2025届吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学高三下高考考前适应性模拟考试数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则（ ）
2. 设a，b，c是实数，命题“a＞b＞c＞0”是命题“a＋b＞c”的（ ）
3. 已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
4. 若在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为负数的概率是（ ）
5. 若，，则（ ）
6. 直线与双曲线交于两点，线段的中点为，则直线的方程为（ ）
7. 已知数列前项和为，，，，则的最大值为（ ）
8. 我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程的实数根叫做函数的“躺平点”．若函数，，的“躺平点”分别为，，，则，，的大小关系为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 已知函数与函数的图象的对称中心完全相同，则（ ）
10. 一系列复数满足是公比为i的等比数列，，则（ ）
11. “脸谱”是戏曲舞台演出时的化妆造型艺术，更是中国传统戏曲文化的重要载体．如图，“脸谱”图形可近似看作由半圆和半椭圆组成的曲线C．半圆的方程为，半椭圆的方程为．则下列说法正确的是（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
12. 已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为_____.
13. 已知点在动直线上的投影为点M，若点，则的最大值为______．
14. 已知点为扇形的弧上任意一点，且，若，则的取值范围是__________.
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 9 分，共 45 分)
15. 如图，四棱锥，平面平面， ，，，，，， ．
(1)证明： ；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
16. 已知函数．
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若，对恒成立，求实数a的取值范围．
17. 已知双曲线过点，左、右焦点分别为，且左焦点到渐近线的距离为.
(1)求的标准方程；
(2)过左焦点作直线交的左支于两点，过右焦点作直线交的右支于两点，，若四边形的面积为，求直线的方程.
18. “三门问题”亦称为蒙提霍尔问题，问题名字来自1970年美国的一个电视游戏节目主持人蒙提·霍尔.游戏中，参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇门后面有一辆跑车，另外两扇门后面则各藏有一只山羊，选中后面有车的那扇门可获奖赢得该跑车，主持人知道跑车在哪一扇门.当参赛者选定了一扇门但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出一只山羊.主持人随后会问参赛者要不要换另一扇仍然关闭的门.当时大部分的观众和参与者都支持不换门，认为换不换门获奖概率是一样的.然而当时智商最高的玛丽莲·沃斯·莎凡特给出了正确答案：应该换门.
(1)请用所学概率知识解释玛丽莲·沃斯·莎凡特给出的答案；
(2)证明：当跑车门数不变，山羊门数增加，游戏中的参与者在主持人打开一扇山羊门后，换门都比不换门中奖概率更高；
(3)如果有扇门，其中一扇门后有10万奖金，其他门后什么都没有，主持人知道哪一扇门后面有奖金.当参与者选中一扇门后（未打开），主持人问参与者是否愿意投入5000元，帮他在剩余的门中打开一扇没有奖金的门，并允许参与者换门.问当门数满足什么条件时，参与者投入5000元是值得的？
19. 在数列中，，，且.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)记，数列的前项和为，证明：；
(3)证明：.
2025届吉林省延边朝鲜族自治州延吉市延边第二中学高三高考考前适应性考试数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、平面向量、计数原理与概率统计、三角函数与解三角形、平面解析几何、数列、复数、空间向量与立体几何
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．
B．
C．
D．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．4
B．9
C．10
D．12
A．
B．
C．
D．
A．函数为偶函数
B．
C．直线是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
A．是周期数列
B．的前8项和为24
C．存在实数k，使得为实数
D．存在实数，使得
A．点A在半圆上，点B在半椭圆上，O为坐标原点，OA⊥OB，则△OAB面积的最大值为6
B．曲线C上任意一点到原点的距离的最大值与最小值之和为7
C．若，P是半椭圆上的一个动点，则cs∠APB的最小值为
D．画法几何的创始人加斯帕尔·蒙日发现：椭圆中任意两条互相垂直的切线，其交点都在与椭圆同中心的圆上．称该圆为椭圆的蒙日圆，那么半椭圆扩充为整个椭圆：后，椭圆的蒙日圆方程为
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
容易
2
较易
4
适中
12
较难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.94
交集的概念及运算；具体函数的定义域；常用数集或数集关系应用
2
0.85
判断命题的充分不必要条件
3
0.65
求投影向量；向量夹角的计算
4
0.85
求指定项的系数；计算古典概型问题的概率
5
0.65
二倍角的正弦公式；三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系；三角函数的化简、求值——诱导公式
6
0.85
由弦中点求弦方程或斜率
7
0.65
确定数列中的最大（小）项；利用an与sn关系求通项或项
8
0.65
用导数判断或证明已知函数的单调性；利用导数研究方程的根；导数新定义
二、多选题
9
0.65
求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求csx（型）函数的对称轴及对称中心；利用csx（型）函数的对称性求参数；求图象变化前（后）的解析式
10
0.65
累加法求数列通项；复数的除法运算；等比数列前n项和的基本量计算；复数代数形式的乘法运算
11
0.65
椭圆定义及辨析；椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值；圆锥曲线新定义；椭圆中焦点三角形的其他问题
三、填空题
12
0.94
已知切线（斜率）求参数；导数的运算法则
13
0.85
直线过定点问题；定点到圆上点的最值（范围）
14
0.65
求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式；平面向量线性运算的坐标表示
四、解答题
15
0.65
线面垂直证明线线垂直；线面角的向量求法
16
0.65
由导数求函数的最值（不含参）；利用导数研究不等式恒成立问题；利用导数求函数的单调区间（不含参）
17
0.65
根据双曲线过的点求标准方程；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题
18
0.65
求离散型随机变量的均值；利用全概率公式求概率
19
0.4
利用导数证明不等式；数列不等式恒成立问题；利用平方关系求参数；由递推关系证明数列是等差数列
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1,2
2
函数与导数
1,8,12,16,19
3
平面向量
3,14
4
计数原理与概率统计
4,18
5
三角函数与解三角形
5,9,14,19
6
平面解析几何
6,11,13,17
7
数列
7,10,19
8
复数
10
9
空间向量与立体几何
15