2024~2025学年天津市高三上册10月月考数学试卷（附解析）

这是一份2024~2025学年天津市高三上册10月月考数学试卷（附解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）
1. 集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先解不等式求出集合，，再根据交集的定义求解即可．
【详解】由，
，
则，
即，
故选：C.
2. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】D
【分析】分别化简和,再根据充分、必要条件判断即可.
【详解】因为在单调递增，且,
所以，即
因为，所以,即,
所以存在两种情况：且，且，
因此推不出,
同样推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3. 在一段时间内，分5次测得某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据，绘制散点图如图所示，利用最小二乘法求得相应的经验回归方程为，根据上述信息，如下判断正确的是（ ）
A. 商品的价格和需求量存在正相关关系B. 与不具有线性相关关系
C. D. 价格定为万元，预测需求量大约为
【正确答案】D
【分析】由散点图判断A，根据回归直线方程判断B，求出，，根据回归直线方程必过样本中心点求出，令求出，即可判断D.
【详解】由散点图可知，商品的价格和需求量存在负相关关系，故A错误；
由经验回归方程为，可知与具有线性相关关系，故A错误；
又，，
又经验回归直线方程必过样本中心点，
则，解得，故C错误；
当时，，
所以价格定为万元，预测需求量大约为，故D正确．
故选：D．
4. 函数的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出函数的定义域和奇偶性，排除BD，再求出特殊点的函数值，得到答案.
【详解】定义域为，
且，
所以函数是奇函数，图象关于原点中心对称，排除B、D．
又，故A错误.
故选：C．
5. 已知，，，则（ ）.
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断.
【详解】因为，
，，
故.
故选：C.
6. 已知，，为球的球面上的三点，圆为△的外接圆，若，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】应用正弦定理求△的外接圆半径，再根据外接球球心与截面圆心距离与截面圆半径、球体半径间的几何关系求球的半径，进而求球的表面积.
【详解】由正弦定理得：△的外接圆半径满足，解得．
设球的半径为，由平面，得，
∴球的表面积为．
故选：．
7. 已知双曲线：，抛物线：的焦点为，准线为，抛物线与双曲线的一条渐近线的交点为，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D. 2
【正确答案】B
【分析】根据给定条件，结合抛物线的定义求出点的坐标，进而求出即可求解作答.
【详解】抛物线：的焦点为，准线为：，令交于点，即有，

由，直线的倾斜角为，得，则，，
又，则为正三角形，，因此点，
双曲线：过点的渐近线为，于是，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B
8. 函数，其中，其最小正周期为，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 函数图象关于点对称
C. 函数图象向右移（）个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为
D. 若，则函数的最大值为
【正确答案】C
【分析】利用二倍角公式化简可得，由最小正周期可求得，可判断A错误，将点代入验证可得B错误，由平移规则并利用其对称性可得C正确，由三角函数值域可得的最大值为，即D错误.
【详解】易知
；
对于A，由最小正周期为可得，即可得，即A错误；
对于B，由A可得，将代入检验可得，可得B错误；
对于C，若将函数图象向右移（）个单位可得到，
若的图象关于轴对称，则可得，即，
又因为，则当时，的最小值为，故C正确；
对于D，若，，即，
所以函数最大值为，即D错误.
故选：C
9. 如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法错误的是（ ）
A. B.
C. 存在最大值为9D. 的最大值为
【正确答案】D
【分析】将分别用表示，结合数量积的运算律计算判断AB；以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算计算判断CD.
【详解】在边长为3的正中，，为的中点，则，
对于A，由，得，则，A正确；
对于B，，
则
，B正确；
对于C，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，如图，
则，显然点在以为圆心，为半径的下半圆上，
设，
则，
，
由，得，则当时，取得最大值，C正确；
对于D，由，得，
即，
因此，则，
而，则当时，取得最大值，D错误.

