求的值和直线的表达式；
(2)联结、．求证：．
21．如图，已知是矩形的对角线，，交延长线于，交于，交于.
(1)求证：点是的重心；
(2)如果，求的正弦值.
22．如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）.此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为.（，）
(1)请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：___________，__________；（精确到“1”）
(2)求热气球上升的垂直高度（即的长）.
23．已知：如图，在中，，D是中点，点E在延长线上，点F在边上，．求证：
(1)；
(2)．
24．在平面直角坐标系中（如图），已知点A−2,0、、、在同一个二次函数的图像上．

(1)请从中选择适当的点坐标，求二次函数解析式；
(2)如果射线平分，交轴于点，
①现将抛物线沿对称轴向下平移，顶点落在线段的点处，求此时抛物线顶点的坐标；
②如果点在射线上，当与相似时，请求点的坐标．
25．已知梯形中，，，，，．点在射线上，点在射线上（点、点均不与点重合），且，连接，设，的面积为.
(1)如图1所示，求的值；
(2)如图2所示，点在线段上，求关于的函数解析式，并写出定义域；
(3)当是等腰三角形时，求的长.
参考答案：
1．D
【分析】本题考查零指数幂，负整数指数幂，根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可，正确计算是解题的关键．
【详解】解：A．，计算错误，故选项不符合题意；
B．，计算错误，故选项不符合题意；
C．，计算错误，故选项不符合题意；
D．，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了相似图形的识别，对应边成比例，对应角相等的图形叫相似图形，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、两个平行四边形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和矩形不相似，不符合题意；
B、两个圆一定相似，符合题意；
C、两个菱形不一定相似，例如没有内角是直角的菱形和正方形不相似，不符合题意；
D、两个等腰三角形不一定相似，例如等腰直角三角形和等边三角形不相似，不符合题意；
故选B．
3．C
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．将图像画出，设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则，即可求解．
【详解】解：设点是直线上的点，设点，过点作轴于点，则，
；
；
；
．
故选C．
4．C
【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据题意画出图形，利用平行线分线段成比例即可得到答案．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故选C．
5．A
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，先求出平移前后抛物线的顶点坐标，再根据点的坐标判断出平移方式即可．
【详解】解：∵平移前抛物线的顶点坐标为，平移后抛物线的顶点坐标为，
∴将抛物线向右平移3个单位，再向上平移3个单位可得到抛物线，
故选A．
6．B
【分析】本题考查了矩形与折叠、勾股定理、等腰三角形的性质，先根据矩形的性质得出，，再根据折叠的性质得出，，，然后根据等边对等角得出，根据余角的定义、等量代换及等角对等边得出，设，根据勾股定理得出，根据线段的和差及勾股定理得出，最后再化简即可得出答案．
【详解】四边形为矩形
，
将矩形沿翻折，
，，
设
在中，
故选B．
7．2
【分析】根据倒数的定义，可得答案．
【详解】解：0.5的倒数是2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查倒数的定义，属于基础题，熟练掌握倒数的定义是解决本题的关键．
8．
【分析】根据即可求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求比，正确计算是解题的关键．
9．3﹣
【分析】根据黄金分割的概念得到AP=AB，把AB=2代入计算求出AP，即可得出答案．
【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），
∴AP＝AB＝×2＝﹣1，
∴PB＝AB﹣AP＝3﹣；
故答案为3﹣．
【点睛】本题考查了黄金分割的概念；熟练掌握黄金分割值是解题的关键．
10．向上
【分析】本题主要考查二次函数的图像，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据对称轴的右侧部分上升即可得到答案．
【详解】解：对称轴的右侧部分上升，
故函数图像在对称轴的右侧单调递增，
它的开口方向是向上．
故答案为：向上．
11．
【分析】此题考查了二次函数的性质，抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点，根据即可求解，解题的关键是正确理解抛物线的顶点在轴上，即有与轴只有一个交点．
【详解】∵抛物线的顶点在轴的负半轴上，
∴抛物线与轴只有一个交点，
∴，
∴，
∵抛物线的顶点在轴的负半轴上，
∴，即，
∴，
故答案为：．
12．否
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，不是和的夹角，不是和的夹角，
∴不能判定，
故不能判定，
∴不能得到，
故答案为：否．
13．
【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形对应边上的高之比等于相似比，周长比也等于相似比，由此可解．
【详解】解：两个相似三角形对应边上的高之比是，
这两个相似三角形的相似比为，
它们的周长之比等于．
故答案为：．
14．24
【分析】本题考查坡度、勾股定理，根据坡度的定义可知，设，则，再用勾股定理解即可．
【详解】解：由题意得，
设，则，
由勾股定理得：，
即，
解得（负值舍去），
，
故答案为：24．
15．
【分析】本题考查了平面向量的知识，根据题意得：，，，，从而得出，，再根据即可得出答案，熟练掌握三角形法则与数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：如图，
，
根据题意得：，，，，
，，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质求出，再利用等面积法求出，即可根据勾股定理求出的值，即可得到答案．
【详解】解：过点作于点，过点作于点，
，，
，
在中，
边绕点旋转后，点落在射线上的点处，
在中，
故答案为：．
17．①②④
【分析】本题主要考查了一次函数，二次函数，反比例函数图像上点的特征，熟练掌握图像上点的特征是解题的关键．根据“函数”的定义即可得到答案．
【详解】解：函数图像上至少存在一对关于原点对称的点，那么约定该函数称之为“函数”，
是“函数”，故①正确；
是“函数”，故②正确；
不是“函数”，故③错误；
是“函数”，故④正确；
故答案为：①②④．
18．
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，

