2024-2025学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳市高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知椭圆x24+y29=1的两焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则|PF1|+|PF2|的值为( )
A. 2B. 3C. 4D. 6
2.已知f(x)=2f′(0)sinx−3x，则f′(0)=( )
A. 3B. 1C. −3D. −1
3.圆x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线x−y+1=0的距离为( )
A. 2B. 2C. 3D. 3 2
4.已知{an}是公差不为0的等差数列，a1=−2，若a3，a4，a6成等比数列，则a9=( )
A. −20B. 14C. 16D. 18
5.已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的离心率为 3，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为( )
A. 2B. 2C. 4D. 5
6.某兴趣小组研究光照时长x(ℎ)和向日葵种子发芽数量y(颗)之间的关系，采集5组数据，如下表所示.若去掉最后一组数据(10,2)后，下列说法正确的是( )
A. 相关系数r的绝对值变小B. 相关变量x，y具有负相关关系
C. 拟合误差变大D. 解释变量与响应变量的相关性变强
7.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，乙和丙不相邻.则不同排列方式共有( )
A. 12种B. 24种C. 48种D. 72种
8.南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，则该数列的第28项为( )
A. 735B. 733C. 731D. 729
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一次问答竞赛中，已知A组的成绩X与B组的成绩Y均服从正态分布，且X∼N(130,25)，Y∼N(135,36)，则( )
A. E(Y)=135B. P(X0时，f(x)=(x−2)(x+1)2，则下列说法正确的有( )
A. 函数f(x)有3个零点
B. x=−1是函数f(x)的极小值点
C. 若x∈[−2,2]，则函数f(x)的最小值为−4
D. 若m∈(−4,−2)，则方程f(x)=m有3个实数根
11.已知抛物线E：y2=8x的焦点为F，顶点为O，过点F作直线l1，交抛物线E于A，B两点，点A在x轴上方，分别过点A，B作直线l2：x=−2的垂线，垂足分别为A1，B1，则下列说法正确的是( )
A. 直线l2是抛物线E的准线B. 若直线l1的斜率为2，则|AB|=10
C. △ABO面积的最小值为4D. |AA1|+4|BB1|的最小值为18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(x−1)6的展开式中，x2项的系数为______．
13.经验表明，一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大，树就越高.在研究树高y与胸径x之间的关系时，某同学收集了某种树的5组观测数据(如表)：
假设树高y与胸径x满足的经验回归方程为y =b x−2.2，则当胸径x=15时，树高y的预测值为______m.
14.如图，某植物园的参观路径形如三叶草，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有______种.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某地区为了评估新课改对学生成绩的影响，对两个程度相近的学校的高一年级的学生进行为期一个学期的实验.甲校高一年级采用新课改教学方法，乙校高一年级采用传统教学方法.学期末，在甲、乙两个学校的高一年级学生中各随机抽取200名，统计其期末考试成绩，成绩分为优秀(550分及以上)和非优秀(550分以下)两个等级，以下是样本统计结果的列联表：
(I)请根据以上信息，将列联表补充完整；
(Ⅱ)根据小概率值α=0.005的独立性检验，能否认为推广新课改与成绩是否优秀有关？附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)，其中n=a+b+c+d．
16.(本小题15分)
某电子设备制造厂所用的元件是由甲、乙、丙三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有如表所示的数据.设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的且不区别标志．
(I)在仓库中随机取一只元件，求它是次品的概率；
(Ⅱ)在仓库中随机地取一只元件，若已知取到的是次品，求此次品出自甲工厂生产的概率．
17.(本小题15分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1=2AB=2AC=4，AB⊥AC，E，F分别为CC1，BC的中点.建立适当的空间直角坐标系，用空间向量方法解决如下问题：
(I)求证：BA1⊥AC；
(Ⅱ)求平面AEF与平面A1BE夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
某校组织古诗词知识比赛，比赛分为两阶段，第一阶段参赛者从诗词基础知识和诗词的鉴赏与解读这两个题库中选择一个题库，并回答题库中的3个问题，至少答对其中2个问题，才能进入第二阶段，否则被淘汰，比赛成绩为0分；第二阶段参赛者选择刚刚没有被选中的题库，回答题库中的3个问题，答对一个问题得5分，比赛的成绩是第二阶段的得分总和.已知甲答对诗词基础知识题库中的每个问题的概率均为34，答对诗词的鉴赏与解读题库中的每个问题的概率均为12，各次答题是否正确相互独立．
(I)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库．
(i)求甲通过第一阶段的概率；
(ii)求甲的比赛成绩为10分的概率；
