2024~2025学年上海市宝山区高三上学期9月月考数学教学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年上海市宝山区高三上学期9月月考数学教学试卷【有解析】，共17页。试卷主要包含了 若，则______．等内容，欢迎下载使用。
一. 填空题(本大题共12题， 1-6每题4分， 7-12每题5分， 共54分)
1. 若（其中i表示虚数单位），则______．
【正确答案】1
【分析】计算，即可得到虚部.
【详解】因为，根据复数的概念可知，虚部为1.
故1.
2. 在等差数列中，前7项的和，则___________.
【正确答案】
【分析】根据等差数列前n项的和公式，结合等差数列下标的性质进行求解即可.
【详解】因，所以有，
故
3. 已知，则曲线处的切线方程是___________.
【正确答案】
【分析】利用导数的几何意义求出导数值，再由点斜式方程可得答案.
【详解】易知，可得；
又，所以切点坐标为；
因此切线方程为，即.
故
4. 在的展开式中，的系数为______．
【正确答案】
【分析】根据二项式定理展开式的通项公式即可求解.
【详解】的二项展开式为，
令，解得，故所求即为．
故答案为.
5. 已知直线与直线相互平行，则实数的值是________．
【正确答案】
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.
【详解】因为直线与直线相互平行，
则，即，解得.
故答案为.
6. 已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为__________．
【正确答案】
【分析】根据离心率求得，即可求得渐近线方程.
【详解】因为双曲线的离心率为2，则，解得，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为.
7. 已知平面向量，满足且向量，的夹角为 则 在方向上的投影数量为_____.
【正确答案】
【分析】利用数量积来计算投影数量即可.
【详解】因为且向量，的夹角为
所以，
则在方向上的投影数量为：，
故答案为.
8. 已知且，则最小值是_________．
【正确答案】4
【分析】根据绝对值三角不等式，即可容易求得结果.
【详解】因为，当且仅当时取得等号；
又当时，；当时，，故，当且仅当时取得等号；
则，当且仅当或时取得等号.
故答案为.
9. 在中，角所对的边分别为．已知，则的面积为____．
【正确答案】；
【详解】∵△ABC中，a＝3，b＝5，c＝7，
∴由余弦定理，得csA，
∵A∈（0，π），
∴sinA，
∴由正弦定理的面积公式，得：
△ABC的面积为SbcsinA5×7．
故答案为．
10. 已知， 函数 若该函数存在最小值，则实数的取值范围是________
【正确答案】
【分析】就分段函数的每一段判断其单调性，求出值域，根据题意得到关于的不等式，解之即得.
【详解】当时，因，为减函数，故；
当时，因，为减函数，故.
依题意，该函数存在最小值，需使，解得.
故实数取值范围是.
故答案为.
11. 已知曲线由抛物线及抛物线组成，若，，，是曲线上关于轴对称的两点，，，，四点不共线，其中点在第一象限，则四边形周长的最小值为 __．
【正确答案】
【分析】设抛物线的焦点为，则利用抛物线的定义得到，从而求出其最小值.
【详解】设抛物线的焦点为，则，所以，根据对称可知四边形为等腰梯形，
四边形周长
，
当且仅当，，三点共线时，等号成立，又，
四边形周长的最小值为.

故
12. 设an与bn是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论：
①若an与bn均为等差数列，则M中最多有1个元素；
②若an与bn均为等比数列，则M中最多有2个元素；
③若an为等差数列，bn为等比数列，则M中最多有3个元素；
④若an为递增数列，bn为递减数列，则M中最多有1个元素.
其中正确结论的序号是______.
【正确答案】①③④
【分析】利用两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利用反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.
【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，
而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确.
对于②，取则均为等比数列，
但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误.
对于③，设，，
若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解，
若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾；
若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数，
当有偶数解，此方程即为，
方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时，
否则，因单调性相反，
方程至多一个偶数解，
当有奇数解，此方程即为，
方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即
否则，因单调性相反，
方程至多一个奇数解，
因为，不可能同时成立，
故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素，故③正确.
对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，
后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确.
故①③④.
思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化.
二. 选择题(本大题共4题， 13-14每题4分， 15-16每题5分， 共18分)
13. 已知， 则“”是“”的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分也不必要
【正确答案】C
【分析】由充分条件，必要条件定义，结合即可判定.
【详解】，
若，则，又，所以，
若，，故，即，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
14. 设、为两个平面，、为两条直线， 且.下述四个
①若，则或 ②若，则或
③若且，则 ④若与、所成的角相等，则，其中所有真命题的编号是（ ）
A. ①③B. ②④C. ①②③D. ①③④
【正确答案】A
【分析】对于①，根据线面平行的判定定理可证明；对于②，借助正方体可知与、 不一定垂直；对于③，由线面平行的判定定理及性质定理，即可证明；对于④，借助③的结论，即可说明.
【详解】对于①，由题意，当，因为，，，故；

当，因为，，，故；

当且，因为，，，则且，

故①正确；
对于②，正方体中，，则与、不垂直，

故②错误；
对于③，如图，过直线分别作两平面与、分别交于直线、，

因为，，，则，同理可证，则，
因为，，故，
又 ，则，
又，故，故③正确；
对于④，若且，此时与、所成的角相等，由③知，故④错误.
故选：A
15. 设函数图像的一条对称轴方程为，若是该函数的两个不同的零点，则不可能取下述选项中的（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用给定函数及其对称轴求出，进而求出函数的周期，再利用正弦函数的性质列式求解即得.
【详解】依题意，，解得，而，则，
于是原函数的周期，因为是该函数的两个不同的零点，
因此，显然选项ACD分别是的1，2，4倍，而不是的整数倍.
故选：B
16. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，若关于的方程恰有4个不相等的实数根，则实数的值是（ ）
A. B. C. 0D.
【正确答案】D
【分析】将原方程根的问题转化为函数图像交点问题，结合函数性质求解答案即可.
【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以讨论情况如下：
作图像如下图所示，

