四川省巴中市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

这是一份四川省巴中市2024-2025学年高二上学期期末考试数学试题（解析版），共12页。试卷主要包含了 双曲线的离心率为， 某地区今年举行了校园足球联赛， 下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1. 双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】B
【解析】因为双曲线，所以，，
则，所以.
故选：B.
2. 某农场共有300头牛，其中甲品种牛30头，乙品种牛90头，丙品种牛180头，现采用分层抽样的方法抽取60头牛进行某项指标检测，则抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由题意知，抽样比例为，则，
所以抽取甲，乙，丙三个品种牛的头数分别为.
故选：A.
3. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】与直线垂直的直线的斜率为，又直线过点，
所以所求直线方程为，整理得.
故选：C.
4. 将一枚质地均匀的正四面体教具连续抛掷次，第5次和第8次某一面朝下的概率分别记为，则的大小关系为（ ）
A. 的大小由确定B.
C. D.
【答案】D
【解析】质地均匀正四面体，每次抛掷每个面朝下的概率均为，且每次抛掷相互独立，故第5次和第8次某一面朝下的概率都是，即.
故选：D.
5. 已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含
【答案】C
【解析】由，得，半径，
由，得，半径，
所以，
所以，即，
所以圆与圆的位置关系是相交.
故选：C.
6. 已知空间向量，，，若，，共面，则m的值为（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】D
【解析】因为，，，且，，共面，
所以，又，得到，解得，
故选：D.
7. 某地区今年举行了校园足球联赛.赛季结束后的数据显示：甲学校足球代表队（下称甲队）每场比赛平均失球数是1.3，每场失球个数的标准差是1.2；乙学校足球代表队（下称乙队）每场比赛平均失球数是1.9，每场失球个数的标准差是0.5.下列说法中正确的是（ ）
A. 平均来说乙队比甲队防守效果好
B. 甲队比乙队技术水平更稳定
C. 甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好
D. 甲队每场比赛必失球
【答案】C
【解析】对于选项A：因为，平均来说甲队比乙队防守效果好，故A错误；
对于选项BC：因为，乙队比甲队技术水平更稳定，故B错误；
且甲队在防守中的波动性较大，可知甲队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好，故C正确；
对于选项D：虽然甲队每场比赛平均失球数1.3，但不能确定每场比赛是否失球，故D错误；
故选：C.
8. 已知点集，分别表示曲线、，若、有四个公共点，则的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】对于曲线，当时，该曲线的方程可化为，即，
当时，该曲线的方程可化为，即.
曲线的方程即为，即为，
当时，曲线的方程为，此时，两曲线只有一个公共点，不合乎题意，
所以，，如下图所示：
由图可知，只需点在曲线外，且点在曲线内，
所以，，解得或.
因此，实数的取值范围是.
故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 某人连续投篮三次，每次投一球，记事件为“三次都投中”，事件为“三次都没投中”，事件为“恰有二次投中”，事件为“至少有二次投中”，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】设为三次投篮命中次，
则，可得，
所以，，，，
故ACD正确，B错误.
故选：ACD.
10. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 直线的一个方向向量为
B. 三点共线
C. 直线（其中）必过定点
D. 经过点，倾斜角为的直线方程为
【答案】ABC
【解析】对于选项A：因为直线的斜率不存在，
所以直线的一个方向向量为，故A正确；
对于选项B：因为，
即，所以，，三点共线，故B正确；
对于选项C：直线，
即为，
令，解得，
所以直线（其中）必过定点，故C正确；
对于选项D：例如，可知不存在，故D错误；
故选：ABC.
11. 在平面直角坐标系中，已知两定点，动点满足直线与直线的斜率之积为，记的轨迹为，则下列描述正确的是（ ）
A. 当时，曲线是以原点为圆心，半径为1的圆
B. 当时，点所在曲线的焦点在轴上
C. 当时，过点的直线与曲线至少有一个公共点
D. 当时，直线与曲线有两个不同公共点，则
【答案】BD
【解析】设，由题知，
即点的轨迹方程为，，
当时，点的轨迹方程为，
∴曲线是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点，故选项A错误；
当时，点的轨迹方程可化为，故曲线是焦点在轴上的双曲线，除去两定点，故选项B正确；
联立方程组，消去并整理得.
∵直线与曲线有两个不同公共点，
.
，恒成立，，故选项D正确；
当时，点的轨迹方程可化为，故曲线是除去两定点的椭圆或者圆.
