2024-2025学年陕西省咸阳市泾阳县泾干中学高二（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市泾阳县泾干中学高二（下）期中数学试卷（含答案），共7页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知函数f(x)=f′(1)⋅x2−lnx，则f′(1)=( )
A. 1B. −1C. 2D. −2
2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的三位数，其中被5整除的数有( )
A. 16B. 20C. 30D. 36
3.据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度v(m/s)与行驶时间t(s)的关系为v=1.4t+0.3t2，t∈[0,12]，则当t=10s时，“高原版”复兴号动车的加速度为( )
A. 4.4m/s2B. 7.4m/s2C. 17m/s2D. 20m/s2
4.抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是( )
A. 56B. 59C. 13D. 415
5.设(1+x)+(1+x)2+⋯+(1+x)7+(1+x)8+(1+x)9=a0+a1x+⋯+a8x8+a9x9，则a2=( )
A. 120B. 84C. 56D. 36
6.有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是( )
A. 300B. 360C. 390D. 420
7.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在用7种颜色给5个小区域(A,B,C,D,E)涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有( )
A. 2520种
B. 3360种
C. 3570种
D. 4410种
8.已知函数f(x)=ex−ax2的定义域为(12,2)，且对∀x1,x2∈(12,2),x1≠x2,f(x1)−f(x2)x1−x20)的零点为x0，则当a的值为______时，x0取最大值，最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知f(x)=1+x，g(x)=(1+5x)m(m∈N∗).
(1)当m=5时，求f(x)⋅g(x)的展开式中含x2的项；
(2)若(1+5x)n(n≤10,n∈N∗)的展开式中，倒数第2，3，4项的系数成等差数列，求(1+5x)n的展开式中系数最大的项．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3−x2−ax+2．
(1)若函数f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，求a的取值范围．
(2)若函数f(x)在x=1时取得极值，
①求函数f(x)的单调区间；
②求函数f(x)在区间[−2,2]上的最小值．
17.(本小题12分)
2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”，高铁、扫码支付、共享单车和网购，为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付准备从国内n(n∈N∗)个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415．
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个城市，则：
①假设取出小城市的个数为X，求X的分布列；
②取出3个城市是同一类城市求全为超大城市的概率．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lnx−x2+m．
(1)当m=0时，求函数f(x)的图象在x=2处的切线方程；
(2)若f(x)≤0恒成立，求实数m的取值范围；
(3)若f(x)在[1e,e]上有两个不同零点，求实数m的取值范围．
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=12x2+alnx(a∈R)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若函数g(x)=f(x)−4x+5恰有两个极值点x1、x2．
①求a的取值范围；
②证明：g(x1)+g(x2)>lna．
参考答案
1.A
2.D
3.B
4.D
5.A
6.C
7.D
8.A
9.BCD
10.AB
11.ABC
12.5或7
13.1116
14.e 1e
15f(x)=1+x，g(x)=(1+5x)m(m∈N∗).
(1)当m=5时，f(x)⋅g(x)=(1+x)(1+5x)5=k=05(C5k5kxk+C5k5kxk+1)，
当k=1时，C5151x1+1=25x2，当k=2时，C5252x2=250x2，
则含x2的项为250x2+25x2=275x2．
(2)由题意得(1+5x)n的展开式的通项公式为：Tr+1=Cnr5rxr，
故倒数第2项的系数为Cnn−15n−1，倒数第3项的系数为Cnn−25n−2，倒数第4项的系数为Cnn−35n−3，
由倒数第2，3，4项的系数成等差数列，
可得2Cnn−25n−2=Cnn−15n−1+Cnn−35n−3，化简得10Cn2=25Cn1+Cn3，
变形得5(n−1)=25+(n−1)(n−2)6，得n2−33n+182=0，解得n=7或n=26，
因为n≤10，所以n=7，
此时(1+5x)7=r=07C7r5rxr，设最大项为第r+1项，
可得C7r5r≥C7r+15r+1C7r5r≥C7r−15r−1，解得173≤r≤203，
又因为r为正整数，
所以r=6，则系数最大的项为第七项且第七项为C7656x6=109375x6．
16.(1)由题意可得f′(x)=3x2−2x−a，
若f(x)在区间(2,+∞)上单调递增，
则f′(x)≥0在(2,+∞)恒成立⇔3x2−2x−a≥0在(2,+∞)恒成立，
即a≤3x2−2x在(2,+∞)恒成立，
令g(x)=3x2−2x，其对称轴为x=13，所以g(x)在(2,+∞)上单调递增，
且g(2)=8，所以只需a≤8．
即a的取值范围为：(−∞,8]．
(2)①由题得f′(x)=3x2−2x−a，x∈R．
由函数f(x)在x=1时取得极值，得f′(1)=1−a=0，解得a=1，
此时f′(x)=3x2−2x−1=(3x+1)(x−1)，显然x=1是f′(x)的变号零点，
即x=1是极值点，因此a=1,f′(x)=3(x+13)(x−1)，
所以当x1时，f′(x)>0，当−13