广东省肇庆市2025届高三下高中毕业班第三次模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 复数在复平面内对应的点在（ ）
2. 已知集合，则A中元素的个数为（ ）
3. 已知平面向量与均为单位向量，，则与的夹角为（ ）
4. 正四棱台中，，则四棱台的体积为（ ）
5. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ）
6. 已知为锐角，且，则（ ）
7. 是正四棱柱表面上的一个动点，，当直线与正四棱柱六个面所成角的大小相等时，与所成角的余弦值为（ ）
8. 已知定义在上的函数，对任意满足，且当时，.设，，则（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 洛阳是我国著名的牡丹之乡，以“洛阳地脉花最宜，牡丹尤为天下奇”流传于世.某种植基地通过植株高度研究牡丹的生长情况，从同一批次牡丹中随机抽取100株的植株高度（单位：）作为样本，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）

10. 已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
11. 已知曲线，一条不过原点的动直线与x，y轴分别交于，两点，则下列结论正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 设随机变量服从正态分布，且，若，则_____.
13. 记双曲线的离心率为，若直线与有公共点，则离心率的取值范围为_____（请用区间表示）.
14. 在平面直角坐标系中，两点，的“曼哈顿距离”定义为.例如点的“曼哈顿距离”为.已知点在直线上，点在函数的图象上，则的最小值为_____，的最小值为_____.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 11 分，共 55 分)
15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求；
(2)若，求的面积.
16. 已知A，B，C是椭圆上三个不同的点，是坐标原点.
(1)若，是的左、右顶点，求的取值范围；
(2)若点在第一象限，是否存在四边形满足是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由.
17. 如图，，，都是等边三角形，点D，E分别在平面的上方和下方，点为中点.
(1)求证：A，D，O，E四点共面；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
18. 一个质点在数轴上从原点开始运动，每次运动的结果可能是原地不动，也可能是向左或向右运动一个单位.记质点原地不动的概率为，向右运动的概率为，向左运动的概率为，其中，.
(1)若，，求质点运动3次后停在原点右侧的概率；
(2)若.
①规定质点只要运动到原点左侧就立即停止运动，求质点运动5次后停在原点右侧的概率；
②设计游戏规则如下：第一轮游戏，质点从原点开始运动，设置质点向右运动的概率，若质点运动3次后停在原点右侧，则进入第二轮游戏，否则游戏结束；第二轮游戏，质点重新从原点开始运动，重新设置质点向右运动的概率，运动3次后，若质点停在原点右侧，则以质点停留位置对应数轴上的数值作为两轮游戏的最终得分，若质点停在原点左侧或原点处，则两轮游戏的最终得分为0分（规定游戏一轮结束的得分也是0分）.记两轮游戏最终得分的期望，若存在极大值点，求的取值范围.
19. 已知数列中每一项（其中，）构成数组.定义运算如下：，其中当时，，；当时，，；用表示层嵌套运算，.现取，记中相邻两项组成的数对满足的数对个数为.
(1)写出，，以及，；
(2)证明：数列是等比数列；
(3)若，证明：对任意的都有.
广东省肇庆市2025届高三高中毕业班第三次模拟考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、平面向量、空间向量与立体几何、平面解析几何、三角函数与解三角形、函数与导数、计数原理与概率统计、数列
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
A．7
B．9
C．11
D．13
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．56
D．
A．
B．
C．2
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．基地牡丹植株高度的极差的估计值大于50
B．基地牡丹植株高度不高于70的频率估计值为30%
C．基地牡丹植株高度的众数与中位数的估计值相等
D．基地牡丹植株高度的第75百分位数的估计值小于80
A．为奇函数
B．为偶函数
C．在上仅有1个零点
D．的最小正周期为
A．曲线有4条对称轴
B．曲线形成封闭图形的面积大于
C．当时，线段中点的轨迹与曲线相切
D．当时，直线与曲线相切
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
5
适中
9
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数的除法运算；判断复数对应的点所在的象限
2
0.65
列举法求集合中元素的个数
3
0.85
数量积的运算律；向量夹角的计算
4
0.65
台体体积的有关计算
5
0.65
由标准方程确定圆心和半径；已知圆的弦长求方程或参数
6
0.65
已知正（余）弦求余（正）弦；二倍角的正弦公式
7
0.65
求异面直线所成的角；线面角的向量求法；空间向量数量积的应用；求平面的法向量
8
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；根据函数的单调性解不等式
二、多选题
9
0.65
由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量；由频率分布直方图估计中位数；总体百分位数的估计；根据频率分布直方图计算众数
10
0.65
函数奇偶性的应用；求余弦（型）函数的最小正周期
11
0.4
轨迹问题——圆；由方程研究曲线的性质
三、填空题
12
0.85
根据正态曲线的对称性求参数
13
0.85
求双曲线的离心率或离心率的取值范围；根据双曲线的渐近线求标准方程
14
0.4
由导数求函数的最值（不含参）；函数新定义
四、解答题
15
0.85
三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形
16
0.65
根据椭圆的有界性求范围或最值；椭圆中存在定点满足某条件问题；数量积的坐标表示；椭圆的对称性
17
0.4
空间中的点（线）共面问题；线面角的向量求法
18
0.15
求离散型随机变量的均值；根据极值点求参数；独立事件的乘法公式
19
0.4
求等比数列前n项和；数列新定义；由递推关系证明等比数列；数列不等式恒成立问题
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
平面向量
3,16
4
空间向量与立体几何
4,7,17
5
平面解析几何
5,11,13,16
6
三角函数与解三角形
6,10,15
7
函数与导数
8,10,14,18
8
计数原理与概率统计
9,12,18
9
数列
19