2025届吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高三下学期数学模拟试题（二模）含解析

这是一份2025届吉林省延边朝鲜族自治州延吉市高三下学期数学模拟试题（二模）含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知（i为虚数单位），则（ ）
A．1B．C．2D．4
2．已知集合，则（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（ ）
A．1B．2C．4D．9
5．已知双曲线的中心为原点，焦点在轴上，两条渐近线夹角为，且点在上，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．或2
6．在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1：发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，已知接收的信号为0，则发送的信号是1的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知圆台的母线与下底面所成角的正弦值为，则此圆台的表面积与其内切球（与圆台的上下底面及每条母线都相切的球）的表面积之比为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图像与直线有3个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于直线对称
C．在上单调递减
D．在上有2个零点
10．药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，如下表所示：
根据表中数据可得到经验回归方程，则（ ）
A．B．变量y与x的相关系数
C．当时，残差为-1.5D．代谢约10小时后才需要补充药物
11．已知定义在上的偶函数满足，设在上的导函数为，则（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知二项式，则 ．
13．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 .
14．三角形是常见的几何图形，除了我们已经学习的性质外，三角形还有很多性质，如：性质1：的面积；
性质2：对于内任意一点P，有；
性质3：内存在唯一一点P，使得．这个点P称为的“勃罗卡点”，角α称为的“勃罗卡角”．
若的三边长分别为1，1，，根据以上性质，可以计算出的“勃罗卡角”的正切值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：
(1)能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关
(2)为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．
附：其中．
16．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面是的中点，作交于点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)求平面与平面的夹角的大小．
17．已知．
(1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围；
(2)若有极大值m，求证：
18．已知椭圆的一个焦点短轴长为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点.
（i）证明：点在以为直径的圆外：
（ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由.
19．如果数列满足：存在实数，，使得对任意，有，则称数列有界，其中为的下界，为的上界．
(1)写出数列无界的定义；
(2)已知，，数列，的前项和分别为，，讨论数列，的有界性：
(3)两个整数数列，满足方程：，，证明：存在，使得．
答案
1．【正确答案】A
【详解】依题意，，所以.
故选A.
2．【正确答案】B
【详解】由题意得，，，
∴.
故选B.
3．【正确答案】D
【分析】根据三角函数同角关系结合诱导公式求得，然后结合二倍角余弦公式，利用1的代换化弦为切代入计算即可.
【详解】因为，所以，所以，
所以.
故选D.
4．【正确答案】C
【详解】由，，成等差数列，得，则，
即，因此等比数列的公比，
所以.
故选C.
5．【正确答案】C
【详解】由双曲线的两条渐近线夹角为，可知的渐近线方程为或，
由（其中为渐近线的斜率），解得或，
若，如图，令，点不可能在双曲线上；
或设双曲线方程为：，则无解；
若，设双曲线方程为：，则，
此时双曲线方程为.
故选C．
6．【正确答案】B
【详解】设“发送的信号为0”， “接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”， “接收到的信号为1”．由题意得
，，，
，，
，
．
故选B.
7．【正确答案】D
【详解】设上底面半径为，下底面半径为，
如图，取圆台的轴截面，作，垂足为，
设内切球与梯形两腰分别切于点，
可知，，
由题意可知：母线与底面所成角为，
则，可得，
即，，可得，
可知内切球的半径，
可得，，
所以.
故选D.
8．【正确答案】D
【详解】如图，作函数的大致图像（实线），平移直线，由可得，，，故当时，直线与曲线相切；当时，直线经过点，且与曲线有2个不同的交点；当时，直线经过点，且与的图像有3个不同的交点．由图分析可知，当时，的图像与直线有3个不同的交点．
故选D.
9．【正确答案】ACD
【详解】对于A，函数的最小正周期为，A正确；
对于B，因，即的图象关于直线不对称，B错误；
对于C，当时，，因正弦函数在上单调递减，
故在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，由，得或，
解得或，即在上有2个零点，D正确.
