2024-2025学年福建省福州市文博中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年福建省福州市文博中学高一（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若复数z满足(2+3i)z=1+8i，则复数z−在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.下列说法正确的是( )
A. 若a⋅b=b⋅c，则a=c
B. 若a//b，则存在唯一实数λ使得a=λb
C. 若a//b，b//c，则a//c
D. 与非零向量a共线的单位向量为±a|a|
3.下列说法正确的是( )
A. 有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C. 各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D. 九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形
4. 在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB=( )
A. 34AB−14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
5.已知i为虚数单位，1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，则p+q=( )
A. −2B. 0C. 2D. 4
6.如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则图形的周长是( )
A. 4+4 3cm B. 8 2cm
C. 8cm D. 16cm
7.下列四个命题：
①任意两条直线都可以确定一个平面；
②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；
③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；
④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．
其中错误命题的个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
8.如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC(包括端点)上一点，则AP⋅AB的取值范围是( )
A. [1,4+ 24]
B. [1,1+ 22]
C. [1,2+ 22]
D. [ 24,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设z1，z2为复数，则下列命题中一定成立的是( )
A. 如果z1−z2>0，那么z1>z2B. 如果|z1|=|z2|，那么z1z1−=z2z2−
C. 如果|z1z2|>1，那么|z1|>|z2|D. 如果z12+z22=0，那么z1=z2=0
10.如图是正方体的展开图，则在这个正方体中，下列命题正确的是( )
A. AF与CN平行
B. BM//AN
C. DE与CN是相交直线
D. BM与DE是异面直线
11.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是( )
A. 若A>B，则sinA>sinB
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
C. 若tanA+tanB+tanC>0，则△ABC一定为钝角三角形
D. 若b=2，A=30°的三角形有两解，则a的取值范围为(1,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数z满足|z−1|=1，则|z|的最大值为______．
13.圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图扇环的圆心角是180°(如图)，那么圆台的体积是______．
14.如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BCD=60°，CB=CD=2 3.若点M为边BC上的动点，则AM⋅DM的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1满足(z1−2)(1+i)=1−i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1⋅z2是实数．
(1)求z2；
(2)设z1，z2在复平面内的对应点分别为A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形的面积.(O为坐标原点)
16.(本小题15分)
如图，正四棱锥底面正方形的边长为4，侧棱长为2 3．
(1)求该几何体的表面积；
(2)求该几何体外接球的体积．
17.(本小题15分)
如图，在△ABC中，|AB|=2，|AC|=3，∠BAC=π3，且BC=2BD，AC=3AE，设AD与BE交于点P．
(1)求AD⋅BE；
(2)求cs∠APB．
18.(本小题17分)
△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a=c(csB+ 3sinB)．
(1)求角C的大小：
(2)若AB边上的中线CD=1，求△ABC的面积的最大值．
19.(本小题17分)
如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min，在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为3150m，经测量，csA=1213,csC=35．
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
答案解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查复数的几何意义，复数的除法运算，共轭复数，属于基础题．
利用复数的乘除运算化简求出z，根据共轭复数的定义得z−，再利用复数的几何意义判断其所在的象限，即可得出答案．
【解答】
解：由题可得：z=1+8i2+3i=(1+8i)(2−3i)(2+3i)(2−3i)=26+13i13=2+i，
z−=2−i，对应的点(2,−1)，在第四象限．
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：对于A：a⋅b=b⋅c，则a和c不一定相等，故A错误；
对于B：若a/​/b，(b≠0)则存在唯一实数λ使得a=λb，故B错误；
对于C：若a/​/b，b/​/c，(b≠0)，则则a/​/c，故C错误；
对于D：与非零向量a共线的单位向量为±a|a|，故D正确；
故选：D．