(Ⅱ)为使得甲最终得分的数学期望最大，第一阶段应该选择哪个题库？
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=xe12x−ex．
(I)求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；
(Ⅱ)证明：∀x∈(0,+∞)，f(x)ln(n+1)．
答案解析
1.【答案】D
【解析】解：由已知得，a=3，
由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=6．
故选：D．
根据已知条件求得a，利用椭圆的定义求得正确答案．
本题主要考查椭圆的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：根据题意，f(x)=2f′(0)sinx−3x，则f′(x)=2f′(0)csx−3，
令x=0，有f′(0)=2f′(0)−3，
变形可得f′(0)=3．
故选：A．
根据题意，求出函数的导数，将x=0代入计算可得答案．
本题考查导数的计算，注意导数的计算公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，圆x2+y2+2x+4y=0即(x+1)2+(y+2)2=5，
所以圆心为C(−1,−2)，半径r= 5，
可得圆心到直线x−y+1=0的距离d=|−1+2+1| 12+(−1)2= 2．
故选：A．
将圆的方程化为标准方程，求出圆心的坐标，进而根据点到直线的距离公式求出答案．
本题主要考查圆的方程、点到直线的距离公式等知识，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意，设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，
若a1=−2，a3，a4，a6成等比数列，则有(−2+3d)2=(−2+2d)(−2+5d)，
变形可得：d2−2d=0，
解可得：d=2或d=0(舍)，
故a9=a1+8d=−2+8×2=14．
故选：B．
根据题意，设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，分析可得(−2+3d)2=(−2+2d)(−2+5d)，求出d的值，进而计算可得答案．
本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及等比中项的性质，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由已知，a=1，离心率e= 1+b2a2= 1+b2= 3，所以b= 2，
所以双曲线C的焦点到渐近线的距离为b= 2．
故选：A．
根据方程及离心率可得b，即双曲线C的焦点到渐近线的距离．
本题主要考查双曲线的方程和离心率，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：由题意可知，D(10,2)较其他的点偏离回归直线最大，因此去掉D(10,2)后，回归效果更好，
对于选项A，相关系数|r|越接近于1，线性相关性越强，
所以去掉D(10,2)后，相关系数r的绝对值变大，故A错误；
对于选项B，由表格数据可知x越大，y越大，所以相关变量x，y具有正相关关系，故B错误；
对于选项C，因为残差平方和越大，拟合效果越差，因此去掉D(10,2)后，残差平方和变小，拟合误差变小，故C错误；
对于选项D，由选项A知，去掉D(10,2)后，相关系数r的绝对值变大，
所以解释变量x与响应变量y的相关性变强，故D正确．
故选：D．
D(10,2)较其他的点偏离回归直线最大，去掉D(10,2)后，回归效果更好，结合相关系数、正负相关性、残差平方和以及相关性逐项分析判断．
本题主要考查了变量间的相关关系，考查了相关系数的性质，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：已知甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，
又甲不站在两端，乙和丙不相邻，
当乙和丙不相邻时，不同排列方式有A33⋅A42=72种；
当甲站在两端，乙和丙不相邻时，不同排列方式有2A22⋅A32=24种，
则甲不站在两端，乙和丙不相邻时的不同排列方式共有72−24=48种．
故选：C．
由排列、组合及简单计数问题，结合分类加法、分步乘法计数原理及不相邻问题插空法求解即可．
本题考查了排列、组合及简单计数问题，重点考查了分类加法、分步乘法计数原理及插空法，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：若某个二阶等差数列的前4项为：2，3，6，11，
即a1=2，a2=3，a3=6，a4=11，
可得a2−a1=1，a3−a2=3，a4−a3=5，⋯，an−an−1=2n−3，
所以an=a1+(a2−a1)+(a3−a2)+(a4−a3)+(an−an−1) =2+(n−1)(1+2n−3)2=n2−2n+3，
所以a28=n2−2n+3=282−2×28+3=731．
故选：C．
根据题意，得到a2−a1=1，a3−a2=3，a4−a3=5，⋯，an−an−1=2n−3，结合累加法，求得an=n2−2n+3，进而得到数列的第28项的值，得到答案．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，Y∼N(135,36)，则E(Y)=135，A正确；
对于B，X∼N(130,25)，则P(X7.879=x0.005，
所以根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为推广新课改与成绩是否优秀有关．
(I)根据题意，结合题设中的数据，补充完整的2×2列联表；
(Ⅱ)由2×2列联表中的数据，求得χ2，再与临界值作比较，即可得出结论．
本题考查列联表与独立性检验，考查学生运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】(Ⅰ)0.014；(Ⅱ)27．
【解析】(Ⅰ)设A表示“取到的是一只次品”，B1表示“所取到的元件是由甲制造厂提供的”，
B2表示“所取到的元件是由乙制造厂提供的”，B3表示“所取到的元件是由丙制造厂提供的”，