故选ACD.
10．【正确答案】AC
【详解】因为样本中心点在直线上，所以，A选项正确；
血液中药物浓度y（mg/L）随代谢时间x（h）的增大而减小，所以变量y与x的相关系数，B选项错误；
当时，，残差为，C选项正确；
令，解得，D选项错误；
综上所述，应选AC．
故选AC.
11．【正确答案】ACD
【详解】由题得，所以即，
所以是奇函数，故，
又由得函数关于点对称，，
所以，故，
所以 ，即函数是周期为6的函数，
所以也是周期为6的函数，即，
由求导得即，
所以，
对于A，，故A正确；
对于B，由无法确定的值，故B错误；
对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确；
对于D，由得，
且即，且即，
且即，
所以，
所以，
所以，故D正确.
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】解：令得，①，
令得，②
①②得，．
13．【正确答案】/
【详解】设，则，
设切点为，则，
则切线方程为，整理可得，
所以，解得，
所以，所以，
设，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为.
14．【正确答案】
【详解】
因为的三边长分别为1，1，，不妨设,如上图，
由余弦定理得,得，
故,在中,,
用正弦定理得,得到，
在中，,
用正弦定理得,
得到，
用差角的正弦公式得：，
得，
故答案为.
15．【正确答案】(1)有
(2)
【详解】（1）由表格中的数据，得，
所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．
（2）利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人，
老师甲从这人中随机选取人，记“至少有人参加跳绳比赛”为事件，
则，
所以至少有人参加跳绳比赛的概率是.
16．【正确答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）在四棱锥中，底面，底面，
则，由底面是正方形，得，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
设，则，
，设平面的法向量为，
则，令，得，则，
而平面，所以平面.
（2）由（1）知，，由，得，
又，且平面，
所以平面.
（3）由（1）知，，且，
设平面的法向量为，则，取，得，
，而，则，
即，则的一个法向量为，
因此，而，则，
所以平面与平面的夹角为.
17．【正确答案】(1)；
(2)证明见解析.
【详解】（1）函数的定义域为，
可得，
令，
所以，
因为时，，所以单调递减，
时，，所以单调递增，
所以，
因为在定义域上单调递增，所以恒成立，
所以，即；
（2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，
此时，
且时，时，
所以，则，，其中，
因为时，，单调递增，
时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以为的极大值点，则，
且，
设，则，
所以在单调递增，
所以，即.
18．【正确答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）存在，或
【详解】（1）由题意得，所以，
则椭圆的标准方程为，
（2）（i）由题意得，，
当直线斜率为0时，此时以为直径的圆的方程为，显然在此圆外；
当直线斜率不为0时，设直线的方程为，
由可得，，
恒成立，
设，
则
故在以为直径的圆外.
（ii）当斜率不存在时，，此时到距离为1，故不存在等边三角形，当斜率为0时，易得不存在等边三角形，
当斜率存在且不为0时，设直线的方程为，
设中点为，又，由（i）得，
，由于在直线上，所以
直线的斜率为，所以.
，
因为是等边三角形，所以，则
解得，即，
故直线的方程为或.
19．【正确答案】(1)见解析
(2)有界；无界
(3)证明见解析
【详解】（1）；
（2）对于数列，当时，，
当时，因为，
所以，
又，所以，所以有界；
对于数列，先证时，，
令，所以，
所以在上单调递增，所以，所以，
令，有，所以，
对于，取，表示不超过的最大整数，
所以，所以无界；
（3）记点，则由条件得，
①若点重合，则，所以，所以；
②若点不重合，则点在以线段为直径的圆上，
所以是单调不增的数列，因为，所以，
当充分大时，要么，所以与重合，所以，
要么，所以充分大时，所有点均重合，
所以存在，使得．x
0
1
2
3
4
5
6
7
8
y
120
110
103
93
82
68
59
47
38
女
男
未参加跳绳比赛
参加跳绳比赛