黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高三下学期第五次模拟考试数学试卷（含答案解析）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高三下学期第五次模拟考试数学试卷（含答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 在复数范围内，下列为方程的根的是（ ）
2. 已知定义域为的函数不是奇函数，则（ ）
3. 下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（ ）
4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量的起点和终点均在格点上，则向量在向量上的投影向量为（ ）

5. 如图，在圆锥中，是底面圆的直径，在底面圆周上，是的中点，与圆锥底面所成角的大小为，则圆锥的体积为（ ）

6. 长为2的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则点关于点的对称点的轨迹方程为（ ）
7. 已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则（ ）
8. 已知函数，若函数的值域与的值域相同，则a的取值范围是（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 下列计算结果正确的是（ ）
10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，经他研究，随机事件A，B存在如下关系：.现有甲、乙、丙三台车床加工同一件零件，甲车床加工的次品率为，乙车床加工的次品率，丙车床加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，且甲、乙、丙3台车床加工的零件数分别占总数的，，，设事件，，分别表示取到的零件来自甲、乙、丙车床，事件B表示任取一个零件为次品，则下列说法正确的是（ ）
11. 在棱长为a的正方体中，点E为的中点，点P满足，，，则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知数据15，14，14，a，16的平均数为15，则其方差为______.
13. 在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．
14. 在中，角的对边分别为，若且，则的取值范围为______.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 已知三次函数．
（1）若函数在点处的切线方程是，求函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若对于区间上任意两个自变量的值，，都有，求出实数的取值范围．
16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．且，
(1)求角C；
(2)如图，边AB的垂直平分线ED交AB于E，交边AC于D，，，求AD长．
17. 如图，在四棱锥中，，，平面平面PCD，，，，点M，N分别是棱AB和PD的中点．

(1)证明：平面PBC；
(2)若点E是棱PB上一点，平面ABCD与平面CDE夹角的余弦值为，求三棱锥的体积．
18. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率；
(3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由．
19. 已知甲盒子中装有个白球和个黑球，乙盒子中装有个白球，现从甲、乙两个盒子中各任取1个球交换放入对方的盒中，重复次（）这样的操作.记此时甲盒中白球的个数为，甲盒中恰有个白球的概率为，恰有个白球的概率为.
(1)求，和，；
(2)证明：为等比数列；
(3)求的数学期望（用表示）.
黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高三下学期第五次模拟考试数学试卷
整体难度：适中
考试范围：复数、集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面向量、空间向量与立体几何、平面解析几何、数列、三角函数与解三角形、计数原理与概率统计
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．与
B．与
C．与
D．与
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．若，则平面
B．若，则平面ABP
C．若，则存在，使
D．若，则存在，使平面DPB
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
1
较易
7
适中
8
较难
3
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
复数范围内方程的根
2
0.85
用全称量词改写命题；用存在量词改写命题；函数奇偶性的定义与判断
3
0.85
具体函数的定义域；判断两个函数是否相等；求对数型复合函数的定义域
4
0.85
数量积的坐标表示；坐标计算向量的模；求投影向量
5
0.65
锥体体积的有关计算；求线面角
6
0.65
求平面轨迹方程；轨迹问题——椭圆
7
0.65
两个等差数列的前n项和之比问题
8
0.4
由导数求函数的最值（含参）；由对数函数的单调性解不等式
二、多选题
9
0.85
正、余弦齐次式的计算；逆用和、差角的正切公式化简、求值；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
10
0.85
计算条件概率；利用全概率公式求概率；独立事件的乘法公式；利用贝叶斯公式求概率
11
0.4
证明线面垂直；空间位置关系的向量证明；证明线面平行
三、填空题
12
0.94
计算几个数据的极差、方差、标准差；计算几个数的平均数
13
0.85
相邻问题的排列问题；不相邻排列问题；排列组合综合
14
0.65
求正切（型）函数的值域及最值；正弦定理边角互化的应用；三角恒等变换的化简问题；余弦定理解三角形
四、解答题
15
0.65
已知切线（斜率）求参数；由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题
16
0.65
三角恒等变换的化简问题；正弦定理边角互化的应用；正弦定理解三角形
17
0.65
面面平行证明线面平行；面面角的向量求法；证明线面平行；证明面面平行
18
0.65
椭圆中的定值问题；由中点弦坐标或中点弦方程、斜率求参数；轨迹问题——椭圆
19
0.4
求离散型随机变量的均值；计算古典概型问题的概率；独立事件的乘法公式
序号
知识点
对应题号
1
复数
1
2
集合与常用逻辑用语
2
3
函数与导数
2,3,8,15
4
平面向量
4
5
空间向量与立体几何
5,11,17
6
平面解析几何
6,18
7
数列
7
8
三角函数与解三角形
9,14,16
9
计数原理与概率统计
10,12,13,19