黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高三上学期期中考试 数学试卷（含答案）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第九中学2024-2025学年高三上学期期中考试 数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 若复数满足，则的实部与虚部之和为（ ）
A. B. C. 1D.
3. 已知等差数列前6项和为60，且，则（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
4. 在平面直角坐标系中，若的终边经过点，则的值为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，四边形表示水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，，，，，则（ ）
A. B. C. 6D.
6. 若曲线的一条切线方程是，则（ ）
A. B. 1C. D. e
7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，面积为的扇形，则该圆锥的外接球的表面积为（ ）
A B. C. D.
8. 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差×等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前项和．记数列的前项和为，利用上述方法求（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知平面向量，的夹角为，且，若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B. 与可以作为平面内向量的一组基底
C. D. 在上的投影向量为
10. 在中，内角所对的边分别为，已知，为线段上一点，则下列判断正确的是（ ）
A. 为钝角三角形
B. 的最大内角是最小内角的2倍
C. 若为中点，则
D 若，则
11. 设数列an的前项和为，若，则称数列bn是数列an的“均值数列”．已知数列bn是数列an的“均值数列”，且，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 设数列an的前项积为，则有最大值，无最小值
C. 数列中没有最大项
D. 若对任意，成立，则或
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若，且为第二象限角，则___________.
13. 已知函数在处取得极大值，则_________．
14. 已知数列an满足，，则______；设数列an的前项和为，则______．（第二个空结果用指数幂表示）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求不等式的解集．
16. 数列满足．
（1）求数列通项公式．
（2）设，求数列的前n项和．
17. 在中，角的对边分别是，已知．
（1）求角；
（2）若点在边上，且，求面积的最大值．
18. 南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”．在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式．如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数是第n层球数与的和，设各层球数构成一个数列an．
（1）求数列an的通项公式；
（2）证明：当时，
（3）若数列bn满足，对于，证明：．
19. 定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数．
（1）当时，判断否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由；
（2）是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
（3）若，求极值差比系数的取值范围．
哈尔滨市第九中学2024—2025学年度高三上学期
期中考试数学学科试卷
满分150分，考试时间120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】A
【7题答案】
【答案】A
【8题答案】
【答案】D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
【9题答案】
【答案】BD
【10题答案】
【答案】BCD
【11题答案】
【答案】AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
【12题答案】
【答案】##
【13题答案】
【答案】0
【14题答案】
【答案】 ①. 60 ②.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）
【18题答案】
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【19题答案】
【答案】（1）是极值可差比函数，；
（2）不存在，理由见解析；
（3）
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