则P(B1)=0.2，P(B2)=0.7，P(B3)=0.1，
P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03，
由全概率公式得：
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.2×0.02+0.7×0.01+0.1×0.03=0.014．
(Ⅱ)该元件出自甲工厂的概率为：
P(B1|A)=P(B1A)P(A)=P(A|B1)P(B1)P(A)=0.02×．
(Ⅰ)根据已知条件和全概率公式可求得结果．
(Ⅱ)根据条件概率公式即可求出答案．
本题考查条件概率、全概率公式等基础题，考查运算求解能力，是基础题．
17.【答案】(I)证明见解析；(Ⅱ) 23．
【解析】解：(I)证明：在直三棱柱ABC−A1B1C1中，
有AA1⊥AB，AA1⊥AC，AB⊥AC，
以A为坐标原点，分别以AB、AC、AA1所在直线为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,4)，
∴EA1=(−2,0,4)，AC=(0,2,0)，
∴BA1⋅AC=−2×0+0×2+4×0=0，
∴BA1⊥AC，即BA1⊥AC；
(Ⅱ)由(I)得E(0,2,2)，F(1,1,0)，∴AE=(0,2,2)，AF=(1,1,0)，BE=(−2,2,2)，
设平面AEF的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅AE=0m⋅AF=0，即2y+2z=0x+y=0，
令y=−1，即m=(1,−1,1)，
设平面A1BE的法向量为n=(a,b,c)，
则n⋅BA1=0n⋅BE=0，即−2a+4c=0−2a+2b+2c=0，
令a=2，即n=(2,1,1)，
∴cs=m⋅n|m||n|=2 3× 6= 23，
∴平面AEF与平面A1BE夹角的余弦值为 23．
(I)根据已知构建合适的空间直角坐标系，并标注出相关点坐标，应用向量法证明异面直线垂直即可；
(Ⅱ)由(I)求出平面AEF与平面A1BE1的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值．
本题考查线线垂直的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
18.【答案】(I)(i)2732；(ii)81256；
(Ⅱ)应选择诗词基础知识题库．
【解析】(I)(i)若甲通过第一阶段，则甲答对诗词基础知识题库中的问题数为3或2，
所以甲通过第一阶段的概率为P1=(34)3+C32×(1−34)×(34)2=2732．
(ii)若甲的比赛成绩为10分，则甲通过第一阶段并在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目，
由(i)可知，甲通过第一阶段的概率为2732，甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率为P2=C32×(12)2×(1−12)=38，
又各次答题是否正确相互独立，则甲的比赛成绩为10分的概率为P3=P1P2=2732×38=81256．
(Ⅱ)若甲第一阶段选择诗词基础知识题库，设最终得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0，5，10，15，
则P(X=0)=532+2732×(1−12)3=67256，
P(X=5)=2732×C31×12×(1−12)2=81256，
P(X=10)=2732×C32×(12)2×(1−12)=81256，
P(X=15)=2732×(12)3=27256，
E(X)=0×67256+5×81256+10×81256+15×27256=40564．
若甲第一阶段选择诗词的鉴赏与解读题库，设最终得分为随机变量Y，
则Y的所有可能取值为0，5，10，15，
由题意可知，甲通过第一阶段的概率为(12)3+c32×(12)2×(1−12)=12，
甲第一阶段被淘汰的概率为1−12=12，
所以P(Y=0)=12+12×(1−34)3=65128，
P(Y=5)=12×C31×34×(1−34)2=9128，
P(Y=10)=12×C32×(34)2×(1−34)=27128，
P(Y=15)=12×(34)2=27128，
所以E(Y)=0×65128+5×9128+10×27128+15×27128=458，
因为E(X)>E(Y)，所以为使得甲最终得分的数学期望最大，甲第一阶段应选择诗词基础知识题库．
(I)(i)应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求概率；
(ii)应用独立重复试验的概率求法求甲在第二阶段答对诗词的鉴赏与解读题库中2个题目的概率，结合(i)及乘法公式求概率；
(Ⅱ)根据已知分别求出甲选择不同题库得分的期望，比较它们的大小，即可得结论．
本题考查相互独立事件的概率乘法公式、二项分布求概率、离散型随机变量的均值等，属于中档题．
19.【答案】(I)y=(2e−e2)x−2e+e2；
(Ⅱ)证明见解析；
(Ⅲ)证明见解析．
【解析】(I)∵f(x)=xe12x−ex，
∴f′(x)=e12x+x2e12x−ex=(1+x2)e12x−ex，
∴f(2)=2e−e2，f′(2)=2e−e2，
∴所求切线方程为y−2e+e2=(2e−e2)(x−2)，即y=(2e−e2)x−2e+e2．
(Ⅱ)证明：要证f(x)=xe12x−ex1，且t2=ex，x=2lnt，
∴只需证2tlntln(n+1)，得证．
(I)利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而得解；
(Ⅱ)由题，问题转化为证明xe12x−ex+10)，只需证2lnt恒成立，设ℎ(t)=2lnt−t+1t，求导，判断单调性求出最值得证；
(Ⅲ)由(Ⅱ)，令t= n+1n，可得2ln n+1n< n+1n− nn+1，即lnn+1nk0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
元件制造厂
次品率
提供元件的份额
甲
0.02
0.2
乙
0.01
0.7
丙
0.03
0.1
学校
成绩
合计
优秀
非优秀
甲校
150
50
200
乙校
120
80
200
合计
270
130
400