关于的方程，
解得或，
由于与图像有一个公共点，
则图像与图像有三个公共点，如图所示，，
同理，时，，所以实数的值是.
故选：D
方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.
三. 简答题 (本大题共 5 题， 共 14+14+14+18+18=78分)
17. 已知,
（1）求函数的单调递减区间;
（2）若,求函数的值域.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式化简函数y=fx的解析式，根据正弦函数的图象性质即可求得其单调递减区间；
（2）先由求得整体角，结合正弦函数的图象即可求其值域.
【小问1详解】
,
由，可得，
即函数y=fx的单调递减区间为.
【小问2详解】
当，，则，
故函数y=fx的值域为.
18. 如图，已知平面，，直线与平面所成的角为，且.
（1）求三棱锥的体积；
（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小.（结果用反三角函数值表示）
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题目条件可得BD，后可由三棱锥体积公式得答案；
（2）取中点，连接，则，即为异面直线与所成角，后可由余弦定理得答案.
【小问1详解】
因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
所以，所以，
所以三棱锥的体积；
【小问2详解】
取中点，连接，则，
所以即为异面直线与所成角，
又平面，平面，则，
得.
.
则在中，，
所以，
所以异面直线与所成角的大小为.
19. 2024年上海书展于8月16日至22日在上海展览中心举办.展会上随机抽取了500名观众，调查他们每个月用在阅读上的时长，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）求x的值，并估计这500名观众每个月阅读时长的平均数和中位数；
（2）用分层抽样的方法从这两组观众中随机抽取12名观众，再若从这12名观众中随机抽取4人参加抽奖活动，求所抽取的4人中两组均有的概率.
【正确答案】（1），平均数为，中位数为
（2）
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出，再求出阅读时长的平均数，结合中位数的定义及求法，即可求解；
（2）求出抽取的12名观众中，区间内的人数，再利用古典概型根据要求求概率即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图得：，解得，
阅读时长在区间内的频率分别为，
所以阅读时长的平均数.
其中前两组频率之和，
前三组频率之和，
所以阅读时长的中位数在这组内，
设中位数为，则，解得，所以中位数为.
【小问2详解】
用分层抽样方法从这两组观众中随机抽取12名观众，
由频率分布直方图，得数据在两组内的频率比为，
则在内抽取人，在内抽取人，
从这名观众中所抽取的人中两组均有的概率为
.
20. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆的一个顶点，且右焦点 F₂到双曲线. 渐近线的距离为
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设直线与椭圆C交于 A、B两点.
①若直线过椭圆右焦点F₂，且△AF₁B的面积为 求实数k的值；
②若直线过定点P(0,2)， 且k>0， 在x轴上是否存在点T(t,0)使得以TA、TB为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由.
【正确答案】（1）
（2）①;②
【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可；
（2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值；
②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围.
【小问1详解】
由双曲线. 的渐近线方程为，
再由椭圆的右焦点分别为到渐近线的距离为可得：
，因为，所以解得，
再由椭圆的一个顶点为，可得，
所以由，
即椭圆C的标准方程为；
【小问2详解】
①直线过椭圆右焦点F₂可得：，即，
所以由直线与椭圆C的标准方程联立方程组，消去得：
，
设两交点Ax1,y1,Bx2,y2，则有
所以，
又椭圆左焦点F1−1,0到直线的距离为，
所以，
解得：或（舍去），即；
②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，
由于直线过定点， 且，可知直线方程为，
与椭圆联立方程组，消去得：，
由，且，解得，

设两交点Ax1,y1,Bx2,y2，中点，则有
所以，
即，整理得，
又因为，所以，则.
关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围.
21. 设函数，其中a为常数．对于给定的一组有序实数，若对任意、，都有，则称为的“和谐数组”．
（1）若，判断数组是否为的“和谐数组”，并说明理由；
（2）若，求函数的极值点；
（3）证明：若为的“和谐数组”，则对任意，都有．
【正确答案】（1）是的“和谐数组”，理由见解析；
（2）为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.
（3）见解析
【分析】（1）代入有，根据指数函数、幂函数性质可得，再将代入即可证明；
（2）代入值有，直接求导，令导函数为0即可得到其极值点；
（3）假设存在,使得,通过和谐数组定义转化得对任意恒成立，设，再利用二次函数的性质即可证明假设不成立.
【小问1详解】
是的“和谐数组”,理由如下：
当时,.根据幂函数、指数函数的性质,对任意,都有.对任意,代入,得:
是的“和谐数组”.
【小问2详解】
当,
于是可列表如下:
为函数的一个极大值点,为的一个极小值点.
【小问3详解】
反证法:假设存在,使得,则对任意,都有.
对任意恒成立.令，则在上恒成立,
由二次函数性质可知,必存在使得当时,恒成立,且此时,
当时有，
其中，
由二次函数性质可知,必存在使得当时，.
这与在上恒成立矛盾.
对任意,都有
关键点睛：本题第3问的关键是运用反证法，首先假设存在,使得,根据和谐数组的定义转化得存在,使得,设，通过二次函数与指数函数的图象与性质即可推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明.0
0
极大值
极小值