2024~2025学年福建省福州市高新区高三上学期第一次月考数学试卷【有解析】

这是一份2024~2025学年福建省福州市高新区高三上学期第一次月考数学试卷【有解析】，共17页。试卷主要包含了 已知集合，，则， 已知，，则， “”是“”的， 函数的图象大致为， 实数满足，则的最小值为， 下列选项中，与的值相等的是， 已知，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据条件结合一元二次不等式的解法求得集合，再由集合的交集运算即可求解.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2. 已知，，则（ ）
A. B. 7C. D. -7
【正确答案】A
【分析】根据角的范围以及平方关系求出再利用商的关系求出，最后由两角和的正切公式可得答案.
【详解】因为，，
所以
，
故选：A.
本题主要考查平方关系、商的关系以及两角和的正切公式，属于基础题.
3. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】利用对数函数的单调性及定义域，及条件间的推出关系判断充分、必要性.
【详解】由在上递增，而，则，此时，充分性成立，
若，则，假设时，无意义，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】求出y=fx为奇函数，排除CD；由排除B，得到答案.
【详解】定义域为R，
，函数y=fx为奇函数，
图象关于原点对称，排除CD；
又，排除B.
故选：A
5. 实数满足，则的最小值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【正确答案】D
【分析】用已知条件消元后用基本不等式即可.
【详解】因为，
所以
所以，当且仅当取等号
故选：D．
6. 已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】令，则函数在内递增，且恒大于0，可得不等式，从而可求得a的取值范围
【详解】解：令，
∵ 在上单调递减，
∴ 在内递增，且恒大于0，
且，
．
故选：C．
7. 已知定义域为R的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】构造，利用导数及已知判断其单调性，根据单调性及相对应函数值判断各项的大小.
【详解】令，则，
因在上恒成立，
所以在上恒成立，故在上单调递减，
，即，故A不正确；
，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；
故选：C
8. 已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（ ）
A. （3，4）B. （2，4）C. [0，4）D. [3，4）
【正确答案】D
【分析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得.
【详解】由方程有四个不同的实数根，
得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．
由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．
设与交点的横坐标为，，设，则，，
由得，
所以，即．
设与的交点的横坐标为，，
设，则，，且，
所以，
则．
故选：D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BC
【分析】计算得到，再根据和差公式和二倍角公式，诱导公式依次计算得到答案.
详解】，，故A错误；
，故B正确；
，故C正确；
，故D错误．
故选：BC
10. 已知，下列结论正确的是（ ）
A. 的最小值为9B. 的最小值为
C. 的最小值为D. 的最小值为
【正确答案】ABD
【分析】根据题意，利用基本不等式，结合指数幂与对数的运算性质，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以A正确；
对于B中，由，，且，可得，则，
所以，
当且仅当时，的最小值为，所以B正确；
对于C中，由，所以，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最大值为，
又由，
所以的最大值为，所以C不正确；
对于D中，因为，可得.
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
所以D正确.
故选：ABD.
11. 设函数与其导函数f′x的定义域均为，且为偶函数，，则（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BCD
【分析】由已知条件可得导函数对称性，判断A；由已知推出导函数的对称轴即可判断B；结合导函数对称性推出函数周期，进而利用周期进行求值，判断C；根据导数求导法则即可判断D.
【详解】对于A，，，
即关于对称，故A错误；
对于B，为偶函数，故，即关于对称，
由关于对称，知，故B正确；
对于C，关于对称和关于对称可得：，
故，即的周期为4，
所以，故C正确；
对于D，由得：，
即，令得，，
故，故D正确.
故选：BCD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数是定义在上的奇函数，则______.
【正确答案】
【分析】根据奇函数的知识求得，由此求得.
【详解】依题意函数是定义在上的奇函数，
所以，
，
，
恒成立，所以，
所以.
故
13. 若函数的图象向右平移个单位后在区间上单调递减，则______.
【正确答案】
【分析】先求出向右平移后的函数图象，再根据正弦函数的单调递减区间列出不等式，进而求解即可.
【详解】向右平移个单位后得到
因为，所以，
因为在单调递减，
所以，即，
所以，所以，
因为，所以当时，.
故答案为.
14. 与曲线和曲线均相切的直线的方程为______.