∵
∴，
∵，
∴，设，则，，
∵，
∴，
过点作交的延长线于点，
∴，
∵
∴，
∴
∵
∴，即
∴
解得：
又∵
∴
∴
∴
解得：
∴
∵，，，
∴，则
故答案为：．
19．
【分析】本题考查特殊三角函数值的混合运算，将各角的三角函数值代入计算即可．
【详解】解：
．
20．(1)，直线的解析式为；
(2)见解析
【分析】本题考查的是反比例函数的综合题．
（1）根据点的坐标求得的值，根据点和点B2,1使用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
（2）先求出点、、F坐标，利用两点之间的距离公式证明，，据此求解即可．
【详解】（1）解：因为点B2,1在双曲线上，
所以，
设直线的解析式为y=kx+bk≠0，
代入点和点B2,1，得，
解得，
所以直线的解析式为；
（2）解：由点的坐标可知，点在直线上，
∴，
∴，
∵轴，∴当时，或，
解得或，
∴点的坐标为，点F的坐标为．
由、、B2,1知，，
∴，
∴；
由、、知，，
∴，
∴；
∴；
∴．
21．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查重心的判定，三角函数的定义，熟练掌握求正弦值的方法是解题的关键．
（1）证明是的中线，是的中线即可得到结论．
（2）根据重心的性质得到，求出的值，再根据勾股定理求出答案即可．
【详解】（1）证明：矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
是的中线，
，
，
是的中线，
点是的重心；
（2）解：点是的重心，
，
，，
，
，
，，
，
，
在中，，
．
22．(1)，
(2)80米
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用：
（1）根据俯角的定义标出、，再利用计算器求、的大小；
（2）作于点F，则，，利用锐角三角函数解和即可．
【详解】（1）解：、如图所示，
计算器求得，，
故答案为：，；
（2）解：如图，作于点F，
则，，
，，
，，
，，
，
，
，
解得，
（米），
即热气球上升的垂直高度为80米．
23．(1)证明详见解析；
(2)证明详见解析．
【分析】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，即可．
（1）根据，则，根据，，则，再根据相似三角形的判定，即可；
（2）根据相似三角形的性质，则，根据D是中点，则，再根据，相似三角形的判定即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）证明：∵点D是的中点，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
24．(1)
(2)① ②，
【分析】（1）把解析式设为交点式，再把代入解析式中求解即可；
（2）①过点E作于H，由角平分线的性质得到．利用勾股定理求出，进而利用等面积法求出，则，求出直线解析式为，再求出对称轴为直线，由此即可求出；②先求出，设，则，，分当时， 当时，两种情况根据相似三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设二次函数解析式为，
把代入中得：，
解得，
∴二次函数解析式为；
（2）解：①过点E作于H，
∵射线平分，，
∴，
∵、，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∵二次函数解析式为，
∴对称轴为直线，
在中，当时，，
∴；

②∵，
∴，
设，
∴，，
当时，则，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴；
当时，则，
∴，
∴，
解得或（舍去），
；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
25．(1)
(2)
(3)或或；或
【分析】（1）过点A作交于点E，过点E作于点F，证明四边形为平行四边形，得出，，求出，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义即可得出答案；
（2）过点作于点F， 于点H，根据，，在中根据三角函数求出，，求出，根据三角形面积公式求出，然后求出x的取值范围即可；
（3）分四种情况进行讨论：当时，当，点Q在线段延长线上时，当，点Q在线段上时，当时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】（1）解：过点A作交于点E，过点E作于点F，如图所示：
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，．
即的值为．
（2）解：过点作于点F， 于点H，如图所示：
根据解析（1）可知，，
∴在中，
∵，，
∴，
∴在中，
∴，
∴，
∵点在线段上，且当点Q在点C上时，的面积为0，即，
∴，
解得：，
∵点、点均不与点重合，
∴．
（3）解：当时，过点作于点M，如图所示：
根据解析（2）可知，，
根据勾股定理得：，
，
∵，，
∴，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
解得：，
即；
当，点Q在线段延长线上时，如图所示：
，
根据解析（2）可知，，
∴，
解得：，
即；
当，点Q在线段上时，如图所示：
，
根据解析（2）可知，，
∴，
解得：，
即；
当，过点Q作于点N，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
根据解析（2）可知，，
∴，
解得：，
即；
综上分析可知，或或；或．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，求函数解析式，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，注意分类讨论．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
D
B
C
C
A
B