当时，点的轨迹是以原点为圆心，半径为1的圆除去两定点，此时直线与曲线至少有一个公共点；
当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，左、右顶点分别为，，此时点在椭圆内，直线与曲线至少有一个公共点；
当时，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，左、右顶点分别为，，此时点在椭圆外，直线与曲线的位置关系不确定. 故选项C错误.
故选：BD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若与互相垂直，则实数的值为___________.
【答案】2
【解析】由向量，得，，
由与互相垂直，得，
所以.
13. 已知直线与直线平行（其中为实数），则它们之间的距离为___________.
【答案】3
【解析】因为直线与直线平行，
则，解得，
可知两直线分别为，，符合题意，
所以两直线的距离为.
14. 已知三棱柱，点在内，，，分别为三边的一个三等分点，为面的一个法向量，且.若到面的距离为2，则_______.
【答案】
【解析】过点作平面于点，则，
由三棱柱性质可得平面平面，
故，则，
由、、平面，故
又，，，
则
.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知椭圆（）长轴长为8，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）以的焦点为顶点，短轴为虚轴的双曲线记为，求的方程及其渐近线方程.
解：（1）由题意可知：，可得，
则，所以椭圆的方程为.
（2）椭圆的焦点为，且短轴长为．
以为左，右顶点的双曲线的方程设为．
依题意得，所以双曲线的方程为．
其渐近线方程为．
16. 已知直线，圆（点为圆心）.
（1）若直线与圆相切，求实数的值；
（2）当时，判断直线与圆是否相交于不同的两点？如果相交于不同两点，记这两点为，并求的面积，如果不相交，请说明理由.
解：（1）由可得，即、半径，
由可得，
由直线与圆相切，则有，化简得，
即或；
（2）当时，，此时点到直线的距离为，
故直线与圆相交，即直线与圆相交于不同的两点，
由，则，
则.
17. 甲、乙两人在沙滩边进行连续多轮走步，比赛，甲、乙各有一个不透明的盒子，甲的盒子里面有个红球个白球，乙的盒子里面有个红球个白球，这些球只有颜色不同.每一轮比赛的规则是：甲，乙同时各自从自己的盒子里面摸出一球，如果甲摸到红球，甲向前走一步，否则原地不动；如果乙摸到白球，乙向前走一步，否则原地不动.各自摸球后都放回自己的盒子中.
（1）经过多轮比赛后，试估计甲、乙走的步数谁多？说明理由？
（2）以频率作为概率，试求轮比赛后，乙走的步数比甲走的步数多的概率.
解：（1）经过多轮比赛后，估计甲走步数比乙多，
原因是每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，具体如下：
一轮比赛中，记“甲向前走一步”为事件，“乙向前走一步”为事件，
根据古典概型概率的计算可得，，
则，即每轮比赛中甲向前走一步的可能性更大，
所以，多轮比赛后，估计甲走的步数比乙多.
（2）在轮比赛后，事件“乙走的步数比甲多”包含“乙恰好向前走一步，甲没有前进”和“乙恰好向前走两步，甲最多向前走一步”两个事件，
分别记为、，且事件、为互斥事件，
则，
，
所以，轮比赛后，乙走的步数比甲多的概率为.
18. 如图，等腰梯形的高为是上靠近的三等分点，如图①所示，将沿折起到的位置，使得，如图②所示，点在棱上.
（1）求证：直线平面；
（2）若是的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若平面与平面所成的锐二面角为，求的值.
（1）证明：在图（1）中，作的靠近的三等分点，
连接，所以，结合和．
所以四边形为平行四边形，所以．
所以为等腰三角形，
因为是上靠近的三等分点，
所以为等腰三角形底边上的中点，所以．
所以在图（2）中，．
又因为，且，平面，
所以直线平面
（2）解：由（1）知两两垂直，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
则，
所以.
设平面法向量为，
则，令，得.
设直线与平面所成角的大小为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
（3）解：.
设，则．
设平面的法向量为，则，解得，
令，得，可得平面的一个法向量为，
由题知，解得，且点在棱上，
所以的值为．
19. 已知抛物线（）的焦点为，第一象限内的一点在抛物线上，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）直线与抛物线的另一个交点为，求的面积（其中为坐标原点）；
（3）斜率分别为，的两条直线都经过点，且与抛物线的另一个交点分别为，，若，求证：直线过定点.
解：（1）由抛物线的定义可得，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）由在抛物线上，且在第一象限内，所以，，即点，
易知点，所以，直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
联立可得，解得或，
则点、，
所以，.
（3）若直线的斜率为零，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立可得，，可得，
由韦达定理可得，，
，同理可得，
因为，
可得，则，
所以，直线的方程为，
由可得，
因此，直线过定点.