【正确答案】
【分析】设出切点和，求导得到，并写出切线方程，将代入，化简得，从而求出切线方程.
【详解】设在点和在点的切线重合，
，，
故，即，，
在点处的切线方程为，
将代入得，
即，
所以，
又，故，则，
故切线方程为，即.
故
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求B；
（2）若的面积等于，求的周长的最小值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；
（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.
【小问1详解】
解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
【小问2详解】
解：依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
16. 已知函数.
（1）当时，求的图象在1,f1处的切线方程；
（2）若函数在1,+∞上单调递增，求实数a的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）.
【分析】（1）求出，切点为，直接写出切线方程；
（2）转化为f′x≥0对于x∈1,+∞恒成立，求实数a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，，
，，，
所以的图象在处的切线方程为.
【小问2详解】
，
若函数在1,+∞上单调递增，则f′x≥0对于x∈1,+∞恒成立，
即对于x∈1,+∞恒成立，
令，
当时，，
则函数在1,+∞上单调递增，所以，
故.
17. 已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
（1）求的解析式；
（2）完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
（3）当时，求的值域．
【正确答案】（1）
（2）答案见解析 （3）
【分析】（1）根据题意，结合的图象，得到最小正周期，求得，结合最高点为，求得的值，即可求解；
（2）完善表格，结合描点、连线，即可求得函数在上的大致图象；
（2）由，得到，结合三角函数性质，即可求解.
【小问1详解】
解：由的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，
可得函数最小正周期，所以，
又由一个最高点为，可得的，
因为，即，
可得，解得，
又因为，可得，所以．
【小问2详解】
解：由（1）知，函数，完善表格如下：
则函数在上的大致图象如图：
【小问3详解】
解：因为，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最大值为，
所以函数的值域为．
18. 在国家大力发展新能源汽车产业政策影响下，我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2021年底新能源汽车保有量为1500辆，2022年底新能源汽车保有量为2250辆，2023年底新能源汽车保有量为3375辆．
（1）设从2021年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，根据以上数据，试从且和且两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势，并说明理由，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
（2）2021年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，且传统能源汽车保有量每年下降，若每年新能源汽车保有量按（1）中求得函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量．（参考数据：）
【正确答案】（1）应选函数模型是且，理由见解析，
（2）2030年底
【分析】（1）由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，所以应该选择指数模型，然后将和代入函数中可求出，从而可求得关于的函数关系式；
（2）设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，由题意得，化简后两边取对数可求得结果.
【小问1详解】
由于新能源汽车保有量每年增长得越来越快，
因此应该选择指数模型，应选函数模型是且，
由题意得，解得，
所以．
【小问2详解】
设从2021年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，则有，
令，
即，
化简得，
解得，
故从2021年底起经过9年后，即2030年底新能源汽车的保有量将超过传统能源汽车的保有量．
19. 若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点.
（1）判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由；
（2）已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点.
①求的取值范围；
②证明.
【正确答案】（1）是上的“双中值函数”，理由见解析
（2）①0,+∞；②证明见解析
【分析】（1）利用定义结合导数直接计算解方程即可；
（2）①根据定义知，利用导数研究导函数的单调性及最值计算范围即可；②根据条件先转化问题为，构造差函数，利用多次求导判定其单调性去函数符号即可证明.
【小问1详解】
函数是上的“双中值函数”．
理由如下：
因为，所以.
因为，，所以
令，得，即，解得.
因为，所以是上“双中值函数”.
【小问2详解】
①因为，所以.
因为是上的“双中值函数”，所以.
由题意可得.
设，则.
当时，，则为减函数，即为减函数；
当时，，则为增函数，即为增函数.
故.
因为，所以，所以，即的取值范围为；
②证明：不妨设，
则，，即，．
要证，即证．
设，
则．
设，则，
所以φx在0,1上单调递增，所以，所以，
则在上单调递减．
因为，所以，即．
因为，所以．
因为，所以．
因为，所以．
由①可知在上单调递增，所以，即得证．
思路点睛：新定义问题审清题意，转化为已有经验、知识处理即可，本题第二问第一小问，可转化为存在导函数两个零点求参问题，利用导数研究其单调性与最值即可；第二小问，可利用等量关系消元转化证明，类似极值点偏移，构造差函数研究其单调性即可证明.x
0
0
0
x
0
1
2
0
0
1