直接利用向量的数量积，向量垂直的充要条件，向量的共线，单位向量的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：向量的数量积，向量垂直的充要条件，向量的共线，单位向量，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：有两个面平行，其余各面有相邻的公共边且都相互平行的平行四边形的几何体叫棱柱，如图所示A、B都不正确．
各侧面都是正方形的四棱柱，上下底面可能是菱形，所以C不正确．
根据棱柱的定义可知九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面均为平行四边形故D正确．
故选：D．
根据棱柱的定义及结构特点，分别判断四个选项即可．
本题考查了棱柱的定义及结构特点，要有一定的空间想象能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查平面向量的运算，以及平面向量基本定理，属于较易题．
根据向量的加法运算法则运算即可得解．
【解答】
解：如图，
BE=12BA+12BD=12BA+14BC=12BA+14(BA+AC)
=12BA+14BA+14AC=34BA+14AC，
所以EB=34AB−14AC．
故选A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，考查了推理与计算能力，属于基础题．
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：1−i也是原方程的一个虚根，利用根与系数的关系即可求出答案．
【解答】
解：因为1+i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的一个根，
根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：1−i也是原方程的一个虚根，
所以(1+i)+(1−i)=−p，
(1+i)(1−i)=q，
解得：p=−2，q=2．
所以p+q=0．
故选：B．
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查平面图形直观图的斜二测画法，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，属于基础题．
根据斜二测画法画直观图的性质，还原原图，结合图形求得原图形的各边长，可得周长．
【解答】
解：根据题意，直观图正方形O′A′B′C′的边长2cm，∴O′B′=2 2，
原图形为平行四边形OABC，其中OA=2，高OB=4 2．
则AB=CO= 32+4=6cm．
故原图形的周长L=2×6+2×2=16cm；
故本题选D．
7.【答案】C
【解析】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；
在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，
若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；
在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，
如四面体S−ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；
在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．
故选：C．
两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．
本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得，圆O的半径r= 12+122= 22，
如图，以A为原点，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(1,0)，AB=(1,0)，
设点P(xP,yP)，
因为P是弧BC(包括端点)上一点，
所以xP∈[1,12+ 22]，
因为AP⋅AB=|AP|⋅|AB|cs∠PAB=xP⋅|AB|=xP，
所以AP⋅AB∈[1,1+ 22].
故选：B．
由题意得，圆O的半径r= 22，建立平面直角坐标系，设点P(xP,yP)，可得xP∈[1,12+ 22]，进而可求得AP⋅AB的取值范围．
本题考查了平面向量数量积的运算，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】【分析】
本题主要考查复数的乘法运算、共轭复数、复数的模及其几何意义，属于基础题
举例即可说明A、D项；根据zz−=|z|2即可得出B项；由|z1z2|=|z1||z2|，即可判断C项．
【解答】
解：对于A项，取z1=3+i，z2=1+i时，z1−z2=2>0，但虚数不能比较大小，故A项错误；
对于B项，由|z1|=|z2|，得|z1|2=|z2|2．
又z1z1−=|z1|2，z2z2−=|z2|2，所以z1z1−=z2z2−，故B项正确；
对于C项，因为|z1z2|=|z1||z2|>1，所以|z1|>|z2|，故C项正确；
对于D项，取z1=1，z2=i，满足z12+z22=0，但是z1≠z2≠0，故D项错误．
故选：BC．
10.【答案】BD
【解析】解：将正方体的展开图还原为正方体ABCD−EFMN，如图所示，
可得AF与CN是异面垂直，故选项A错误；
BM与AN平行，故选项B正确；
DE⊂平面ADNE，N∈平面ADNE，C∉平面ADNE，N∉DE
由异面直线定义可得，DE与CN是异面直线，故选项C错误；
BM与DE是异面垂直，故选项D正确．
故选：BD．
把平面图还原正方体，由正方体的结构特征判定A与B；由相交直线的定义判断C，由异面直线的定义判断D．
本题考查线面位置关系的判定，属于基础题．
11.【答案】ABD
【解析】解：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
对于A：根据大角对大边，A>B⇒a>b，
根据正弦定理可得2RsinA=a>b=2RsinB，
则sinA>sinB，A正确；
对于B：若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2，
所以π2>A>π2−B>0，则sinA>sin(π2−B)=csB，B正确；
对于C：因为tanC=tan[π−(A+B)]=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanA⋅tanB，
所以tanC⋅(tanA⋅tanB−1)=tanA+tanB，所以tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，
因为tanA+tanB+tanC>0，所以tanA，tanB，tanC中有0个或2个为负数，
又因为A，B，C中最多一个为钝角，
所以tanA>0，tanB>0，tanC>0，即A，B，C都是锐角，
所以△ABC为锐角三角形，C错误；
对于D：因为三角形有两解，如下图所示，
由图可得bsinA