故选：D
关键点点睛：本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.试题中包含两个空的，答对一个的给3分，全部答对的给5分.
10. 已知复数满足（其中为虚数单位），则_______．
【正确答案】
【分析】由复数的运算得出，即可根据共轭复数的概念及模长计算得出答案.
【详解】由，得，
所以，
故答案为.
11. 的展开式中的系数是______.(用数字作答)
【正确答案】
【分析】写出二项展开式的通项，再根据通项赋值即可得展开式中的系数.
【详解】的展开式的通项
所以展开式中的系数是.
故答案为.
12. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________．
【正确答案】 ① ## ②. 0.42##
【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空.
【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为；
而来自不同家庭的概率为，
则游戏成功的概率为.
故；
13. 已知直线与圆相交于两点，且，则实数_______
【正确答案】7
【分析】利用弦长公式和点到直线距离公式列方程求解即可.
【详解】根据题意，圆，
即，其圆心为，半径，
若，则圆心到直线即距离，
又由圆心到直线的距离，
则有，解可得.
故答案为.
14. 若，且，则的最小值为______.
【正确答案】5
【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故5.
15. 设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是________．
【正确答案】，．
【分析】设，结合题意可知函数在区间，内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解．
【详解】由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，
设，
即函数在区间，内恰有3个零点，
当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
，
所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且，
当，即时，函数在区间，上无零点，
所以函数在，上有三个零点，不符合题意；
当，即时，函数在区间，上只有一个零点，
则当，时，，
令，解得或，符合题意；
当，即时，函数在区间，上有1个零点，
则函数在，上有2个零点，
则，即，所以；
当，即时，函数在区间，上有2个零点，
则函数在，上只有1个零点，
则或或，即无解．
综上所述，的取值范围是，．
故，．
本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
三、解答题（本大题5小题，共75分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 在中，内角的对边分别为、、，已知，，.
（1）求角的大小；
（2）求边；
（3）求的值.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据题意由三角恒等变换可得，即可求出；
（2）利用余弦定理计算即可得；
（3）利用正弦定理可求得，再由二倍角公式以及两角和的正弦公式计算可求得结果.
【小问1详解】
因为，
所以
所以，
因为，所以，所以
又，所以；
【小问2详解】
中，由余弦定理及，，，
可得，
解得.
【小问3详解】
由正弦定理，可得.
因为，故.
因此，.
所以
17. 如图，边长为2的等边所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M为BC的中点．
（1）证明：；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）求点D到平面的距离．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；
（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法求出平面与平面夹角的大小；
（3）求出平面的法向量，利用向量法求出点D到平面的距离．
【小问1详解】
以D为原点，为x轴，为y轴，
过D作平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
，所以.
【小问2详解】
因为平面的法向量，
又，
设平面的法向量，
则，取，
设平面与平面夹角的大小为，
，所以，
所以平面与平面夹角的大小为；
【小问3详解】
，
由（2）知平面的法向量，
所以点D到平面的距离．
18. 已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.
【正确答案】（1）（2）
【详解】试题分析：（1）由题意，，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理，，所以所以，解得.
试题解析：
（1）联立解得，故
又，，联立三式，解得，，，
故椭圆的标准方程为.
（2）设，，联立方程消元得，
，
∴，，
又是一个与无关的常数，∴，即，
∴，.∵，∴.
当时，，直线与椭圆交于两点，满足题意.
19. 设an是等比数列，bn是递增的等差数列，bn的前项和为（），，，，.
（1）求数列an和bn的通项公式；
（2）将数列an与数列bn的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和；
（3）x表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围.
【正确答案】（1），
（2）
（3）
【分析】(1)设出公比和公差，得到方程组，求出公比和公差，求出通项公式；
(2)数列与数列都是递增数列，根据(1)可知在新数列中只有5项，其余45项为数列中项，分别计算数列前五项和与数列前45项和即可求解；
(3)由，即可得，，令由值，可判断的单调性，计算出前五项，即可得的取值范围.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，等差数列的公差为（），
由已知条件得，即，
解得. （舍去）或，
所以，
【小问2详解】
数列与数列都是递增数列，，，，，
，，
新数列的前项和为：
【小问3详解】
，
其中，
所以，，
集合，设，
则，
所以当时，，当时，.
计算可得，，，，，
因为集合有4个元素，.
20. 已知函数，.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（3）若有三个零点，，，且，求证.
【正确答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；
（2）首先不等式转化为恒成立，并判断，并根据函数的导数，讨论得到取值，判断函数的单调性，即可求解；
（3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在0,+∞上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明.
小问1详解】
由函数，可得f1=0，
且，则，
曲线y=fx在1,f1处的切线方程为；
【小问2详解】
当x∈1,+∞时，等价于，
设，则，，
（ⅰ）当，x∈1,+∞时，，
故，在1,+∞上单调递增，因此；
（ⅱ）当时，令得，.
由和得，
故当时，，在单调递减，因此.
综上，的取值范围是.
【小问3详解】
由等价于，
令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点，
又由，令（），
当时，恒成立，故这时在0,+∞单调递减，不合题意：
当时，由题意，首先在0,+∞上有两个零点，
故，解得，
设两个零点为和，有，，故可知，均大于0，
由此可得在单调递增，单调递减，单调递增，
而，即，，，
又因为，，
故在0,1内恰有一个零点，在1,+∞内恰有一个零点，
又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即ℎx恰有3个零点，
实数的取值范围是.
，由，
由此可得，要想证明，
只需证明，而，
因此只需要证明当时，，
令，，
可得，故φx在上单调递增，
因此当时，，即当时，，
因此，
由，有，即，
两边同时除以，由，有，
即.
关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1是求出的取值，关键2是证明.价格
2
需求量
12
10
7