2024~2025学年湖南省衡阳市高三上册第二次月考（10月）数学试卷[有解析]

这是一份2024~2025学年湖南省衡阳市高三上册第二次月考（10月）数学试卷[有解析]，共12页。试卷主要包含了若集合，则，设，其中i为虚数单位，已知圆C，函数的大致图象是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合，则（ ）
A．B．C．D．
2．设，其中i为虚数单位．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列的公比为，若，且成等差数列，
则（ ）
A．0或 B． C． D．
4．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则// D．若，则
5．已知圆C:过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为，则的最小值为（ ）
A．2B．4C．D．3
6．函数的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
7．已知平行四边形中， ，，分别为边BC，CD的中点，若，则四边形面积的最大值为（ ）
A．B．C．4D．2
8．已知函数，若不等式的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9．已知正方形ABCD在平面直角坐标系xOy中，且AC：，则直线AB的方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的部分图象如图所示，其中，图象向右平移个单位后得到函数y=gx的图象，
且y=gx在上单调递减，则下列说正确的是（ ）
A． B．为图象的一条对称轴
C．t可以等于5 D．t的最小值为2
11．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（ ）
A．为上的单调递增函数 B．为奇函数
C．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点
D．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．若，则_________
13．已知体积为的球与正四棱锥的底面和4个侧面均相切，已知正四棱锥的底面边长为. 则该正四棱锥体积是___________.
14．已知an是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中元素的个数，若时，规定.
（1）若，则___________ ；
（2）若数列bn是等差数列，则数列an的前50项之和为 .
四．解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程演算步骤.
15．（13分）设为数列的前n项和，满足.
(1)求数列的通项公式； (2)记，求.
16．（15分）已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求； (2)若，则面积为，求的值.
D
17．（15分）如图所示，三棱柱的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，，点D，E，F分别是所在棱的中点.
（1）在线段上找一点使得平面∥平面，给出点的位置并证明你的结论；
（2）在（1）的条件下，求二面角的余弦值.
18．（17分）已知动圆经过点且与直线相切，记圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)设过点且斜率为正的直线交曲线于两点（点在点的上方），的中点为，
①过作直线的垂线，垂足分别为，试证明：；
②设线段的垂直平分线交轴于点，若的面积为4，求直线的方程．
19．（17分）设函数．
(1)若曲线在点处的切线方程为，求a的值；
(2)当时恒成立，求实数a的取值范围；
(3)证明：．
数学试题答案
1．D
【详解】∵，∴，∴，又∵，∴，
，∴，即， ∴.
2．A
【详解】因为，所以．令，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A
3．B
【详解】成等差数列，，又，
，整理可得：，
，解得：（舍）或. 故选：B.
4．C
【详解】对A：若，则的位置关系不确定，故A错误；
对B：若，则的位置关系不确定，故B错误；
对C：若，则//，故C正确；
对D：若，则的位置关系不确定，故D错误. 故选：C.
5．C
【详解】如图所示：连接，则，
当最小时，最小，，故的最小值为.
6．B
【详解】函数的定义域为，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
且，，
因为，所以，所以只有B符合.
7．A
【详解】以点为原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，

设，
则，
所以，
所以，
从而，即，等号成立当且仅当，
四边形面积的表达式为，
从而，等号成立当且仅当，
所以四边形面积的最大值为. 故选：A.
8．C（自己看着办）
9．AC
【详解】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，
直线斜率为2，有，则.
依题意有或，
当时，，即，
解得，即直线的斜率为-3，C选项中的直线斜率符合；
当时，，即，
解得，即直线的斜率为，B选项中的直线斜率符合.故选：AC
10．BD
【详解】由函数图象，可得，所以，
所以，解得，
又由函数的图象过点，且，
当时，可得，所以，
解得，因为，可得；
当时，可得，所以，
解得，因为，不存在，舍去，
综上可得，，，所以，所以A不正确.
易知B正确；
将函数的图象向右平移个单位后，得到，
因为在上单调递减，则满足．
解得，
当时，，而，故不可能等于5，所以C错误．
当时，，又因为，所以，所以D正确． 故选：BD.
11．ABC
【详解】对于选项A，设，且，，，即，故单调递增，选项A正确；
对于选项B，是定义在R上的函数，取，则，
取，则，即f−x=−fx，
故是奇函数，选项B正确；
对于选项C、D，设，代入，得，
其中D选项，，，
当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
函数在处取极大值，无极小值,选项C错误；
其中C选项，函数，
其中，
，
，
，
由零点存在性定理可知，函数分别在区间，和上各至少存在一个零点，选项C正确；
12．1．
13．
【详解】设正四棱锥的内切球的半径为，为底面中心，
由体积为得，
连接，平面，球心在上，，
取的中点，连接，设点在侧面上的投影为点，
则点在上，且，，
球心到四棱锥顶点的距离为，
所以，，解得，
所以.
14.【正确答案】 3 210
【详解】（1）由题可知，，又因为，所以，；
（2）由题可知，所以，所以.
若，则，，
所以，，与是等差数列矛盾.所以.
设，因为是各项均为正整数的递增数列，所以.
假设存在使得.设，由得.
由，得，，与为等差数列矛盾.
所以对任意都有.所以数列是等差数列，.
所以. 故答案为:3.210
15．(1) (2)
【详解】（1）解：因为数列的前n项和，满足，
当时，可得，
两式相减得，即，所以，
令，可得，解得，
所以数列构成首项为，公比为的等比数列，
所以的图象公式为.
（2）解：由（1）知，可得，
所以，
则.
16【正确答案】(1) (2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
又，，
，，，
，，.
（2）面积为，
，，，，
由得，即，
.
17．（1）点与点重合，证明见解析，（2）.
【详解】（1）点与点重合，证明如下：
连接，.
因为分别是和的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
因为分别是和的中点，所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以.
因为平面，平面，所以平面.
又因为，所以平面平面.
（2）以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴
建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）可得二面角即.
则，，.
所以，.
因为平面平面，所以平面的法向量即平面的法向量，
设为，则.令，则.
因为，，.所以，.
设平面的一个法向量为.则，
令，则.则.
由图易知二面角的平面角是锐角，所以余弦值为.
18．(1) (2)①证明见解析；②
【详解】（1）依题意可得圆心到定点的距离等于到定直线的距离相等，
所以的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
又到直线的距离为，所心抛物线的方程为；
（2）①设直线的方程为，，
则的中点，由（1）可知，，
联立方程组x=my+1y2=4x，消去可得，
所以，，
所以，
又，所以，所以；
②由①可得，代入，可得中点的横坐标为，
所以，又线段的垂直平分线的斜率为，
所以线段的垂直平分线方程为，
令，可得，所以，所以，所以，
又的面积为4，所以，所以，
解得，所以直线的主程为，即.
19.【详解】（1），由题意曲线在点处的切线方程为，则，解得；
（2），，
，令（），则，
当，即时，，即是上的增函数，因此，
是增函数，所以，不合题意，舍去；
当即时，，即是上的减函数，所以，所以是上的减函数，从而恒成立，
当即时，，
时，，在递增，时，，在递减，
又，所以时，恒成立，即恒成立，此时在上递增，因此，与题意不合，舍去，综上．
（3）由（2）知时，，即，从而，
所以，又，
所以，此不等式中分别令得
，，，，
将这个不等式相加得．